Los números enteros en la recta numérica
Badwater Basin, en el Valle de la Muerte, está a unos 282 pies bajo el nivel del mar. Denver, la ciudad de la milla de altura (the Mile High City), está a unos 5,280 pies sobre el nivel del mar. Si el nivel del mar es $0$ en una recta numérica, ¿qué distancia hay entre los dos lugares? Al final de esta página sabrás responder eso y mucho más.
Cómo representar números enteros
Una recta numérica es una línea recta con marcas igualmente espaciadas. El punto $0$ es el origen. Los enteros positivos van a la derecha de $0$, los enteros negativos van a la izquierda, y las flechas de los extremos indican que la recta continúa sin fin.
Para leer un punto, mira la marca con número más cercana y cuenta los pasos. Para representar un número, empieza en $0$ y cuenta esa cantidad de pasos a la derecha (positivo) o a la izquierda (negativo). Revisa siempre la escala primero: si los números van $0, 5, 10, \dots$, es posible que cada marca no valga una unidad.
Observa la siguiente recta numérica e identifica los valores representados por las letras $A$, $B$ y $C$.
Observa la siguiente recta numérica e identifica los valores representados por las letras $A$, $B$ y $C$.
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros: $$-4, \quad +3, \quad 0, \quad -1, \quad +5$$
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros:
$$-4, \quad +3, \quad 0, \quad -1, \quad +5$$En la siguiente recta numérica se han marcado cuatro puntos representados por letras. Identifica qué número entero corresponde a cada una de las letras $A$, $B$, $C$ y…
En la siguiente recta numérica se han marcado cuatro puntos representados por letras. Identifica qué número entero corresponde a cada una de las letras $A$, $B$, $C$ y $D$.
Opuestos y valor absoluto
Dos números son opuestos cuando están a la misma distancia de $0$ pero en lados contrarios. El opuesto de $4$ es $-4$, y el opuesto de $-4$ es $4$. Escribimos $-(-4) = 4$. El opuesto de $0$ es el mismo $0$.
La distancia nunca es negativa, así que un valor absoluto nunca es negativo: $|a| \ge 0$ para todo $a$. Los opuestos siempre tienen el mismo valor absoluto.
Representa en la recta numérica el número $-3$ y su opuesto. ¿A qué distancia se encuentra cada uno respecto al origen?
Representa en la recta numérica el número $-3$ y su opuesto. ¿A qué distancia se encuentra cada uno respecto al origen?
Represente en la recta numérica todos los números enteros cuyo valor absoluto sea igual a $4$. ¿Cuántos números ha marcado?
Represente en la recta numérica todos los números enteros cuyo valor absoluto sea igual a $4$. ¿Cuántos números ha marcado?
Dados los números enteros $x$ tales que su distancia al origen ($0$) es de $6$ unidades: a) Representa dichos números en la recta numérica. b) Representa también sus…
Dados los números enteros $x$ tales que su distancia al origen ($0$) es de $6$ unidades:
- a) Representa dichos números en la recta numérica.
- b) Representa también sus opuestos.
- c) ¿Qué observas respecto a la posición de los números originales y sus opuestos en la recta?
Comparar y ordenar enteros
En una recta numérica horizontal, los números aumentan hacia la derecha. Por eso, si $a$ está a la izquierda de $b$, entonces $a < b$. Por eso $-9 < -4$: hace más frío a $-9^\circ\text{F}$ que a $-4^\circ\text{F}$.
Para ordenar varios números, primero simplifica cada uno (calcula cualquier opuesto o valor absoluto), luego represéntalos y por último léelos de izquierda a derecha.
Sitúe los siguientes números en la recta numérica y utilícela para ordenarlos de menor a mayor usando el signo $<$: $$-6, \quad +2, \quad -3, \quad +4, \quad -1$$
Sitúe los siguientes números en la recta numérica y utilícela para ordenarlos de menor a mayor usando el signo $<$:
$$-6, \quad +2, \quad -3, \quad +4, \quad -1$$Dibuja una recta numérica y sitúa en ella los siguientes elementos. Después, ordénalos de menor a mayor utilizando el símbolo $<$: El número $-4$. El opuesto de $3$. El…
Dibuja una recta numérica y sitúa en ella los siguientes elementos. Después, ordénalos de menor a mayor utilizando el símbolo $<$:
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El número $-4$.
