Polinomios
Un cohete de agua despega desde una plataforma. Después de $t$ segundos, su altura en pies es $h(t) = -5t^2 + 25t + 2$. Una sola fórmula te da la altura en cualquier momento. Esa fórmula es un polinomio. En esta página aprenderás a leer, evaluar, combinar, multiplicar y factorizar polinomios.
¿Qué es un polinomio?
Ya conoces los monomios: un número, una variable o un producto de ellos, como $9x^3$ o $-\tfrac{1}{2}x^2y$. Cada monomio tiene tres partes.
-
Coeficiente: el número que va delante. En $m$ es $1$, y en $-x$ es $-1$.
-
Parte variable: las letras con sus exponentes.
-
Grado: la suma de los exponentes de las variables. $-\tfrac{1}{2}x^2y$ tiene grado $2 + 1 = 3$. Un número solo, como $-4$, tiene grado $0$.
| Monomio | Coeficiente | Parte variable | Grado |
|---|---|---|---|
| $9x^3$ | $9$ | $x^3$ | $3$ |
| $-\tfrac{1}{2}x^2y$ | $-\tfrac{1}{2}$ | $x^2y$ | $3$ |
| $m$ | $1$ | $m$ | $1$ |
| $-4$ | $-4$ | ninguna | $0$ |
-
Grado del polinomio: el mayor grado de sus términos (aquí, $4$).
-
Coeficiente principal: el coeficiente del término de mayor grado ($-5$).
-
Término constante: el término sin variable ($9$).
Una resta es una suma con un término negativo. En $x^2 - 3x$ los términos son $x^2$ y $-3x$.
Forma estándar
Un polinomio normalmente se escribe en forma estándar: los términos de mayor a menor grado. Es completo si aparece cada grado desde el mayor hasta la constante. Si no, es incompleto. Puedes llenar un grado que falta con un término $0$. Por ejemplo, $x^3 - 4$ es incompleto, y $x^3 + 0x^2 + 0x - 4$ es el mismo polinomio con los huecos llenos.
Copie y complete la siguiente tabla en su cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios: | Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado | |…
Copie y complete la siguiente tabla en su cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios:
| Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $-7x^4$ | |||
| $\frac{2}{3}ab^2$ | |||
| $xyz$ | |||
| $5$ |
Analice el siguiente polinomio y responda a las preguntas: $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$ a) ¿Cuál es el grado del polinomio? b) ¿Cómo se llama el término que no tiene…
Analice el siguiente polinomio y responda a las preguntas:
$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$
- a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
- b) ¿Cómo se llama el término que no tiene variable (el $-8$)?
- c) ¿Cuántos términos tiene? Según el número de términos, ¿es un monomio, binomio o trinomio?
- d) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?
Evaluar un polinomio y sus raíces
Pasear perros paga $\$6$ por empezar más $\$4$ por cada perro, así que el pago por $x$ perros es $E = 6 + 4x$ dólares. Para $5$ perros, sustituye $x = 5$: $E = 6 + 4(5) = 26$ dólares. Esa es toda la idea de evaluar.
¿Por qué paréntesis? Porque el número se reemplaza completo. Elevar $-3$ al cuadrado es $(-3)^2 = 9$, no $-3^2 = -9$.
Volvamos al cohete. Su altura al despegar es $h(0) = -5(0)^2 + 25(0) + 2 = 2$ pies, así que la plataforma está a 2 pies del suelo. Un segundo después, $h(1) = -5 + 25 + 2 = 22$ pies. Explora la gráfica de abajo (aquí $x$ hace el papel del tiempo $t$).
Raíces
Una raíz también te puede ayudar a hallar un coeficiente que falta.
Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $\$15$ por cada tarde de trabajo, más un extra de $\$3$ por cada pedido entregado a domicilio. La expresión que calcula…
Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $\$15$ por cada tarde de trabajo, más un extra de $\$3$ por cada pedido entregado a domicilio. La expresión que calcula su ganancia es $G = 15 + 3x$, donde $x$ es el número de pedidos.
Calcule el valor numérico de su ganancia (lo que cobrará en total) si una tarde consigue repartir $8$ pedidos.
Dado el siguiente polinomio: $P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$ Indique razonadamente los siguientes elementos: a) El grado del polinomio. b) El coeficiente del…
Dado el siguiente polinomio:
$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$
Indique razonadamente los siguientes elementos:
- a) El grado del polinomio.
- b) El coeficiente del término de grado 2.
- c) El término independiente.
- d) El valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por…
Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio:
$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$
- a) ¿A qué altura se encuentra la plataforma de lanzamiento? (Pista: calcule $h(0)$).
- b) ¿A qué altura estará el cohete a los 2 segundos de ser lanzado?
- c) ¿Estará el cohete más alto a los 3 segundos o a los 4 segundos? Justifique su respuesta calculando los valores numéricos correspondientes.
Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determine el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$…
Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determine el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio). Una vez hallado $k$, calcule el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Términos semejantes
Puedes sumar $3$ manzanas y $2$ manzanas, pero no $3$ manzanas y $2$ naranjas. Los términos funcionan igual.
