Volumen de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas
¿Cuántos galones de agua caben en una alberca (piscina) de un patio? ¿Cuánto helado cabe en un cono? Las dos preguntas se refieren al volumen: la cantidad de espacio dentro de un sólido. Al terminar esta página podrás responder las dos.
Unidades cúbicas y capacidad
El área cuenta cuadrados. El volumen cuenta cubos. Un cubo que mide 1 pulgada en cada arista tiene un volumen de 1 pulgada cúbica (1 in.³). El volumen de un sólido es el número de cubos unitarios que lo llenan.
Un factor de conversión de longitud se debe elevar al cubo cuando conviertes volumen. Un pie son 12 pulgadas, así que un pie cúbico son $12 \times 12 \times 12 = 1{,}728$ pulgadas cúbicas.
El volumen también sirve para medir cuánto contiene un recipiente (su capacidad). Estas son las conversiones que necesitas:
| Unidad | Equivale a |
|---|---|
| 1 ft³ | 1,728 in.³ |
| 1 galón (gal) | 231 in.³ |
| 1 ft³ | aprox. 7.48 gal |
| 1 onza fluida (fl oz) | aprox. 1.8 in.³ (128 fl oz = 1 gal) |
| 1 cm³ | 1 mL |
| 1 dm³ = 1,000 cm³ | 1 litro (L) = 1,000 mL |
| 1 m³ | 1,000 L |
| 1 fl oz | aprox. 29.57 mL |
| 1 m | aprox. 3.28 ft |
| 1 m³ | aprox. 35.31 ft³ (porque $3.28^3 \approx 35.3$) |
| 1 libra (lb) | 16 onzas (oz) |
La regla es siempre la misma: primero halla el volumen en unidades cúbicas y luego convierte.
Las albercas suelen medirse en pies, así que los pies cúbicos se convierten directamente a galones con $1 \text{ ft}^3 \approx 7.48$ gal.
A veces un problema da las medidas en metros pero pide pies o galones. Puedes convertir primero cada longitud a pies (1 m $\approx$ 3.28 ft), o convertir el volumen ya calculado con 1 m³ $\approx$ 35.31 ft³. Solo recuerda que el factor de volumen es el cubo del factor de longitud.
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos…
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos galones de agua podría contener si fuera totalmente impermeable?
Recuerda que $1 \text{ dm}^3$ es equivalente a $1 \text{ litro}$.
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de…
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de alto. Si lo llenamos de agua hasta una altura de $20 \text{ cm}$, ¿cuántos galones de agua hemos echado?
Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho…
Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho de $12\text{ metros}$, calcula la profundidad (altura) de la piscina. Si la alcaldía decide llenarla solo hasta los $4/5$ de su capacidad por seguridad, ¿cuántos galones de agua habrá en la piscina?
Prismas
Un prisma es como una pila de copias idénticas de su base. El número de capas es la altura, así que
$$V = B \cdot h$$donde $B$ es el área de la base y $h$ es la distancia entre las dos bases. Para un prisma rectangular, $B = \ell w$, así que $V = \ell \cdot w \cdot h$.
La base puede ser cualquier polígono. Para un prisma triangular, $B = \tfrac{1}{2}bh$ (usa la base y la altura del triángulo). Para un trapecio, $B = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$. Ten cuidado: un prisma acostado tiene su "base" en el extremo, y la altura $h$ del prisma es su largo.
También puedes trabajar al revés para hallar una dimensión que falta: $h = \dfrac{V}{\ell w}$.
Has comprado un nuevo teléfono inteligente y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu estante. La caja es un ortoedro (prisma…
Has comprado un nuevo teléfono inteligente y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu estante. La caja es un ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $16 \text{ cm}$ de largo, $9 \text{ cm}$ de ancho y $5 \text{ cm}$ de alto. Calcula su volumen en $\text{cm}^3$.
Estás de campamento con tus amigos y tienen una tienda de acampar con forma de prisma triangular recto. La base de la tienda (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$…
Estás de campamento con tus amigos y tienen una tienda de acampar con forma de prisma triangular recto. La base de la tienda (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y $1,5 \text{ m}$ de altura. Si la tienda tiene una longitud (profundidad) de $3 \text{ m}$, ¿cuál es el volumen de aire que hay dentro de la tienda?
Se desea construir una rampa de concreto para un parque de skate*. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden…
Se desea construir una rampa de concreto para un parque de skate. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden $3\text{ m}$ y $1\text{ m}$, y su altura (longitud de la base de la rampa en el suelo) es de $5\text{ m}$. Si el ancho de la rampa es de $4\text{ m}$, calcula cuántos pies cúbicos de concreto se necesitan y el costo total si el precio es de $95\text{ \$/m}^3$.
