Sistemas de ecuaciones lineales
En el puesto de comida de la escuela, Jayden paga $\$7$ por 2 rebanadas de pizza y 1 limonada. Aaliyah paga $\$11$ por 3 rebanadas y 2 limonadas. ¿Cuánto cuesta una rebanada? ¿Cuánto cuesta una limonada? Hay dos incógnitas (la rebanada y la limonada) y dos pistas. Una sola ecuación no basta, así que necesitas usar las dos a la vez. Eso es un sistema de ecuaciones.
¿Qué es un sistema?
Para comprobar una solución, sustitúyela en las dos ecuaciones. Prueba $(0.5, 1)$ en el sistema de arriba: $2(0.5) + 3(1) = 4$ ✓ y $2(0.5) + 1 = 2$ ✓. Entonces $(0.5, 1)$ es la solución.
El orden importa. En el par $(x, y)$, el primer número siempre es $x$.
Cómo se ve la solución en la gráfica
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta: cada punto de la recta es una solución de esa ecuación. Una solución del sistema debe estar en las dos rectas, así que es el punto donde se intersecan. Mueve las rectas y observa el punto de intersección.
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:…
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$Compruebe, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:
- a) $x = 10, y = 5$
- b) $x = 8, y = 7$
El método de sustitución
Despeja una variable en una ecuación y luego sustituye esa expresión en la otra ecuación. El método funciona mejor cuando una variable ya está despejada o tiene coeficiente $1$ o $-1$.
A veces tienes que despejar una variable primero. Elige la que tenga coeficiente $1$ o $-1$ para evitar fracciones.
Resuelva el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjese que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:…
Resuelva el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjese que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:
$$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ y = 2x \end{cases}$$Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerde que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerde que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:
$$ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ 5x + 2y = 19 \end{cases} $$Igualar expresiones
Si la misma variable está despejada en las dos ecuaciones, las dos expresiones son iguales al mismo número. Entonces puedes igualarlas. Es solo sustitución: reemplazas una expresión por la otra y obtienes una ecuación con una incógnita. En algunos materiales se le llama método de igualación.
Así se ve en la gráfica. Para $y = 2x + 1$ y $y = -x + 7$, al igualar los lados derechos queda $2x + 1 = -x + 7$, así que $x = 2$ y $y = 5$. Las rectas se cruzan en $(2, 5)$.
Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguale las dos expresiones que representan el valor de $x$: $$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2…
Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguale las dos expresiones que representan el valor de $x$:
$$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$El método de eliminación
Suma o resta las dos ecuaciones para que una variable desaparezca. Si los coeficientes de una variable no son opuestos, primero multiplica una o las dos ecuaciones por un número para hacerlos opuestos (o iguales, si vas a restar).
Cuando ninguna variable se cancela de inmediato, multiplica para crear opuestos.
Resuelva el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observe que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puede sumar las dos…
Resuelva el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observe que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puede sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:
$$\begin{cases} 4x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}$$Lucía ha comprado en la papelería $2$ plumas y $3$ borradores por un total de $\$4$. Pedro ha comprado $2$ plumas y $1$ borrador por $\$2$. Si $x$ es el precio de una…
Lucía ha comprado en la papelería $2$ plumas y $3$ borradores por un total de $\$4$. Pedro ha comprado $2$ plumas y $1$ borrador por $\$2$.
Si $x$ es el precio de una pluma e $y$ el de un borrador, el sistema que representa la situación es:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$Halle el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).
En la cafetería de la escuela secundaria, un grupo de amigos ha pagado $15\text{ \$}$ por 4 refrescos y 2 sándwiches. Al día siguiente, otro grupo pagó $17,50\text{ \$}$…
En la cafetería de la escuela secundaria, un grupo de amigos ha pagado $15\text{ \$}$ por 4 refrescos y 2 sándwiches. Al día siguiente, otro grupo pagó $17,50\text{ \$}$ por 3 refrescos y 4 sándwiches. Utilice el método de reducción para hallar el precio de un refresco y el de un sándwich.
¿Cuántas soluciones hay?
Dos rectas en un plano pueden cruzarse, ser paralelas o ser la misma recta. Eso da tres tipos de sistemas.
Puedes saber de qué caso se trata por el álgebra. Si todas las variables se cancelan, mira qué queda:
-
Una afirmación falsa como $0 = 2$: no hay solución (sistema inconsistente, rectas paralelas).
-
Una afirmación verdadera como $0 = 0$: infinitas soluciones (sistema consistente dependiente, la misma recta).
-
Un solo valor para cada variable: una solución (sistema consistente independiente).
Primero, simplifica
Muchos sistemas no vienen en la forma $Ax + By = C$. Antes de elegir un método, simplifica cada ecuación.
Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que considere más apropiado. Antes de resolverlo, observe si es necesario simplificar las…
Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que considere más apropiado. Antes de resolverlo, observe si es necesario simplificar las expresiones quitando los paréntesis:
$$ \begin{cases} 2(x + y) - 3x = 1 \\ x + 3(y - 1) = 2 \end{cases} $$Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utilice el método de reducción…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utilice el método de reducción doble (eliminando una incógnita y luego la otra):
$$ \begin{cases} \dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{y+2}{6} = -1 \\ \\ \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{3} = \dfrac{7}{6} \end{cases} $$Resuelva el siguiente sistema mediante el método que considere más oportuno, después de eliminar los paréntesis y agrupar términos: $$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x…
Resuelva el siguiente sistema mediante el método que considere más oportuno, después de eliminar los paréntesis y agrupar términos:
$$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5 \\ \\ 2(x+y) - 3(x-y) = 11 \end{cases} $$Una vez resuelto, indique si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Escribir un sistema a partir de un problema
Los problemas con palabras son donde los sistemas realmente brillan. Sigue estos pasos:
-
Define dos incógnitas y escribe qué significa cada una (por ejemplo, $x$ = número de gemas azules).
