Área de superficie de cuerpos geométricos
¿Cuánto papel de regalo necesitas para envolver una caja? ¿Cuánto metal se necesita para hacer una lata de sopa? Para saberlo, necesitas el área de superficie del cuerpo: el área total de todas sus caras. El truco siempre es el mismo: imagina el cuerpo desplegado, extendido sobre una mesa.
¿Qué es el área de superficie?
Un desarrollo plano (net) es el cuerpo cortado por algunas aristas y extendido. El área de superficie del cuerpo es simplemente el área de su desarrollo. Este es el desarrollo de un cubo.
También puedes hacerlo al revés. Mira las caras de un desarrollo y sabrás qué cuerpo forma. Cuéntalas, suma sus áreas y tendrás el área de superficie.
Un artesano está fabricando dados gigantes de madera para un centro recreativo. Si cada dado es un cubo perfecto que tiene una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la…
Un artesano está fabricando dados gigantes de madera para un centro recreativo. Si cada dado es un cubo perfecto que tiene una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la superficie total de madera que tendrá que pintar en cada uno de los dados.
Calcula el área total de una caja de zapatos con forma de ortoedro cuyas dimensiones son $15 \text{ cm}$ de ancho, $30 \text{ cm}$ de largo y $10 \text{ cm}$ de alto.…
Calcula el área total de una caja de zapatos con forma de ortoedro cuyas dimensiones son $15 \text{ cm}$ de ancho, $30 \text{ cm}$ de largo y $10 \text{ cm}$ de alto. Dibuja de forma esquemática su desarrollo plano para ayudarte en el cálculo.
Observa el desarrollo plano de este cuerpo geométrico. Si cada uno de los triángulos equiláteros tiene un área de $15 \text{ cm}^2$ y el cuadrado central tiene un lado…
Observa el desarrollo plano de este cuerpo geométrico. Si cada uno de los triángulos equiláteros tiene un área de $15 \text{ cm}^2$ y el cuadrado central tiene un lado de $6 \text{ cm}$, ¿cuál es el área total de la figura cuando se monte? ¿Qué cuerpo geométrico se forma?
Prismas
Si despliegas las caras laterales de un prisma recto, forman un gran rectángulo. Su ancho es el perímetro de la base y su altura es la altura del prisma.
$$LA = P_{base} \cdot h \qquad\qquad SA = LA + 2B$$Aquí $P_{base}$ es el perímetro de la base y $B$ es el área de una base.
¿Por qué funciona? Las caras laterales son rectángulos que tienen todos altura $h$. Sus anchos son los lados de la base. Si sumas los anchos, obtienes el perímetro.
Una carpa de jardín tiene forma de prisma triangular regular recto. La base es un triángulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$ y una altura del triángulo de…
Una carpa de jardín tiene forma de prisma triangular regular recto. La base es un triángulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$ y una altura del triángulo de $1,7 \text{ m}$. Si la longitud de la carpa (altura del prisma) es de $5 \text{ m}$, calcula el área lateral de la carpa (sin incluir las dos bases triangulares).
Hallar longitudes que faltan con el teorema de Pitágoras
Muchas veces el problema no te da la longitud que necesitas. La encuentras con el teorema de Pitágoras, $a^2 + b^2 = c^2$, en un triángulo rectángulo escondido dentro de la figura.
Bases que son polígonos regulares. La apotema $a$ de un polígono regular es la distancia desde su centro hasta el punto medio de un lado. El área de cualquier polígono regular es
$$B = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot P.$$En un hexágono regular la distancia del centro a un vértice es igual al lado $s$. Eso da un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $\tfrac{s}{2}$ e hipotenusa $s$.
Diagonal de la cara de un cubo. La diagonal $d$ de un cuadrado de lado $s$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos catetos $s$. Entonces $s^2 + s^2 = d^2$, de donde $d^2 = 2s^2$ y $d = s\sqrt{2}$.
Para un proyecto de tecnología, tienes que fabricar una caja de madera con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $4\text{ cm}$ y la altura del…
Para un proyecto de tecnología, tienes que fabricar una caja de madera con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $4\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $15\text{ cm}$. Calcula la superficie total de madera que necesitarás para construir la caja (incluyendo las dos bases).
(Nota: Para hallar el área de la base, recuerda que primero debes calcular la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).
Calcula el área total de un cubo sabiendo que la diagonal de una de sus caras mide $10\text{ cm}$. (Pista: Utiliza el teorema de Pitágoras en una de las caras para…
Calcula el área total de un cubo sabiendo que la diagonal de una de sus caras mide $10\text{ cm}$.
