Proporción inversa
Cuatro estudiantes limpian el gimnasio de la escuela en 30 minutos. Si ayudan 6 estudiantes, tardarán menos tiempo, pero ¿cuánto menos? Abre más llaves y un tanque se llena más rápido. Pedalea con un piñón más pequeño y la rueda trasera gira más. En todos estos casos, cuando una cantidad se multiplica, la otra se divide. Eso es la proporción inversa.
¿Qué es la proporción inversa?
En la proporción directa, al duplicar una cantidad se duplica la otra. En la proporción inversa, al duplicar una cantidad la otra se reduce a la mitad.
Veamos una imagen. La gráfica muestra $x$ personas que se reparten un trabajo de $12$ horas-persona en total. Más personas significa menos horas, y los puntos forman una curva que baja sin tocar nunca los ejes.
Antes de usar la proporción inversa, hazte dos preguntas: ¿más de una cantidad significa menos de la otra?, y ¿el total (todo el trabajo, toda la distancia, todo el premio) se mantiene igual?
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de personas que pintan una cerca y el tiempo…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de personas que pintan una cerca y el tiempo que tardan en terminarla.
- b) El número de libras de manzanas que compras y el precio total que pagas.
- c) La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre dos ciudades.
- d) El número de páginas de un libro y su peso.
Un grupo de amigos quiere rentar una camioneta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $\$15…
Un grupo de amigos quiere rentar una camioneta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $\$15$. Calcula cuánto tendría que pagar cada uno si finalmente se apuntan $10$ personas al viaje.
El producto constante
La proporción directa tiene una razón constante $y/x$. La proporción inversa tiene un producto constante $x \cdot y$. Lo llamamos $k$.
La balanza de abajo muestra la idea para $6x = 120$: sea cual sea el número que pongas en un lado, al dividir entre $6$ obtienes el otro lado.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$. |…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$.
| Magnitud $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $\$300…
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $\$300$ en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar cuánto dinero recibiría cada uno dependiendo del número de personas que formen el grupo. Indica también cuál es la constante de proporcionalidad inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero por persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
Un salón de tecnología tiene varias placas de madera contrachapada rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ pulgadas². Completa la tabla de las…
Un salón de tecnología tiene varias placas de madera contrachapada rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ pulgadas². Completa la tabla de las posibles dimensiones (base y altura) para estas placas y explica qué relación existe entre ellas.
| Base ($cm$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Altura ($cm$) | ? | $60$ | ? | ? | ? |
Resolver problemas con $k$
La mayoría de los problemas verbales te dan un par completo y te piden un valor faltante en un segundo par. Este es el plan.
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Decide cuáles dos cantidades son inversamente proporcionales.
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Multiplica el primer par para obtener $k$.
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Iguala el producto del segundo par a $k$ y resuelve la ecuación.
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Comprueba que la respuesta tenga sentido: más trabajadores deben significar menos tiempo.
Algunas personas prefieren una proporción invertida: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$. Da la misma respuesta, porque es solo $x_1 y_1 = x_2 y_2$ reordenada.
Piensa en cada problema como un rectángulo: el ancho es el número de trabajadores (o llaves), la altura es el tiempo, y el área $k$ nunca cambia. Un rectángulo más ancho tiene que ser más bajo.
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que…
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que trabajen al mismo ritmo, ¿cuántas horas tardarán en montar el mismo escenario?
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la alcaldía necesita que el montaje esté terminado en solo $10$…
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la alcaldía necesita que el montaje esté terminado en solo $10$ horas, ¿cuántos operarios adicionales deberán contratar, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo?
Una asociación protectora de animales tiene raciones de alimento para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una…
Una asociación protectora de animales tiene raciones de alimento para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una camada, ¿cuántos días durarán las existencias de alimento si no se varía la ración diaria por perro?
Rapidez, tiempo y flujo
En un viaje de distancia fija, rapidez × tiempo = distancia, así que la rapidez y el tiempo son inversamente proporcionales. De igual manera, para un tanque fijo, flujo × tiempo = volumen. La constante $k$ es la distancia o el volumen.
Sofía ha realizado un viaje en carro a una velocidad constante de $90$ mph y ha tardado $4$ horas. Si para el viaje de vuelta decide ir más despacio, a una velocidad de…
Sofía ha realizado un viaje en carro a una velocidad constante de $90$ mph y ha tardado $4$ horas. Si para el viaje de vuelta decide ir más despacio, a una velocidad de $60$ mph, ¿cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido?
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ mph. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ mph…
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ mph. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ mph para el siguiente envío al mismo lugar, ¿cuánto tiempo tardará en llegar?
Un granjero utiliza una manguera con un caudal de $5$ galones por minuto para llenar un tanque de agua en $12$ horas. ¿Qué caudal debería tener una nueva manguera si…
Un granjero utiliza una manguera con un caudal de $5$ galones por minuto para llenar un tanque de agua en $12$ horas. ¿Qué caudal debería tener una nueva manguera si quiere llenar el mismo tanque en tan solo $3$ horas?