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El opuesto de $3$.
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El valor absoluto de $-5$.
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El número $0$.
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El opuesto del opuesto de $-2$.
Moverse en la recta numérica
Sumar y restar enteros es simplemente moverse. Un cambio positivo te mueve a la derecha (o hacia arriba, al este, hacia adelante, sobre el nivel del mar). Un cambio negativo te mueve a la izquierda (o hacia abajo, al oeste, hacia atrás, bajo el nivel del mar). Cada movimiento es una flecha que empieza donde terminó la anterior.
Las rectas numéricas verticales funcionan igual, como un termómetro: arriba es positivo y abajo es negativo.
Un termómetro marca una temperatura de $4^\circ\text{C}$ a las diez de la mañana. Si a las ocho de la noche la temperatura ha bajado $6^\circ\text{C}$, representa en una…
Un termómetro marca una temperatura de $4^\circ\text{C}$ a las diez de la mañana. Si a las ocho de la noche la temperatura ha bajado $6^\circ\text{C}$, representa en una recta ambas temperaturas y señala cuál es la temperatura final.
Un buzo se encuentra a una profundidad de $8$ pies bajo el nivel del mar. Si decide subir $3$ pies para observar unos peces, ¿a qué profundidad se encuentra ahora?…
Un buzo se encuentra a una profundidad de $8$ pies bajo el nivel del mar. Si decide subir $3$ pies para observar unos peces, ¿a qué profundidad se encuentra ahora? Represente el movimiento mediante flechas sobre una recta numérica horizontal.
Un repartidor de comida a domicilio comienza su jornada en el "Punto Cero" de una gran avenida principal. Realiza los siguientes desplazamientos: 1. Viaja $4$ millas…
Un repartidor de comida a domicilio comienza su jornada en el "Punto Cero" de una gran avenida principal. Realiza los siguientes desplazamientos:
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Viaja $4$ millas hacia el este ($+4$).
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Desde allí, se desplaza $7$ millas hacia el oeste.
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Finalmente, avanza otros $2$ millas hacia el oeste para entregar su último pedido.
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno, representa cada movimiento mediante flechas y determina en qué milla se encuentra al terminar.
Distancia entre dos puntos
¿Qué distancia hay de $-6$ a $3$? Cuenta los pasos de $-6$ a $0$ (son $6$) y luego de $0$ a $3$ (son $3$). La distancia es $6 + 3 = 9$.
Hay dos atajos útiles. Si los puntos están en lados opuestos de $0$, suma sus valores absolutos. Si están en el mismo lado, resta el valor absoluto menor del mayor.
Si un punto es equidistante de otros dos, es su punto medio: está exactamente a la mitad entre ellos.
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro ha marcado las siguientes temperaturas a lo largo de la mañana: A las 8:00 a. m.: $-6$ $^\circ$F A las 10:00 a.…
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro ha marcado las siguientes temperaturas a lo largo de la mañana:
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A las 8:00 a. m.: $-6$ $^\circ$F
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A las 10:00 a. m.: $-2$ $^\circ$F
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A las 12:00 p. m.: $+3$ $^\circ$F
- a) Representa las tres temperaturas en una recta numérica vertical (como si fuera un termómetro).
- b) ¿Cuál ha sido la variación térmica (distancia en la recta) entre las 8:00 a. m. y las 12:00 p. m.?
Halla el número entero que se encuentra exactamente a la misma distancia de $-7$ y de $+3$ en la recta numérica. Represéntalo gráficamente para comprobar tu resultado y…
Halla el número entero que se encuentra exactamente a la misma distancia de $-7$ y de $+3$ en la recta numérica. Represéntalo gráficamente para comprobar tu resultado y explica cómo lo has calculado.