(Pista: Utiliza el teorema de Pitágoras en una de las caras para hallar la medida de la arista del cubo antes de calcular el área).
Pirámides
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos idénticos. Cada triángulo tiene base $s$ (un lado del polígono de la base). Su altura es la altura inclinada $\ell$ (slant height), que se mide sobre la cara desde el punto medio de una arista de la base hasta el vértice superior.
$$LA = \tfrac{1}{2} \cdot P_{base} \cdot \ell \qquad\qquad SA = LA + B$$¿Por qué? Cada triángulo tiene área $\tfrac{1}{2} s \ell$. Si sumas todos los triángulos, los lados $s$ suman el perímetro $P_{base}$.
En una base cuadrada, $a$ es la mitad del lado de la base. En una base hexagonal, $a$ es la apotema del hexágono.
Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base cuadrada mide $8 \text{ cm}$ y la apotema de sus caras laterales mide…
Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base cuadrada mide $8 \text{ cm}$ y la apotema de sus caras laterales mide $10 \text{ cm}$.
Una carpa para un evento juvenil tiene forma de pirámide cuadrangular regular. El lado de la base cuadrada mide $10\text{ m}$ y la altura de la pirámide (desde el centro…
Una carpa para un evento juvenil tiene forma de pirámide cuadrangular regular. El lado de la base cuadrada mide $10\text{ m}$ y la altura de la pirámide (desde el centro de la base hasta el vértice superior) es de $12\text{ m}$. Calcula cuántos pies cuadrados de lona se han necesitado para fabricar las cuatro caras laterales de la carpa.
Una empresa de diseño quiere fabricar una lámpara de techo con forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura de la…
Una empresa de diseño quiere fabricar una lámpara de techo con forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $24\text{ cm}$. Para que la luz se proyecte correctamente, deben forrar las caras laterales con una lámina de cobre especial. Calcula cuántos $\text{cm}^2$ de lámina de cobre se necesitan para cubrir la superficie lateral de la lámpara. Ten en cuenta que primero deberás hallar la apotema de la base y, con ella, la apotema de la pirámide.
Cilindros
Corta un cilindro (una lata de sopa) y desenrolla el lado curvo. Obtienes un rectángulo. Su altura es $h$ y su ancho es la circunferencia de la base, $C = 2\pi r$. Las bases son dos círculos.
$$LA = 2\pi r h = C \cdot h \qquad\qquad SA = 2\pi r h + 2\pi r^2$$Para un proyecto de tecnología, necesitas forrar con papel adhesivo un bote cilíndrico de lápices. El bote tiene un radio de la base de $r = 4 \text{ cm}$ y una altura…
Para un proyecto de tecnología, necesitas forrar con papel adhesivo un bote cilíndrico de lápices. El bote tiene un radio de la base de $r = 4 \text{ cm}$ y una altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula cuántas pulgadas cuadradas de papel necesitarás, sabiendo que el bote está abierto por arriba (solo tiene una base). Toma $\pi \approx 3,14$.
Calcula el área lateral de un cilindro cuya circunferencia de la base mide $C = 25,12 \text{ cm}$ y su altura es de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que al abrir el…
Calcula el área lateral de un cilindro cuya circunferencia de la base mide $C = 25,12 \text{ cm}$ y su altura es de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que al abrir el cilindro, el área lateral es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia).
Un fabricante de velas artesanales quiere recubrir con un papel protector plateado la superficie lateral de una vela cilíndrica. La vela tiene un diámetro de…
Un fabricante de velas artesanales quiere recubrir con un papel protector plateado la superficie lateral de una vela cilíndrica. La vela tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $20\text{ cm}$. Si el papel solo debe cubrir la parte curva (sin las bases), ¿qué superficie de papel se necesita para cada vela? Utiliza $\pi \approx 3,14$.
Conos
Un cono recto es como una pirámide con base circular. El lado inclinado tiene longitud $\ell$, la altura inclinada. La superficie lateral desenrollada es un sector de círculo de radio $\ell$, y su borde curvo mide lo mismo que la circunferencia de la base, $2\pi r$. Ese sector es la fracción $\frac{2\pi r}{2\pi \ell} = \frac{r}{\ell}$ de un círculo completo de área $\pi \ell^2$. Al multiplicar ambos obtienes
$$LA = \pi r \ell \qquad\qquad SA = \pi r \ell + \pi r^2.$$En una heladería de diseño, han creado un barquillo con forma de cono recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y el radio de su base es de $5\text{ cm}$. Calcula el área…
En una heladería de diseño, han creado un barquillo con forma de cono recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y el radio de su base es de $5\text{ cm}$. Calcula el área total del barquillo (superficie lateral más el círculo de la base) para saber cuánto chocolate necesitan para bañarlo por completo.