Para combinar términos semejantes, suma sus coeficientes y conserva la parte variable: $3x^2 - 5x^2 = -2x^2$.
Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Seleccione de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$: $5xy^2$ $-x^2y$ $2x^2$…
Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Seleccione de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$:
-
$5xy^2$
-
$-x^2y$
-
$2x^2$
-
$\frac{1}{2}x^2y$
-
$5x^2y^2$
Suma y resta de polinomios
Para sumar polinomios, quita los paréntesis y luego combina los términos semejantes. Para restar, suma el opuesto: cambia el signo de cada término del polinomio que se resta. También puedes escribir los polinomios en columnas, alineando los términos semejantes.
Para multiplicar un polinomio por un número, usa la propiedad distributiva: $2(x^3 - 3x + 1) = 2x^3 - 6x + 2$.
Los polinomios aparecen en los perímetros, porque el perímetro es la suma de todos los lados.
Para este rectángulo, $P = (2x + 5) + (x + 3) + (2x + 5) + (x + 3) = 6x + 16$. Un atajo equivalente: $P = 2(2x + 5) + 2(x + 3) = 4x + 10 + 2x + 6 = 6x + 16$.
Dados los siguientes polinomios, realice la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes: $A(x) = 4x^2 - 5x + 3$ $B(x) = x^2 + 2x - 7$
Dados los siguientes polinomios, realice la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes:
$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$
$B(x) = x^2 + 2x - 7$
Realice las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final: a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$ b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$ c)…
Realice las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final:
- a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
- b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
- c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$
Halle la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:
Halle la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:
Escribir polinomios a partir de situaciones
Los problemas reales te dan palabras. Tu trabajo es convertirlas en una expresión, simplificarla y luego evaluarla cuando conoces $x$.
Los coeficientes también pueden ser letras. La tarifa de un viaje en un servicio de transporte puede ser una cuota de reservación $a$, más $b$ dólares por milla, más un recargo por viaje largo de $\tfrac{x^2}{10}$ por $x$ millas: $F(x) = a + bx + \tfrac{1}{10}x^2$. Mueve $a$ y $b$ para ver cómo cambia la tarifa.
Si el precio por milla se duplica, solo cambia el término con $b$: $F_2(x) = a + 2bx + \tfrac{1}{10}x^2$.
En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibe una…
En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibe una cantidad de puntos desconocida $x$, pero por cada enemigo derrotado recibe el triple de puntos que por una moneda. Al finalizar el nivel, siempre recibe un bono fijo de $50$ puntos de experiencia.
Escriba la expresión algebraica que representa la puntuación total de un jugador que ha conseguido $12$ monedas y ha derrotado a $4$ enemigos.
En una tienda de tecnología, el precio de un teléfono inteligente de gama media es $\$x…
En una tienda de tecnología, el precio de un teléfono inteligente de gama media es $\$x$. Un teléfono inteligente de gama alta cuesta el doble que el de gama media más $\$150$, y una tableta cuesta $\$80$ menos que el teléfono inteligente de gama media.
- a) Escriba la expresión algebraica que representa el costo total de comprar dos teléfonos inteligentes de gama media, uno de gama alta y tres tabletas.
- b) Reduzca la expresión obtenida para que sea un polinomio en su forma más sencilla.
- c) Si el precio del teléfono inteligente básico es $\$x = 200$, ¿cuánto dinero costará el pedido total?
Una empresa de mensajería cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un costo fijo de gestión de $\$G$, más un precio por cada libra de peso $x…
Una empresa de mensajería cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un costo fijo de gestión de $\$G$, más un precio por cada libra de peso $x$, y un cargo adicional de "distancia premium" que equivale al cuadrado del peso del paquete dividido entre 4.
-
Escriba el polinomio $C(x)$ que representa el costo total del envío de un paquete de $x$ libras.
-
Si los gastos de gestión son $\$G = 5$ y queremos enviar un paquete de $8$ lb, ¿cuál será el costo total?
-
Si la empresa decide duplicar el costo por libra y mantener el resto de parámetros, escriba el nuevo polinomio $C_2(x)$.
Multiplicar polinomios
Para multiplicar polinomios, usa la propiedad distributiva: multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro y luego combina los términos semejantes. Al multiplicar potencias de la misma variable, suma los exponentes: $x \cdot x^2 = x^3$.
Un modelo de área muestra por qué. Un rectángulo con lados $x + 3$ y $x + 2$ se divide en cuatro piezas.
Algunos productos se simplifican mucho. Prueba con $(x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Lo mismo pasa con $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 8$. Cuando veas un binomio por un trinomio así, espera que los términos del medio se cancelen.
Multiplique los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifique los términos semejantes: a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$ b)…
Multiplique los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifique los términos semejantes:
- a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
- b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$
Productos especiales
Algunos productos aparecen tanto que conviene reconocer su patrón. Mira $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$. Los dos términos del medio son semejantes, así que se combinan en $2ab$.
En el tercer patrón los términos del medio $-ab$ y $+ab$ se cancelan. Algunos problemas llaman a estos patrones identidades algebraicas; son solo atajos para multiplicar.