En la recta numérica de los números enteros, el punto $A$ representa al número $-4$. El punto $B$ es un número tal que su distancia al origen es el triple que la…
En la recta numérica de los números enteros, el punto $A$ representa al número $-4$. El punto $B$ es un número tal que su distancia al origen es el triple que la distancia de $A$ al origen. Si el punto $C$ es el punto medio del segmento formado por los puntos opuestos de $A$ y $B$, ¿qué números podría representar $C$? Ten en cuenta que existen dos soluciones posibles para $B$. Represéntalas gráficamente.
Desigualdades y gráficas de conjuntos de enteros
Una condición como $-4 \le x < 1$ describe muchos enteros a la vez. Para graficarla, marca todos los enteros que hacen verdadera la afirmación. Este tipo de condición se llama desigualdad (también llamada inecuación).
Cuando $x$ puede ser cualquier número, sombreas una semirrecta o un segmento completo. Cuando el problema dice "enteros", solo marcas puntos en los enteros, como arriba.
Las desigualdades con valor absoluto son condiciones de distancia. $|x| < 3$ significa "a menos de $3$ unidades de $0$". $|x| \ge 2$ significa "a al menos $2$ unidades de $0$". En general, $|x - a| < k$ significa "a menos de $k$ unidades de $a$".
Escribe en tu cuaderno todos los números enteros $x$ que cumplen la condición $-2 < x \leq 3$ y represéntalos en la recta numérica. Fíjate bien en los extremos abiertos…
Escribe en tu cuaderno todos los números enteros $x$ que cumplen la condición $-2 < x \leq 3$ y represéntalos en la recta numérica. Fíjate bien en los extremos abiertos y cerrados.
Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones y represéntalos en una recta numérica: $-5 < x \leq 2$ El valor absoluto…
Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones y represéntalos en una recta numérica:
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$-5 < x \leq 2$
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El valor absoluto de $x$ es mayor que $1$, es decir, $|x| > 1$.
Representa en la recta numérica el número $-3$ y todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que él. ¿Es posible realizar esta tarea? Justifica tu respuesta…
Representa en la recta numérica el número $-3$ y todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que él. ¿Es posible realizar esta tarea? Justifica tu respuesta basándote en la definición de valor absoluto y su representación gráfica.
Ecuaciones con valor absoluto en la recta numérica
La ecuación $|x| = 4$ tiene dos soluciones, $4$ y $-4$: los dos puntos que están a $4$ unidades de $0$.
La misma idea funciona alrededor de cualquier centro. $|x - a| = k$ significa "la distancia de $x$ a $a$ es $k$", así que $x$ está $k$ unidades a la derecha o $k$ unidades a la izquierda de $a$.
Si $k = 0$, solo hay una solución (el propio centro). Si $k < 0$, no hay solución.
Dadas las siguientes expresiones, sitúa en la recta numérica los valores de $x$ que las hacen verdaderas: a) $|x - 3| = 5$ b) $|x + 2| = 4$ ¿Qué número entero es…
Dadas las siguientes expresiones, sitúa en la recta numérica los valores de $x$ que las hacen verdaderas:
- a) $|x - 3| = 5$
- b) $|x + 2| = 4$
¿Qué número entero es solución de ambas expresiones a la vez? Márcalo con un color diferente en tu recta.
Tres puntos $P$, $Q$ y $R$ están situados en la recta numérica. Se sabe que: El punto $Q$ es el opuesto de $-6$. El punto $P$ está a una distancia de $10$ unidades de…
Tres puntos $P$, $Q$ y $R$ están situados en la recta numérica. Se sabe que:
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El punto $Q$ es el opuesto de $-6$.
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El punto $P$ está a una distancia de $10$ unidades de $Q$, hacia la izquierda.
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El punto $R$ cumple que $|R| = |P| + |Q|$.
Calcula los valores de $P$, $Q$ y $R$. Representa en la recta todas las posiciones posibles de $R$ y explica cuál de ellas está más alejada del punto medio entre $P$ y $Q$.
