"Parámetros estadísticos: medidas de centro y de dispersión"
Dos camiones de comida afuera del estadio anuncian "tiempo de espera promedio: 10 minutos". ¿Harías fila en alguno de los dos? Un solo número puede esconder mucho. Para comparar conjuntos de datos, necesitas saber dónde está el "centro" y qué tan dispersos están los datos.
Tipos de datos
Antes de calcular algo, pregúntate qué tipo de datos tienes. El tipo decide qué estadísticos tienen sentido.
Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se han analizado los perfiles de $50$ estudiantes de una escuela secundaria.…
Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se han analizado los perfiles de $50$ estudiantes de una escuela secundaria. Clasifica las siguientes variables estadísticas obtenidas en el estudio como cualitativas o cuantitativas (indicando si son discretas o continuas):
-
a) Marca del teléfono celular utilizado.
-
b) Número de "me gusta" recibidos en la última publicación.
-
c) Tiempo total (en minutos) de uso de la aplicación durante el día.
-
d) Temática principal de los videos que visualiza (deportes, humor, música, etc.).
La media
La media es el valor del "reparto equitativo": si todos tuvieran la misma cantidad, ¿cuánto le tocaría a cada persona?
Cambia los datos y observa dónde quedan la media (línea rosa) y la mediana (línea verde):
Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar videojuegos en línea. Los datos obtenidos son los siguientes:…
Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar videojuegos en línea. Los datos obtenidos son los siguientes:
$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$
Calcula los parámetros de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$).
La mediana y la moda
Un grupo de amigos ha anotado el número de mensajes de WhatsApp que tienen sin leer al final del día. Los datos obtenidos son: $$12, 15, 12, 10, 18, 12, 14, 20, 12, 15$$…
Un grupo de amigos ha anotado el número de mensajes de WhatsApp que tienen sin leer al final del día. Los datos obtenidos son:
$$12, 15, 12, 10, 18, 12, 14, 20, 12, 15$$Calcula la moda de esta distribución y explica brevemente qué representa este valor en el contexto del ejercicio.
Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son: $$45, 52, 38, 60, 41, 55, 48$$ Calcula…
Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son:
$$45, 52, 38, 60, 41, 55, 48$$Calcula la mediana de estos tiempos. Recuerda que debes ordenar los datos previamente.
Se ha medido la estatura (en pulgadas) de los seis jugadores titulares de un equipo de básquetbol escolar: $$165, 172, 168, 170, 182, 175$$ Calcula la mediana de las…
Se ha medido la estatura (en pulgadas) de los seis jugadores titulares de un equipo de básquetbol escolar:
$$165, 172, 168, 170, 182, 175$$Calcula la mediana de las estaturas. Al ser un número par de datos, recuerda cómo debes proceder con los dos valores centrales.
¿Qué medida conviene usar?
La media usa todos los valores, así que un valor extremo puede arrastrarla. La mediana solo depende del centro, así que casi no se mueve. Un valor extremo, muy alejado del resto, se llama valor atípico (outlier).
Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido: $\$5, \$8, \$6, \$7, \$54\$$ a) Calcula la media de…
Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido:
$\$5, \$8, \$6, \$7, \$54\$$
-
a) Calcula la media de sus ahorros.
-
b) Calcula la mediana.
-
c) ¿Cuál de los dos parámetros crees que representa mejor el ahorro "normal" de este joven? Justifica tu respuesta mencionando el efecto del valor $\$54$.
En una encuesta sobre el color favorito de los alumnos de 8.º grado, se han obtenido los siguientes resultados: | Color | Frecuencia ($n_i$) | | :--- | :---: | | Azul |…
En una encuesta sobre el color favorito de los alumnos de 8.º grado, se han obtenido los siguientes resultados:
| Color | Frecuencia ($n_i$) |
|---|---|
| Azul | $12$ |
| Rojo | $8$ |
| Verde | $5$ |
| Negro | $5$ |
- a) ¿Qué tipo de variable estadística se está estudiando?
- b) Calcula, si es posible, la media, la mediana y la moda. En caso de que algún parámetro no se pueda calcular, explica razonadamente el porqué.