Cilindros y principio de Cavalieri
Un cilindro es una pila de círculos (como una pila de monedas), así que se aplica la misma fórmula. La base es un círculo con área $\pi r^2$:
$$V = B \cdot h = \pi r^2 h$$Principio de Cavalieri
¿Y si la pila de monedas se inclina hacia un lado? Sigue teniendo las mismas monedas, así que tiene el mismo volumen.
Así, un prisma y un cilindro con la misma área de la base y la misma altura tienen el mismo volumen, aunque las bases tengan formas distintas.
Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$,…
Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$, calcula el volumen de refresco que puede contener la lata. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen.…
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen. Compara un prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura y $30\text{ cm}^2$ de área de la base con un cilindro de la misma altura y la misma área de la base. Si vertemos $0,5\text{ litros}$ de agua en cada uno, ¿cuál se llenará primero? Justifica tu respuesta calculando el volumen de ambos.
Recipientes parcialmente llenos
A veces un recipiente no está lleno. Hay dos situaciones:
-
Está lleno hasta un porcentaje de su capacidad: halla el volumen total y luego calcula ese porcentaje.
-
Está lleno hasta cierta altura: usa la altura del líquido como $h$ en la fórmula, no la altura del recipiente.
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El envase tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de…
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El envase tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricante indica que el batido ocupa el $90\%$ de la capacidad total del envase para dejar espacio al aire, calcula cuántos mililitros ($ml$) de producto contiene cada envase.
Has decidido construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de…
Has decidido construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de $25\text{ cm}$ de largo, $10\text{ cm}$ de ancho y $18\text{ cm}$ de alto. Si el gel se vende en botes de $0,5\text{ litros}$, ¿cuántos botes completos necesitarás comprar para llenar el hormiguero hasta una altura de $15\text{ cm}$?
Pirámides
Llena una pirámide con agua y vacíala en un prisma con la misma base y la misma altura. Necesitas exactamente tres pirámides para llenar el prisma.
$$V = \frac{1}{3}\,B \cdot h$$Cómo hallar la altura
La altura $h$ de una pirámide es la distancia perpendicular del vértice a la base. Los problemas suelen dar la arista lateral $e$ (del vértice a una esquina de la base). En una pirámide regular, la altura, la arista lateral y la distancia del centro de la base a una esquina forman un triángulo rectángulo, así que usa el teorema de Pitágoras:
$$h^2 + (\text{centro a esquina})^2 = e^2$$Para una base cuadrada de lado $s$, la distancia del centro a una esquina es la mitad de la diagonal: $\tfrac{1}{2}s\sqrt{2}$, y su cuadrado es $\tfrac{s^2}{2}$.
Para un hexágono regular de lado $s$, la distancia del centro a una esquina es igual a $s$ (el hexágono está formado por seis triángulos equiláteros). Cada triángulo tiene área $\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$, así que $B = 6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.
Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de…
Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de $9 \text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricar este pisapapeles.
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la…
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de bronce necesario para fabricar un trofeo.
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono…
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Expresa el resultado en $cm^3$ aproximando a las unidades.
Conos
Un cono es para un cilindro lo que una pirámide es para un prisma: tiene exactamente un tercio del volumen del cilindro con la misma base y la misma altura.
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$La altura inclinada (slant height) $\ell$ es la distancia sobre la superficie del vértice al borde de la base. La altura $h$, el radio $r$ y la altura inclinada forman un triángulo rectángulo con $\ell$ como hipotenusa:
$$h^2 + r^2 = \ell^2$$Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$,…
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$, ¿qué volumen de aire queda "atrapado" dentro del gorro cuando alguien lo lleva puesto? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el volumen de perfume que cabe en el frasco expresado en centímetros cúbicos. Ayuda: primero deberás hallar la altura del cono usando el teorema de Pitágoras.
Esferas
Una esfera solo tiene un radio, y su volumen depende del cubo del radio:
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$Una semiesfera es la mitad de una esfera, así que su volumen es $\tfrac{2}{3}\pi r^3$.
Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera…
Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ y toma $\pi \approx 3,14$).
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el…
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el volumen de gas en su interior? Expresa el resultado en metros cúbicos ($m^3$).
Sólidos compuestos
Muchos objetos reales combinan varios sólidos simples: un silo (cilindro más semiesfera), un trofeo (prisma más pirámide), una botella (cilindro más cono). Para hallar el volumen:
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Descompón el objeto en sólidos simples.
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Halla las dimensiones que necesita cada parte (radio, base, altura).
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Calcula cada volumen y luego suma.
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio…
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio de la base es de $4\text{ m}$, calcula la capacidad total del silo en hectolitros ($hl$).
