Operaciones con polinomios

Identifique los elementos principales del siguiente polinomio:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) ¿Cuál es su grado?

• b) ¿Cuál es el coeficiente principal?

• c) ¿Cuál es el término independiente?

• d) ¿Cuántos términos tiene?

Calcule el valor numérico del polinomio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ para los siguientes casos:

• a) Para $x = 0$

• b) Para $x = 1$

Halle el valor del coeficiente $k$ en el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sabiendo que al calcular su valor numérico para $x = 2$ obtenemos como resultado $10$.

En un videojuego de estrategia, su inventario se divide en dos cofres. El contenido del primer cofre viene dado por el polinomio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ y el del segundo por $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, donde $x$ representa el nivel de rareza de los objetos. Calcule el polinomio total que representa la suma de los dos cofres: $P(x) + Q(x)$.

Observe el siguiente esquema de una pista de patinaje (skate) rectangular. Escriba el polinomio reducido que representa el perímetro de la pista en función de $x$.

En una tienda de videojuegos, el inventario de tres categorías distintas viene expresado por los siguientes polinomios, donde $x$ representa el número de lanzamientos nuevos de este mes:

• Acción: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Aventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Estrategia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calcule las siguientes expresiones simplificando el resultado:

1. a) El total de videojuegos en la tienda: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La diferencia entre los juegos de Acción y los de Aventura: $A(x) - B(x)$
3. c) ¿Cuántos juegos de Estrategia quedarían si se venden la mitad de un lote de tamaño $4x^2 - 2x$? Calcule: $C(x) - (2x^2 - x)$

Para organizar un evento de "e-sports", una empresa utiliza la expresión $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ para calcular sus gastos y $I(x) = 15x^2 + 2x$ para calcular sus ingresos (donde $x$ es el número de patrocinadores). Halle el polinomio que representa el beneficio neto, sabiendo que el beneficio es la diferencia entre ingresos y gastos: $I(x) - G(x)$.

En un laboratorio, el crecimiento de una población de bacterias $A$ sigue el polinomio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, donde $t$ es el tiempo en horas. Otra población $B$ crece según el polinomio $B(t) = t^2 - 5t$.

Si los científicos necesitan conocer el comportamiento de un cultivo mixto definido por la operación $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, ¿cuál es el polinomio simplificado que representa a dicha población $C$?

Determine el polinomio desconocido $Q(x)$ en la siguiente igualdad:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

A continuación, calcule el valor numérico de $Q(x)$ para $x = -2$.

Realice la siguiente operación multiplicando el monomio por el polinomio (aplicando la propiedad distributiva):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios y reduce los términos semejantes:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Un joven diseñador está creando un logo para su marca de ropa. El logo central es un rectángulo como el de la figura. Halle el polinomio que representa el área total de la figura.

Dada la siguiente expresión combinada con polinomios, opere y simplifique hasta obtener un único polinomio ordenado de mayor a menor grado:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Calcule el área de la zona sombreada en la siguiente figura. La figura representa una placa metálica rectangular a la que se le ha extraído un rectángulo interior para dejar espacio a un componente electrónico. Exprese el resultado como un polinomio en función de $x$.

Datos adicionales:

• Base exterior: $5x + 3$

• Altura exterior: $3x$

• Base interior: $x + 2$

• Altura interior: $x$

En el centro de un jardín cuadrado de lado $2x + 5$ pies, se ha instalado una piscina rectangular cuyas dimensiones son $x + 2$ pies de largo y $x - 1$ pies de ancho. Halle el polinomio que representa el área de la zona de césped (la parte del jardín que no ocupa la piscina).

Una empresa de paquetería diseña cajas con forma de ortoedro. Las dimensiones de la caja son las siguientes: el largo mide $x + 5$ pulgadas, el ancho es $x - 2$ pulgadas y la altura es el doble del ancho.

1. a) Exprese mediante un polinomio el volumen de la caja en función de $x$.
2. b) Desarrolle y simplifique dicho polinomio.

Aplique las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones directamente, sin realizar la multiplicación paso a paso:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de lado $L = 2x + 5$ pies. En el centro, decide colocar una fuente también cuadrada de lado $l = x - 3$ pies.

1. a) Desarrolle la expresión del área de la plaza utilizando las identidades notables: $(2x + 5)^2$
2. b) Desarrolle la expresión del área de la fuente utilizando las identidades notables: $(x - 3)^2$
3. c) Calcule el polinomio que representa la superficie de la plaza que queda libre para caminar (Área plaza - Área fuente).

Aplique las identidades notables para desarrollar y simplificar la siguiente expresión:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Extraiga el factor común en las siguientes expresiones algebraicas sencillas:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Extraer el factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Analice las siguientes expresiones algebraicas y extraiga todos los factores comunes posibles (números y letras):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

Simplifique la siguiente fracción algebraica extrayendo primero el factor común en el numerador y el denominador:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Pista: Recuerde que un polinomio se puede dividir por un monomio dividiendo cada uno de sus términos.

Calcule la siguiente expresión reduciendo al máximo el polinomio resultante. Preste especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis con signos negativos delante:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

Un fabricante de fundas para celulares ha determinado que el costo de producir $x$ unidades viene dado por el polinomio $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, mientras que los ingresos obtenidos por la venta de esas mismas unidades se expresan como $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Halle el polinomio $B(x)$ que representa el beneficio (Ingresos menos Costos).
2. b) Calcule el beneficio si se venden $40$ fundas.