En una empresa de desarrollo de aplicaciones, los sueldos de los 10 empleados son los siguientes: ocho empleados cobran $1\,500\ \$…
En una empresa de desarrollo de aplicaciones, los sueldos de los 10 empleados son los siguientes: ocho empleados cobran $1\,500\ \$$ al mes, el subdirector cobra $4\,000\ \$$ y el director cobra $7\,000\ \$$.
- a) Calcula la media, la mediana y la moda de los sueldos.
- b) El director afirma: "El sueldo medio en nuestra empresa es de $\$2\,300$, somos muy generosos". Un empleado responde: "La mayoría de nosotros solo cobramos $\$1\,500$". Explica, usando los parámetros calculados, por qué ambos dicen la verdad pero dan impresiones tan distintas.
- c) ¿Cuál de los tres parámetros estadísticos representa mejor la realidad de lo que cobra un trabajador típico de esa empresa? Justifica tu elección.
Trabajar al revés con los totales
La media relaciona el total con el número de valores:
$$\text{total} = \text{media} \times \text{número de valores}$$Esto te permite hallar un valor que falta o combinar grupos.
Lucía ha realizado 4 exámenes de Matemáticas este trimestre y sus notas han sido: $6,5$; $8,2$; $7,4$ y $9,1$. a) ¿Qué nota media tiene actualmente? b) Si todavía queda…
Lucía ha realizado 4 exámenes de Matemáticas este trimestre y sus notas han sido: $6,5$; $8,2$; $7,4$ y $9,1$.
- a) ¿Qué nota media tiene actualmente?
- b) Si todavía queda un último examen, ¿qué nota debe sacar Lucía para que su media final sea exactamente de $8,0$?
Un grupo de 10 amigos tiene una media de edad de exactamente $14$ años. Al unirse al grupo el hermano mayor de uno de ellos, la media aumenta a $15$ años. a) Calcula la…
Un grupo de 10 amigos tiene una media de edad de exactamente $14$ años. Al unirse al grupo el hermano mayor de uno de ellos, la media aumenta a $15$ años.
- a) Calcula la edad del hermano mayor.
- b) Si después se une una niña de $10$ años, ¿cuál será la nueva media del grupo de 12 personas?
- c) ¿Es posible que, tras unirse la niña, la mediana del grupo siga siendo $14$? Pon un ejemplo de las edades de los 10 amigos originales que cumpla esta condición.
Un conocido streamer* está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 videos. La media de visualizaciones de los primeros 4 videos es de $12\,500$ personas. Si…
Un conocido streamer está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 videos. La media de visualizaciones de los primeros 4 videos es de $12\,500$ personas. Si quiere que la media total de los 5 videos suba hasta las $15\,000$ visualizaciones para atraer a un nuevo patrocinador, ¿cuántas visualizaciones debe conseguir, como mínimo, en su quinto video? Explica el proceso razonando si es posible que la mediana de visualizaciones sea mayor que la media en este caso.
Acertijos con varias medidas
Algunos problemas te dan la media, la mediana, la moda y el rango, y te piden reconstruir los datos. Traduce cada pista a un hecho sobre la lista ordenada.
Se tiene un conjunto de 5 números enteros positivos. Se sabe que: La media es $10$. La mediana es $12$. La moda es $15$ y es única. El rango (recorrido) es $12$.…
Se tiene un conjunto de 5 números enteros positivos. Se sabe que:
-
La media es $10$.
-
La mediana es $12$.
-
La moda es $15$ y es única.
-
El rango (recorrido) es $12$.
Encuentra los 5 números que forman este conjunto. Explica los pasos lógicos que has seguido para deducirlos.
Tablas de frecuencias
Cuando un valor se repite muchas veces, una tabla de frecuencias registra cuántas veces ocurre cada valor. Para hallar la media, cada valor cuenta tantas veces como su frecuencia:
$$\bar{x} = \frac{\sum (\text{valor} \times \text{frecuencia})}{N}, \qquad N = \text{frecuencia total}$$La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de una clase de $2º$.º grado durante el primer trimestre: | Libros leídos ($x_i$) | Número de…
La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de una clase de $2º$.º grado durante el primer trimestre:
| Libros leídos ($x_i$) | Número de alumnos ($f_i$) |
|---|---|
| $0$ | $4$ |
| $1$ | $10$ |
| $2$ | $7$ |
| $3$ | $4$ |
Calcula la media aritmética del número de libros leídos por alumno.