(Pista: Primero deberás hallar la generatriz del cono).
Esferas y hemisferios
Una esfera no se puede desplegar sobre un plano, porque se curva en todas las direcciones a la vez. Aun así, su área de superficie tiene una fórmula muy sencilla: cuatro veces el área de su círculo mayor (el que pasa por el centro).
$$SA = 4\pi r^2$$Un hemisferio es media esfera. Su superficie curva es la mitad de $4\pi r^2$, es decir, $2\pi r^2$. Si incluyes el círculo plano (un tazón con tapa), suma $\pi r^2$ y obtienes $3\pi r^2$.
Un balón de baloncesto tiene un radio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcula la superficie de cuero necesaria para fabricarlo, redondeando el resultado a dos decimales.…
Un balón de baloncesto tiene un radio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcula la superficie de cuero necesaria para fabricarlo, redondeando el resultado a dos decimales. (Recuerda que el área de la esfera es $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).
Se quiere restaurar la cúpula de un observatorio astronómico que tiene forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de radio. Si el presupuesto para la pintura es de…
Se quiere restaurar la cúpula de un observatorio astronómico que tiene forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de radio. Si el presupuesto para la pintura es de $15\text{ \$}$ por cada pie cuadrado, ¿cuánto costará pintar la superficie exterior de la cúpula? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Un fabricante de balones de gimnasia produce esferas de caucho de dos tamaños. El balón pequeño tiene una superficie de $5024\text{ cm}^2$. El balón grande tiene un…
Un fabricante de balones de gimnasia produce esferas de caucho de dos tamaños. El balón pequeño tiene una superficie de $5024\text{ cm}^2$. El balón grande tiene un radio que es exactamente el doble que el del balón pequeño. Calcula el área de la superficie del balón grande. ¿Qué relación numérica (razón) hay entre el área del balón grande y la del pequeño? Usa $\pi = 3,14$.
Troncos
Un tronco (frustum) es lo que queda de una pirámide cuando le cortas la punta con un corte paralelo a la base. Sus caras laterales son trapecios y tiene dos bases de tamaños distintos.
En un tronco regular con $4$ caras laterales, cada trapecio tiene área $\tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)\,\ell$, donde $b_1$ y $b_2$ son los lados de las dos bases y $\ell$ es la altura inclinada. Al sumarlos todos se obtiene
$$LA = \tfrac{1}{2}(P_1 + P_2)\,\ell \qquad\qquad SA = LA + B_1 + B_2.$$Para obtener $\ell$ a partir de la altura $h$, usa un triángulo rectángulo. Sus catetos son $h$ y la separación horizontal entre los bordes de las dos bases, que es $\frac{b_1 - b_2}{2}$.
Un moderno macetero tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las bases son dos cuadrados de lados $20\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$ respectivamente. Si la…
Un moderno macetero tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las bases son dos cuadrados de lados $20\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$ respectivamente. Si la altura de las caras laterales (la apotema del tronco) es de $10\text{ cm}$, calcula el área total de la superficie exterior del macetero (bases superior e inferior incluidas).
Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un museo que consiste en un tronco de pirámide cuadrangular regular de cristal. La base inferior tiene un lado de…
Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un museo que consiste en un tronco de pirámide cuadrangular regular de cristal. La base inferior tiene un lado de $4\text{ m}$, la base superior un lado de $2\text{ m}$ y la altura del tronco es de $1,5\text{ m}$. El cristal utilizado para las caras laterales cuesta $85\text{ \$/m}^2$. Calcula el presupuesto necesario para comprar el cristal de la superficie lateral, redondeando el resultado a dos decimales.
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales son dos cuerpos unidos: un silo, un faro, una tienda de campaña. La regla es sencilla: suma solo las superficies que se pueden tocar desde afuera. Donde dos cuerpos están pegados, esas caras desaparecen.
La mitad de un cuerpo. Un semicilindro apoyado sobre su cara plana, como un túnel de invernadero, tiene una superficie curva que es la mitad del área lateral, $\tfrac{1}{2}(2\pi r L) = \pi r L$, donde $L$ es su largo. Sus dos extremos son semicírculos y juntos forman un círculo completo, $\pi r^2$. El piso no forma parte del exterior.