Engranes y cadenas de bicicleta
Cuando dos engranes están acoplados, cada diente que pasa por un engrane pasa también por el otro. Así que el número de dientes que se mueven es igual para ambos:
$$\text{dientes}_1 \times \text{rpm}_1 = \text{dientes}_2 \times \text{rpm}_2$$Un engrane con más dientes gira más lento. Los dientes y las rpm (revoluciones por minuto) son inversamente proporcionales.
En una bicicleta, la cadena conecta el plato (los pedales) con el piñón trasero. Si pedaleas la misma cantidad, pasa por el piñón la misma longitud de cadena. Por eso dientes del piñón × vueltas de la rueda se mantiene constante.
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$…
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$ dientes?
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$…
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$ dientes la rueda trasera da exactamente $200$ vueltas en un tramo, ¿cuántas vueltas daría la rueda si cambiáramos a un piñón de $16$ dientes manteniendo el mismo pedaleo (mismas vueltas de plato)? Justifica el tipo de proporcionalidad.
Cuando la situación cambia a la mitad
Algunos problemas cambian a mitad del camino. El truco es trabajar con lo que queda: cuánta comida, trabajo o distancia falta y cuál es el nuevo tamaño del grupo.
A veces la respuesta es un número decimal de horas. Para convertirla a horas, minutos y segundos, convierte cada parte decimal multiplicando por $60$. Por ejemplo, $2.505$ horas: $0.505 \times 60 = 30.3$ minutos, y $0.3 \times 60 = 18$ segundos, así que $2$ h $30$ min $18$ s.
Una expedición de montaña tiene víveres almacenados para alimentar a $20$ excursionistas durante $12$ días. Sin embargo, tras los primeros $4$ días de travesía, se…
Una expedición de montaña tiene víveres almacenados para alimentar a $20$ excursionistas durante $12$ días. Sin embargo, tras los primeros $4$ días de travesía, se encuentran con otro grupo de $5$ personas que se han quedado sin suministros y deciden compartir sus víveres. Si mantienen la misma ración diaria por persona, ¿cuántos días menos de los previstos durarán los alimentos restantes?
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar…
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar el trabajo, ¿cuántas horas y minutos tardarán las impresoras restantes en realizar el mismo encargo?
Un tren de carga realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ mph, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una falla…
Un tren de carga realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ mph, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una falla en la vía, debe reducir su velocidad media hasta las $60$ mph.
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a) ¿Cuánto tiempo tardará en completar el viaje de regreso?
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b) Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.
Reparto inversamente proporcional
A veces un premio se divide de modo que la persona con el número menor recibe más. Por ejemplo, el corredor más rápido recibe la parte más grande. Entonces las partes son proporcionales a los recíprocos (las fracciones $\tfrac{1}{\text{número}}$) de los números dados.
Usa la herramienta de reparto para ver cómo se divide un premio cuando cambian los números.
Tres amigos deciden repartirse los $\$282…
Tres amigos deciden repartirse los $\$282$ obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en resolver su prueba final. Si el primer amigo tardó $12$ minutos, el segundo $15$ minutos y el tercero $20$ minutos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Misma área, mismo total
La proporción inversa aparece siempre que dos números deben multiplicarse para dar un total fijo. A continuación van dos casos más.
Rectángulos con la misma área. Si la base se multiplica por un número, la altura se divide entre ese número.
Tres factores. A veces el total fijo es un producto de tres números, como (número de llaves) × (flujo) × (tiempo) = volumen total.
Un rectángulo tiene una base de $12$ pulgadas y una altura de $8$ pulgadas. Queremos construir otro rectángulo que tenga exactamente la misma superficie, pero cuya base…
Un rectángulo tiene una base de $12$ pulgadas y una altura de $8$ pulgadas. Queremos construir otro rectángulo que tenga exactamente la misma superficie, pero cuya base sea un $25$ % más larga que la del primero.
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a) ¿Cuál será la altura del nuevo rectángulo?
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b) ¿En qué porcentaje ha disminuido la altura respecto al rectángulo original?
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ llaves que arrojan un caudal de $12$ galones por minuto cada una, tardando un total de $30$ horas. Si queremos que la…
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ llaves que arrojan un caudal de $12$ galones por minuto cada una, tardando un total de $30$ horas. Si queremos que la piscina se llene en tan solo $18$ horas usando llaves con un caudal superior, de $16$ galones por minuto, ¿cuántas llaves de este nuevo modelo necesitaremos abrir?
De vuelta al inicio: 4 estudiantes limpian el gimnasio en 30 minutos, así que $k = 4 \cdot 30 = 120$ minutos-estudiante de trabajo. Con 6 estudiantes, $6t = 120$, así que $t = 20$ minutos. Seis es $1.5$ veces la cantidad de estudiantes, así que el tiempo se divide entre $1.5$.