-
Convierte cada dato del problema en su propia ecuación.
-
Resuelve el sistema con el método que prefieras.
-
Comprueba en el problema, no solo en tus ecuaciones, y responde la pregunta con unidades.
Traduzca al lenguaje algebraico y escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación: "En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de…
Traduzca al lenguaje algebraico y escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:
"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de papas ($y$) nos han cobrado $\$5$. Si compramos un refresco y una bolsa de papas, el precio es de $\$3$."
(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora se necesita recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de…
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora se necesita recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.
- a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesita.
- b) Compruebe si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.
Cantidades y precios
En este tipo de problema, una ecuación cuenta los artículos y la otra suma el dinero. Por ejemplo, si $s$ boletos de estudiante cuestan $\$5$ y $a$ boletos de adulto cuestan $\$8$:
-
Número de boletos: $s + a$.
-
Dinero recaudado: $5s + 8a$.
La gráfica muestra la misma situación. El eje horizontal son los boletos de estudiante y el eje vertical los boletos de adulto. Las rectas se cruzan en $(70, 50)$.
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de…
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de ecuaciones que describe esta situación es:
$$\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + 4y = 34 \end{cases}$$Resuelva el sistema por el método que prefiera para averiguar cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja.
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de boletos: infantiles a $4\text{ \$}$ y de adultos a $7\text{ \$}$. Al terminar el evento, se sabe que han…
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de boletos: infantiles a $4\text{ \$}$ y de adultos a $7\text{ \$}$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un total de 240 personas y que la recaudación total ha sido de $1350\text{ \$}$. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron al festival?
En una tienda de computación, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 mouses inalámbricos por un total de $\$135…
En una tienda de computación, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 mouses inalámbricos por un total de $\$135$. Al día siguiente, aprovechando una oferta, compra 2 teclados y 4 mouses por $\$111$. Sin embargo, la oferta consistía en que los teclados tenían un $10\%$ de descuento y los mouses un $20\%$ sobre su precio original.
Calcule el precio original de cada artículo planteando un sistema de ecuaciones.
Edades y dígitos
Edades. Haz una tabla con una fila por persona y columnas para "ahora" y "después". Todos se hacen mayores el mismo número de años.
Dígitos. Un número de dos dígitos con dígito de las decenas $x$ y dígito de las unidades $y$ vale $10x + y$. Por ejemplo, $37 = 10(3) + 7$. Al invertir los dígitos se obtiene $10y + x$.
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? Utilice una tabla para organizar los datos de las edades antes de plantear el sistema.
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantee un…
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar dicho número.
(Pista: Un número de dos cifras se escribe como $10x + y$).
Problemas de geometría
Cuando un problema da datos sobre una figura, usa las fórmulas: el perímetro de un rectángulo es $P = 2x + 2y$ y el área es $A = xy$. Un cambio en la figura (como "la base se duplica") cambia la expresión en la ecuación.
Observe la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su…
Observe la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.
Calcule las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.
Halle las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ pulg. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser…
Halle las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ pulg. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de $70$ pulg. Una vez halladas la base ($x$) y la altura ($y$), calcule el área del rectángulo original.
Mezclas y movimiento
Mezclas. Dos cosas se suman: la cantidad total y la cantidad del ingrediente puro. La cantidad pura es el porcentaje (como decimal) por la cantidad de la mezcla.
Movimiento. Usa $d = rt$ (distancia = velocidad × tiempo). Dos viajeros dan dos ecuaciones, y la situación te dice cómo combinar las velocidades:
-
Si se mueven uno hacia el otro: la distancia entre ellos se reduce a la suma de las velocidades.
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Si se mueven en la misma dirección: la distancia se reduce a la diferencia de las velocidades.
Cuando las incógnitas son el tiempo y una distancia, escribe una ecuación para la distancia de cada viajero.
Dos ciclistas, Isabella y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ mi}$. Isabella sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ mph}$ y David…
Dos ciclistas, Isabella y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ mi}$. Isabella sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ mph}$ y David sale al mismo tiempo desde el punto B al encuentro de Isabella a $18\text{ mph}$.
Si $x$ es el tiempo que tardan en encontrarse e $y$ es la distancia recorrida por Isabella:
- a) Plantee un sistema de ecuaciones que relacione el tiempo y el espacio de ambos.
- b) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto A ocurrirá?
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ galones de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafones: uno con una concentración del $15\%$ de…
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ galones de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafones: uno con una concentración del $15\%$ de ácido y otro con una concentración del $40\%$. ¿Qué cantidad de galones debe mezclar de cada garrafón para obtener la solución deseada?
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ millas. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido…
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ millas. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido (Elena persiguiendo a Marco), Elena tarda $3$ horas en alcanzarlo.
Calcule la velocidad de cada ciclista en mph planteando un sistema de ecuaciones.
Volvamos al principio: Sea $p$ = precio de una rebanada y $l$ = precio de una limonada. Entonces $2p + l = 7$ y $3p + 2l = 11$. Multiplica la primera por $2$: $4p + 2l = 14$. Resta la segunda: $p = 3$. Entonces $l = 7 - 6 = 1$. Una rebanada cuesta $\$3$ y una limonada cuesta $\$1$.