Operaciones con monomios

Para entender cómo se construyen las expresiones matemáticas, es fundamental conocer las partes de un monomio. Complete la información solicitada para cada uno de los siguientes monomios:

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Para cada uno, indique:

• El coeficiente.

• La parte literal.

• El grado del monomio.

En el mundo del álgebra, solo podemos sumar o restar "cosas iguales". Identifique cuáles de los siguientes monomios son semejantes entre sí y agrúpelos:

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Simplifique las siguientes expresiones sumando y restando los monomios semejantes:

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Reduzca al máximo la siguiente expresión algebraica agrupando los monomios que sean semejantes:

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calcule el producto de los siguientes monomios. Recuerde multiplicar los coeficientes entre sí y sumar los exponentes de las letras iguales:

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Calcule el resultado de las siguientes multiplicaciones de monomios y simplifique la parte literal utilizando las propiedades de las potencias:

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Realice las siguientes divisiones de monomios. Recuerde dividir los coeficientes y restar los exponentes de las letras:

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Simplifique los siguientes cocientes de monomios. Exprese el resultado como un solo monomio cuando sea posible:

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

Calcule la potencia de estos monomios. No olvide elevar tanto el coeficiente como la parte literal al exponente indicado:

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Realice las siguientes potencias de monomios. Recuerde que el exponente afecta tanto al coeficiente como a cada una de las variables de la parte literal:

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Resuelva las siguientes operaciones combinadas con monomios respetando el orden de las operaciones:

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

Realice la siguiente operación combinada con monomios, simplificando el resultado al máximo. Tenga especial cuidado con el orden de las operaciones y las reglas de las potencias:

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Reduzca la siguiente expresión aplicando la propiedad distributiva y simplificando los monomios semejantes resultantes:

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Extraiga el máximo factor común posible en la siguiente expresión algebraica. Recuerde que debe extraer tanto el máximo común divisor de los coeficientes como las variables comunes con su menor exponente:

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Encuentre los monomios desconocidos $M$ y $N$ que hacen que se cumplan las siguientes igualdades:

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

En un videojuego de estrategia, la energía de un batallón se calcula mediante el producto de su nivel de ataque por su nivel de defensa, dividido entre su fatiga. Si sabemos que:

• Ataque: $ 12a^2b^3 $

• Defensa: $ 5a^3b $

• Fatiga: $ 10ab^2 $

Exprese la energía total del batallón como un único monomio y determine su grado.

Calcule el valor del monomio resultante en la parte superior de esta "pirámide de productos", donde cada ladrillo es el resultado de multiplicar los dos monomios que tiene justo debajo:

Halle la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente terreno rectangular destinado a un huerto escolar. Una vez que tenga la expresión, redúzcala al máximo sumando sus términos semejantes.

Halle la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente terreno destinado a una zona de juegos en un parque:

Calcule la expresión que representa el área de la región sombreada en la siguiente figura, sabiendo que el lado del cuadrado exterior mide $4x$ y el lado del cuadrado interior blanco mide $x$:

Una empresa de diseño fabrica marcos de aluminio para pantallas de tabletas. El diseño sigue las proporciones mostradas en la siguiente figura, donde todas las medidas están expresadas en función de una variable $x$. Halle el monomio que representa el área total de la superficie del marco (la zona sombreada).

En un videojuego de carreras, por cada moneda de oro recogida se obtienen $5x$ puntos y por cada moneda de plata se obtienen $2x$ puntos.

Si en una partida un jugador ha obtenido 4 monedas de oro y 6 de plata:

1. a) Escriba el monomio que representa los puntos totales de las monedas de oro.
2. b) Escriba el monomio que representa los puntos totales de las monedas de plata.
3. c) Sume ambos monomios para obtener el total de puntos de la partida.

En una campaña de reforestación, cada voluntario planta $3x$ árboles por la mañana y $2x$ árboles por la tarde. Si hay un total de $y$ voluntarios, escriba la expresión algebraica simplificada que represente:

1. a) El número total de árboles que planta un solo voluntario en un día.

1. b) El número total de árboles plantados por todos los voluntarios en una semana (7 días).

Calcule el monomio que representa el volumen de un cuerpo geométrico formado por la unión de 5 cubos idénticos, donde la arista de cada cubo mide $ \frac{2}{3}x^2 $ pies. Exprese el resultado final de forma simplificada.