Un faro decorativo para un jardín está formado por dos cuerpos: un cilindro de $10\text{ cm}$ de radio y $30\text{ cm}$ de altura, coronado por un cono de la misma base…
Un faro decorativo para un jardín está formado por dos cuerpos: un cilindro de $10\text{ cm}$ de radio y $30\text{ cm}$ de altura, coronado por un cono de la misma base y $15\text{ cm}$ de generatriz. Calcula el área total de la superficie exterior de este faro (sin contar la base sobre la que se apoya).
Se quiere construir un invernadero con forma de medio cilindro apoyado sobre el suelo, como se muestra en la figura. La longitud del invernadero es de $15\text{ m}$ y la…
Se quiere construir un invernadero con forma de medio cilindro apoyado sobre el suelo, como se muestra en la figura. La longitud del invernadero es de $15\text{ m}$ y la anchura de la base (el diámetro del semicilindro) es de $6\text{ m}$. Si el plástico para cubrir la parte curva y las dos paredes frontales (semicírculos) cuesta $12\text{ \$/m}^2$, ¿cuál será el costo total del plástico necesario? (No se cuenta el suelo).
Un tanque industrial tiene forma de cilindro recto coronado por un cono de la misma base. La altura de la parte cilíndrica es de $8\text{ m}$ y la altura de la parte…
Un tanque industrial tiene forma de cilindro recto coronado por un cono de la misma base. La altura de la parte cilíndrica es de $8\text{ m}$ y la altura de la parte cónica es de $3\text{ m}$. El diámetro del tanque es de $8\text{ m}$. Se desea pintar toda la superficie exterior lateral y la base superior (cono), pero no la base sobre la que se apoya. Si con cada lata de pintura se pueden cubrir $15\text{ m}^2$, ¿cuántas latas de pintura se deben comprar como mínimo?
Cuerpos a los que se les quita una parte
Cuando taladras, vacías o cortas un cuerpo, hazte dos preguntas:
-
¿Qué superficie antigua desaparece?
-
¿Qué superficie nueva aparece?
Luego calcula: $SA = SA_{\text{original}} - \text{(perdida)} + \text{(nueva)}$.
Un agujero que atraviesa un prisma. Pierdes dos círculos (las aberturas en las bases). Ganas la pared interior del agujero, que es el área lateral de un cilindro.
Una cavidad hemisférica. El círculo plano $\pi r^2$ de arriba se sustituye por el tazón curvo $2\pi r^2$.
Cortar una esquina de un cubo. Tres caras pierden cada una un pequeño triángulo de la esquina y aparece una nueva cara triangular. Si esa nueva cara es un triángulo equilátero de lado $s$, su altura sale del teorema de Pitágoras: $\sqrt{s^2 - (s/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}s$. Entonces
$$A = \tfrac{1}{2} \cdot s \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}s = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2.$$Se ha diseñado un trofeo de metacrilato que consiste en un cilindro recto de $10\text{ cm}$ de altura y $6\text{ cm}$ de diámetro, al cual se le ha extraído una…
Se ha diseñado un trofeo de metacrilato que consiste en un cilindro recto de $10\text{ cm}$ de altura y $6\text{ cm}$ de diámetro, al cual se le ha extraído una semiesfera perfecta en la base superior, cuyo radio coincide exactamente con el radio del cilindro. Calcula el área total de la superficie del trofeo (superficie exterior cilíndrica, superficie de la base inferior y la superficie curva del hueco semiesférico). Usa $\pi \approx 3,14$.
Un cubo de madera de $12\text{ cm}$ de arista se corta mediante un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un mismo vértice, separando una…
Un cubo de madera de $12\text{ cm}$ de arista se corta mediante un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un mismo vértice, separando una pequeña pirámide triangular (un tetraedro irregular). Calcula el área total de la figura resultante que queda tras retirar la pequeña pirámide. Ayuda: El corte genera una nueva cara que es un triángulo equilátero cuyos lados son las diagonales de los cuadrados de lado $6\text{ cm}$.
Una pieza mecánica de acero tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada con un agujero cilíndrico que la atraviesa de base a base por el centro. El lado del…
Una pieza mecánica de acero tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada con un agujero cilíndrico que la atraviesa de base a base por el centro. El lado del cuadrado de la base del prisma mide $10\text{ cm}$ y la altura de la pieza es de $20\text{ cm}$. El diámetro del agujero cilíndrico es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie total de la pieza (incluyendo la superficie interior del agujero).
Volvamos al principio: la caja de regalo de $10 \times 6 \times 4$ pulg. necesita $248$ pulg.² de papel, y la lata de sopa usa unas $51.8$ pulg.² de metal.