Un diseñador ha creado un trofeo para un torneo de eSports* con una forma geométrica compleja. El trofeo consiste en un prisma cuadrangular regular de madera sobre el…
Un diseñador ha creado un trofeo para un torneo de eSports con una forma geométrica compleja. El trofeo consiste en un prisma cuadrangular regular de madera sobre el cual se apoya una pirámide cuadrangular regular de metal. La arista de la base común mide $12\text{ cm}$. La altura del prisma es de $20\text{ cm}$, y sabemos que la arista lateral de la pirámide mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen total del trofeo en decímetros cúbicos ($dm^3$).
Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado…
Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado por un tapón en forma de cono de la misma base y $3\text{ cm}$ de altura. Si el frasco se llena solo hasta el $85\%$ de su capacidad total para dejar espacio al aire, ¿cuántos mililitros ($ml$) de perfume contiene cada frasco? (Toma $\pi \approx 3,1416$).
Agujeros, densidad y desplazamiento
Restar un agujero
Cuando se perfora una pieza, resta el volumen del agujero del volumen del sólido original. La masa se obtiene de la densidad:
$$\text{masa} = \text{densidad} \times \text{volumen}$$Desplazamiento de agua
Un objeto que está completamente sumergido hace subir el nivel del agua. El volumen del agua que sube es igual al volumen del objeto.
El agua adicional forma un cilindro con el radio del recipiente y altura $\Delta h$.
Hallar un radio a partir de un volumen
Para hallar el radio de una esfera a partir de su volumen, despeja $r^3$ en $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ y luego calcula la raíz cúbica (usa la función $\sqrt[3]{\ }$ de la calculadora si el número no es un cubo perfecto). Para $V = 288\pi$ in.³: $r^3 = \tfrac{3 \cdot 288\pi}{4\pi} = 216$, así que $r = \sqrt[3]{216} = 6$ in.
Comparar recipientes
Para comparar dos recipientes, calcula los volúmenes y compara los números. Si un recipiente tiene una parte sólida dentro, el espacio que queda para el contenido es el volumen del recipiente menos el volumen de la parte sólida.
Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le ha practicado un…
Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le ha practicado un orificio cilíndrico que atraviesa la pieza de arriba a abajo por su cara más grande. El radio del cilindro es de $2\text{ cm}$. Sabiendo que la densidad del acero es de $7,85\text{ g/cm}^3$, calcula la masa total de la pieza en kilogramos. (Toma $\pi \approx 3,14$).
En el laboratorio de física, los estudiantes sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente…
En el laboratorio de física, los estudiantes sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es de $10\text{ cm}$. Al introducir la esfera, el nivel del agua sube exactamente $4,5\text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el radio de la esfera de plomo? Expresa el resultado en centímetros con dos decimales.
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro…
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro con el mismo radio y la misma altura, pero dentro contiene una semiesfera de chocolate que ocupa la parte inferior. Si el radio de la semiesfera es también de $6\text{ cm}$, ¿cuál de los dos recipientes tiene mayor volumen disponible para el helado de vainilla? Razona la respuesta realizando los cálculos.
Troncos y semejanza
Un tronco (frustum) es lo que queda de una pirámide después de cortarle la punta con un plano paralelo a la base. El volumen es
$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{pirámide grande}} - V_{\text{pirámide pequeña (la punta)}}$$Para hallar estos volúmenes necesitas la altura de la pirámide completa. Usa triángulos semejantes: la pirámide pequeña de arriba es una copia a escala de la grande, así que $\dfrac{\text{lado de arriba}}{\text{lado de abajo}} = \dfrac{\text{altura de la pirámide pequeña}}{\text{altura de la pirámide grande}}$.
Cuando el tronco está solo parcialmente lleno, el agua también forma un tronco más pequeño. Su superficie superior es un cuadrado cuyo lado hallas con semejanza: el lado de cualquier corte horizontal es proporcional a su distancia al vértice.
Un tanque de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del…
Un tanque de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del tanque es de $3\text{ m}$. Si el tanque está lleno hasta las tres cuartas partes de su altura (es decir, el agua alcanza los $2,25\text{ m}$ desde la base), ¿cuántos litros de agua contiene? (Nota: Tendrás que usar la semejanza para hallar el lado de la superficie del agua).
De vuelta al inicio: Una alberca de 30 ft de largo, 15 ft de ancho y 5 ft de profundidad tiene $V = 30 \cdot 15 \cdot 5 = 2{,}250$ ft³, que son $2{,}250 \cdot 7.48 = 16{,}830$ galones. Un vasito de helado en forma de cono con un diámetro de 3 in. y una altura de 4 in. tiene $V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 1.5^2 \cdot 4 = 3\pi \approx 9.4$ in.³, que son unas 5.2 onzas fluidas.