En una encuesta sobre el sabor de helado preferido en la cafetería de la escuela secundaria, se han obtenido los resultados que se muestran en el siguiente gráfico: A…
En una encuesta sobre el sabor de helado preferido en la cafetería de la escuela secundaria, se han obtenido los resultados que se muestran en el siguiente gráfico:
A partir del gráfico de barras, identifica cuál es la moda y calcula el rango (o recorrido) de las frecuencias de los sabores.
En un entrenamiento de básquetbol, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:…
En un entrenamiento de básquetbol, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:
A partir del diagrama de barras:
- a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas.
- b) Calcula la media, la mediana y la moda de los triples encestados.
Datos agrupados e histogramas
Cuando los datos están agrupados en intervalos, ya no conoces los valores exactos. El intervalo $[0, 20)$ significa "desde 0 hasta 20, sin incluir el 20". Usa la marca de clase (el punto medio del intervalo) en lugar de cada valor de ese intervalo. El resultado es una estimación.
$$\text{marca de clase} = \frac{\text{extremo inferior} + \text{extremo superior}}{2}$$Histogramas sin escala
Si las alturas de las barras son proporcionales a las frecuencias, las alturas dan una razón. Supón que las barras tienen alturas en la razón $1 : 3 : 4 : 2$ y $N = 40$. Son $1 + 3 + 4 + 2 = 10$ partes, así que una parte es $40 \div 10 = 4$ estudiantes. Las frecuencias son $4, 12, 16, 8$. Para un porcentaje, divide las frecuencias que quieras entre $N$ y conviértelo.
Calcula la media aritmética y la moda de la siguiente distribución de datos agrupados en intervalos, que corresponden al peso (en libras) de los integrantes de un equipo…
Calcula la media aritmética y la moda de la siguiente distribución de datos agrupados en intervalos, que corresponden al peso (en libras) de los integrantes de un equipo de judo:
| Intervalo de peso | Marca de clase ($x_i$) | Frecuencia ($n_i$) |
|---|---|---|
| $[50, 60)$ | $55$ | $4$ |
| $[60, 70)$ | $65$ | $9$ |
| $[70, 80)$ | $75$ | $5$ |
| $[80, 90)$ | $85$ | $2$ |
El siguiente histograma muestra la distribución de las notas obtenidas en un examen de recuperación por 40 alumnos. Sin embargo, el eje de frecuencias se ha borrado…
El siguiente histograma muestra la distribución de las notas obtenidas en un examen de recuperación por 40 alumnos. Sin embargo, el eje de frecuencias se ha borrado parcialmente.
Sabiendo que el total de alumnos es $40$ y que las alturas de las barras son proporcionales a las frecuencias:
- a) Determina la frecuencia absoluta de cada intervalo.
- b) Calcula la nota media estimada utilizando las marcas de clase.
- c) Si para aprobar se necesita un $5$ y suponemos que las notas se reparten de forma uniforme dentro de cada intervalo, ¿qué porcentaje estimado de alumnos ha reprobado el examen?
Se ha realizado una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de una escuela secundaria utilizando redes sociales. Los datos se han…
Se ha realizado una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de una escuela secundaria utilizando redes sociales. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla:
| Tiempo (min) | $[0, 30)$ | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ | $[90, 120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Nº Alumnos ($n_i$) | $12$ | $25$ | $x$ | $8$ |
Sabiendo que el tiempo medio de uso es de $57$ minutos:
- a) Calcula el valor de $x$ (frecuencia absoluta del intervalo $[60, 90)$).
- b) Determina la moda (intervalo modal) y la mediana (intervalo mediano) de la distribución.
- c) ¿Qué porcentaje de alumnos dedica $90$ minutos o más a las redes sociales?