Combinar varias condiciones
Muchas veces un problema da dos o tres condiciones, y la respuesta debe cumplir todas. Piensa en cada condición como un filtro: escribe los candidatos de la primera y tacha los que no cumplen las demás. Los que sobreviven están en la intersección de los conjuntos.
Para usar una frase como "la distancia entre $n$ y $-2$ es mayor que $5$", escríbela como $|n - (-2)| > 5$, o $|n + 2| > 5$. Eso significa que $n$ está a más de $5$ unidades de $-2$, así que es menor que $-7$ o mayor que $3$.
Identifica todos los números enteros $n$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones y ubícalos en una recta numérica: 1. El valor absoluto de $n$ es…
Identifica todos los números enteros $n$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones y ubícalos en una recta numérica:
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El valor absoluto de $n$ es menor o igual que $7$: $|n| \leq 7$.
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$n$ es strictly mayor que su opuesto: $n > -n$.
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La distancia entre $n$ y el número $-2$ es mayor que $5$ unidades.
Dibuja una recta numérica y representa los siguientes conjuntos de números de forma que se pueda apreciar la diferencia entre ellos: Conjunto $X$: Números enteros $x$…
Dibuja una recta numérica y representa los siguientes conjuntos de números de forma que se pueda apreciar la diferencia entre ellos:
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Conjunto $X$: Números enteros $x$ tales que $|x| < 4$.
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Conjunto $Y$: Números enteros $y$ tales que su opuesto $-y$ está entre $-2$ y $5$ (ambos excluidos).
Indica razonadamente qué números enteros pertenecen a ambos conjuntos a la vez.
Resolver acertijos con pistas
Los problemas más difíciles describen posiciones con palabras. Traduce cada pista a un número, una expresión o una distancia, y luego combínalas.
Volvamos al inicio: con el nivel del mar como $0$, el Valle de la Muerte está en $-282$ y Denver está en $5{,}280$. La distancia es $|5{,}280 - (-282)| = 5{,}280 + 282 = 5{,}562$ pies.
Un explorador se encuentra en una red de cuevas subterráneas representadas en una recta numérica horizontal. El origen $0$ es la entrada de la cueva. Sabemos que el…
Un explorador se encuentra en una red de cuevas subterráneas representadas en una recta numérica horizontal. El origen $0$ es la entrada de la cueva. Sabemos que el explorador ha realizado los siguientes movimientos sucesivos:
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Comienza en un punto desconocido $x$.
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Avanza $+12$ unidades.
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Retrocede el doble de su posición inicial $x$.
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Avanza el opuesto de $-5$.
Si finalmente se encuentra en el punto $-3$, representa la situación en la recta numérica y determina razonadamente el valor del punto de partida $x$.
Un submarino y un helicóptero de rescate están situados sobre la misma línea vertical. Si transponemos sus posiciones a una recta numérica horizontal donde el $0$ es el…
Un submarino y un helicóptero de rescate están situados sobre la misma línea vertical. Si transponemos sus posiciones a una recta numérica horizontal donde el $0$ es el nivel del mar:
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El submarino se encuentra en el punto $S$.
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El helicóptero se encuentra en el punto $H$.
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Se sabe que $|S| = |H| - 200$.
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La distancia entre el submarino y el helicóptero es de $500$ pies.
Dibuja la recta numérica y halla las coordenadas de $S$ y $H$, sabiendo que el helicóptero vuela por encima del nivel del mar y el submarino está sumergido.
Considera un número entero negativo $a$ y un número entero positivo $b$. En la recta numérica, la distancia entre $a$ y $b$ es de $15$ unidades. Si el valor absoluto de…
Considera un número entero negativo $a$ y un número entero positivo $b$. En la recta numérica, la distancia entre $a$ y $b$ es de $15$ unidades. Si el valor absoluto de $a$ es el doble que el valor absoluto de $b$, es decir, $|a| = 2 \cdot |b|$, encuentra los valores de $a$ y $b$ y represéntalos. ¿Cuál es el opuesto de la suma $a + b$?