Un producto especial también puede acortar un problema largo. Para desarrollar $(x + 3)^2(x - 3)$, escribe primero el cuadrado como dos factores y nota que $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$. Entonces toda la expresión es $(x + 3)(x^2 - 9) = x^3 + 3x^2 - 9x - 27$.
Los problemas combinados usan ambas herramientas: productos especiales para los cuadrados y la propiedad distributiva para el resto.
Las identidades notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utilice la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar…
Las identidades notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utilice la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar la siguiente expresión:
$(x + 2)^2$
Aplique las fórmulas de las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x^2 - 5)^2$ c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$ d)…
Aplique las fórmulas de las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x^2 - 5)^2$
- c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
- d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$
Realice la siguiente operación combinada con polinomios y reduzca los términos semejantes: $$ [ (x + 2)^2 \cdot (x - 2) ] - (x - 1) \cdot (x^2 + x + 1) $$ Pista: Fíjese…
Realice la siguiente operación combinada con polinomios y reduzca los términos semejantes:
$$ [ (x + 2)^2 \cdot (x - 2) ] - (x - 1) \cdot (x^2 + x + 1) $$Pista: Fíjese bien si puede aplicar algún producto notable antes de multiplicar.
Problemas de área
El área de un rectángulo es largo $\times$ ancho, así que aquí se multiplican polinomios. Para una figura con un hueco, resta el área del hueco del área total. Pon el área del hueco entre paréntesis antes de restar.
La misma idea sirve para el crecimiento. Resta el área vieja del área nueva para hallar el aumento.
Calcule el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Exprese el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.
Calcule el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Exprese el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.
Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ pies y su altura mide $5$ pies menos que la base. La ciudad decide ampliar el parque aumentando la…
Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ pies y su altura mide $5$ pies menos que la base. La ciudad decide ampliar el parque aumentando la base en $3$ pies y la altura en $2$ pies.
-
Escriba el polinomio $A_1(x)$ del área del parque original.
-
Escriba el polinomio $A_2(x)$ del área del parque ampliado.
-
Halle el polinomio que representa el incremento de área $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ y simplifíquelo.
Calcule el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de…
Calcule el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de lado $3x + 2$ y el hueco interior es un rectángulo de base $x + 4$ y altura $x - 1$.
Patrones que crecen
Un diseñador de videojuegos construye un patrón de piso por niveles. Para escribir un polinomio de un patrón, cuenta los mosaicos de los niveles $1$, $2$, $3$. Busca una regla, compruébala con el dibujo y escríbela con $n$.
Aquí hay una alberca de $n \times n$ mosaicos con un borde de un mosaico alrededor.
Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el piso de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el…
Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el piso de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el patrón anterior con una nueva capa de baldosas de distinto color. El número total de baldosas en el nivel $n$ sigue una secuencia lógica.
Observe la figura que representa los tres primeros niveles y:
-
Encuentre el polinomio $P(n)$ que expresa el número total de baldosas necesarias para construir hasta el nivel $n$.
-
Calcule cuántas baldosas tendrá un piso de nivel $n = 12$.
Factorización
Factorizar es multiplicar al revés. Reescribes un polinomio como un producto.
Paso 1: Saca el MCD
Halla el máximo común divisor (MCD) de todos los términos. Es el mayor número que divide a todos los coeficientes, por la menor potencia de cada variable que comparten. Escríbelo fuera del paréntesis y pon dentro lo que queda.
Con dos letras, haz lo mismo con cada una: $8a^3b^2 - 20a^2b = 4a^2b(2ab - 5)$. Con fracciones también funciona: $\tfrac{1}{4}x^3 + \tfrac{3}{4}x = \tfrac{1}{4}x(x^2 + 3)$.
Paso 2: Busca un producto especial
Lee los productos especiales al revés.
Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando el primer y el último término son cuadrados y el término del medio es el doble del producto de sus raíces. Por ejemplo, $x^2 + 14x + 49$: $x^2 = x^2$, $49 = 7^2$ y $2 \cdot x \cdot 7 = 14x$ ✓. Así que es igual a $(x + 7)^2$.
Simplificar con estas herramientas
Los productos especiales y la factorización juntos simplifican expresiones complicadas.
Algunos problemas dicen "saca el factor común". Eso es exactamente el paso del MCD de arriba.
Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utilice esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas: a)…
Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utilice esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
- a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
- b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
- c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$
Extraiga factor común y utilice los productos notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización): 1. $Q(x) = 3x^3 - 12x$ 2.…
Extraiga factor común y utilice los productos notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización):
-
$Q(x) = 3x^3 - 12x$
-
$R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$
-
$S(x) = 2x^2 + 20x + 50$
Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables y la extracción de factor común: $$ \frac{(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2}{12x}…
Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables y la extracción de factor común:
$$ \frac{(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2}{12x} $$Indique si el resultado final es un número constante o depende del valor de $x$.
Resumen
Volvamos al principio: la fórmula del cohete, $h(t) = -5t^2 + 25t + 2$, es un trinomio de grado $2$. Su término constante, $2$, es la altura de la plataforma, y su valor en cualquier momento da la altura del cohete en ese instante.