El rango
La medida más sencilla de dispersión (qué tan esparcidos están los datos) es el rango:
Cuando los datos vienen de una gráfica, lee el punto más alto y el más bajo, y resta.
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de primavera se muestran en el siguiente gráfico de líneas: Sabiendo que la temperatura mínima de…
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de primavera se muestran en el siguiente gráfico de líneas:
Sabiendo que la temperatura mínima de la semana fue de $14ºC$ (Lunes) y la máxima de $22ºC$ (Sábado), calcula el rango o recorrido de las temperaturas en ese periodo.
Desviación media absoluta (DMA)
El rango solo mira dos valores. La desviación media absoluta usa todos los valores: indica a qué distancia, en promedio, están los datos de la media.
Volvamos a los camiones de comida: ambos tienen una espera media de 10 minutos. Las esperas del camión A son $8, 9, 10, 10, 11, 12$: rango $4$, DMA $= \frac{2+1+0+0+1+2}{6} = 1$ minuto. Las esperas del camión B son $2, 5, 10, 10, 15, 18$: rango $16$, DMA $\approx 4.3$ minutos. Mismo promedio, pero el camión A es mucho más predecible. En algunos problemas la DMA se llama desviación media (mean deviation).
Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas: $8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$…
Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas:
$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$
Representa estos datos en una tabla de frecuencias y calcula:
- a) El rango o recorrido de la distribución.
- b) La desviación media ($DM$) respecto a la media aritmética.
Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de teléfonos inteligentes, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno.…
Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de teléfonos inteligentes, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno.
Modelo $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$
Modelo $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$
- a) Calcula la media de ambos modelos. ¿Qué observas?
- b) Calcula el rango y la desviación media de cada modelo.
- c) Si tuvieras que comprar uno basándote en la fiabilidad de la duración, ¿cuál elegirías y por qué?
Dos jugadoras de básquetbol, Lucía y María, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 6 partidos: Lucía: $18, 22, 20, 19, 21, 20$ María:…
Dos jugadoras de básquetbol, Lucía y María, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 6 partidos:
-
Lucía: $18, 22, 20, 19, 21, 20$
-
María: $10, 35, 5, 40, 12, 18$
- a) Calcula la media aritmética de puntos de cada jugadora.
- b) Calcula el rango y la desviación media de ambas.
- c) Si el entrenador busca una jugadora fiable que asegure una cantidad constante de puntos, aunque no sea muy alta, ¿a quién debería elegir? Justifica tu respuesta comparando su dispersión.
Cuartiles y diagramas de caja
La mediana divide los datos ordenados en dos mitades. Los cuartiles dividen cada mitad otra vez:
-
Q1 (cuartil inferior): la mediana de la mitad inferior.
-
Q3 (cuartil superior): la mediana de la mitad superior. (Si el número de valores es impar, deja la mediana fuera de ambas mitades).
-
Rango intercuartílico: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$. Es la dispersión del 50% central de los datos, así que los valores atípicos no lo afectan.
El resumen de cinco números es: mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo. Un diagrama de caja (y bigotes) (box plot) lo dibuja. Alrededor del 25% de los datos queda en cada una de las cuatro secciones.
A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot*) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación: Observa el…
A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación:
Observa el gráfico e identifica los siguientes parámetros de posición:
- a) Valor mínimo y valor máximo.
- b) Primer cuartil ($Q_1$), Mediana ($Me$) y Tercer cuartil ($Q_3$).
- c) ¿Qué porcentaje de alumnos ha obtenido una nota superior a $8$?
En una competencia de E-sports*, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de…
En una competencia de E-sports, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de reflejos. Los datos se presentan en los siguientes diagramas de caja (Box-plot):
Basándote en los gráficos:
- a) ¿Qué equipo tiene un tiempo de respuesta mediano más bajo?
- b) ¿Cuál de los dos equipos es más "regular" o consistente en sus reflejos? Justifica tu respuesta usando el rango intercuartílico.
- c) Si para ganar la competencia se valora no superar nunca los $200$ ms, ¿qué equipo tiene mejores expectativas?