Factorización en primos

Clasifica los siguientes números naturales en primos o compuestos. Recuerda que los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos.

$14, 17, 21, 23, 27, 29, 33, 37$

Se quiere diseñar un código de barras especial basado en un número $K$. Este número se forma multiplicando los primeros $n$ números primos de forma consecutiva (por ejemplo, si $n=3$, el número sería $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$).

Si queremos que el número $K$:

1. Sea mayor que $1000$ pero menor que $5000$.

2. Tenga exactamente $6$ factores primos distintos en su descomposición factorial.

¿Cuál es el valor de $K$? Muestra la lista de números primos que has utilizado y comprueba que el resultado está dentro del rango solicitado.

Indica a qué número corresponden las siguientes descomposiciones factoriales:

1. a) $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

1. b) $2^{3} \cdot 7$

1. c) $3^{2} \cdot 11$

¿Cuál es el mayor número de dos cifras que tiene solo al $2$ y al $3$ como factores primos en su descomposición?

Ejemplo de ayuda: el número $6 = 2 \cdot 3$ cumple la condición, pero no es el mayor de dos cifras.

Completa el siguiente árbol de factores para el número $24$. Debes encontrar dos números que multiplicados den el nivel superior, hasta que todos los números de las puntas sean primos.

Escribe finalmente la descomposición de $24$ como producto de sus factores primos.

Copia en tu cuaderno este esquema de descomposición factorial y rellena los huecos vacíos (marcados con la letra $x$) con los números correspondientes:

Completa los huecos de la siguiente descomposición factorial de un número utilizando la técnica de la barra vertical:

Escribe el resultado final de la descomposición utilizando potencias.

Realiza la descomposición factorial de los siguientes números. Expresa el resultado final en forma de producto de potencias:

1. a) $36$

1. b) $45$

1. c) $80$

Observa la descomposición factorial de los siguientes números:

$A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

$B = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$

Sin realizar las multiplicaciones, contesta razonadamente:

1. a) ¿Es el número $A$ múltiplo de $7$?
2. b) ¿Es el número $B$ divisible por $10$? (Pista: observa si tiene los factores necesarios para formar el $10$).
3. c) ¿Es el número $3$ un divisor de $A$?

A partir de la descomposición en factores primos del número $150$, responde a las siguientes cuestiones razonando tu respuesta:

1. a) ¿Es $150$ divisible por $10$?
2. b) ¿Es $150$ divisible por $4$?
3. c) ¿Es $150$ divisible por $15$?

Encuentra el número cuya descomposición factorial es $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$. Una vez hallado, explica si ese número es múltiplo de $6$ y de $22$ fijándote únicamente en sus factores primos (sin realizar divisiones).

Un profesor de Educación Física quiere organizar a sus $28$ estudiantes en grupos iguales de más de $2$ personas pero menos de $10$, de modo que no sobre ningún estudiante.

Utiliza la descomposición factorial de $28$ para encontrar todas las formas posibles de hacer los grupos.

Un fotógrafo profesional de Instagram quiere organizar su muro de fotos. Tiene $210$ imágenes y quiere publicarlas en bloques iguales.

1. a) Descompón $210$ en factores primos.
2. b) Escribe cuatro formas diferentes de agrupar las fotos (por ejemplo: "3 bloques de 70 fotos") utilizando combinaciones de sus factores primos.

Una empresa de logística utiliza cajas cúbicas pequeñas para almacenar piezas. El volumen total de un contenedor de carga es de $151200$ $cm^{3}$. El contenedor debe llenarse completamente con paquetes rectangulares que midan $a$ pulgadas de ancho, $b$ pulgadas de largo y $c$ pulgadas de alto, donde $a$, $b$ y $c$ son números primos distintos entre sí.

Si sabemos que el contenedor puede albergar exactamente un número de paquetes que es múltiplo de $10$:

1. Realiza la descomposición factorial de $151200$.

2. Identifica las posibles dimensiones de los paquetes si el volumen de cada paquete debe ser mayor de $100$ $cm^{3}$.

Un diseñador de videojuegos quiere organizar un almacén virtual de objetos. Para ello, necesita saber cuántos divisores tiene el número de cajas disponibles, que es $360$.

1. a) Realiza la descomposición factorial de $360$.
2. b) Utilizando la regla de los exponentes (sumar uno a cada exponente de la descomposición y multiplicarlos), calcula el número total de divisores que tiene $360$.

Un estudiante de 8.º grado afirma que ha encontrado un número $X$ cuya descomposición factorial es $2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 6^{2} \cdot 5$.

1. Explica por qué esa expresión no es una descomposición factorial válida.

2. Corrige la expresión para que sea una descomposición en factores primos real.

3. Sin calcular el valor numérico de $X$, determina cuántos divisores tiene. Muestra el proceso de cálculo paso a paso.

Un hacker ha bloqueado el acceso a un servidor y ha dejado la siguiente pista sobre la contraseña numérica, que es un número $N$ de cuatro cifras:

• La descomposición factorial de $N$ es de la forma $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$.

• El número de divisores totales de $N$ es exactamente $30$.

• El número es un múltiplo de $100$ pero no es múltiplo de $8$.

Determina razonadamente el valor de la contraseña $N$ y muestra su descomposición factorial completa.

Realiza la descomposición en factores primos de los números $720$ y $1260$ utilizando el método de la barra vertical. Una vez obtenidas las expresiones en forma de potencia, indica qué factores primos tienen en común y cuál es el mayor exponente con el que aparece cada uno en ambas descomposiciones.

Considera dos números naturales, $A$ y $B$, cuyas descomposiciones factoriales son las siguientes:

$A = 2^{3} \cdot 3^{x} \cdot 5^{2}$

$B = 2^{y} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1}$

Sabiendo que el Máximo Común Divisor de ambos es $M.C.D.(A, B) = 36$, averigua el valor de las incógnitas $x$ e $y$. Una vez halladas, calcula el valor del mínimo común múltiplo $m.c.m.(A, B)$ expresado también en su forma de descomposición factorial.

En una red de satélites, el Satélite A completa una órbita cada $1260$ minutos, el Satélite B cada $1584$ minutos y el Satélite C cada $n$ minutos.

Se sabe que la última vez que los tres coincidieron sobre el cielo de Houston fue hace exactamente el tiempo marcado por su $m.c.m$.

Si la descomposición factorial de $n$ es $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$, calcula:

1. La descomposición factorial de los tiempos de los satélites A y B.

2. El tiempo total (en minutos) que debe transcurrir para que los tres satélites vuelvan a coincidir. Deja el resultado expresado como producto de potencias de factores primos.

Tenemos tres números naturales descompuestos en factores primos:

$n_1 = 2^{3} \cdot p \cdot 7$

$n_2 = 2^{q} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$n_3 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 11$

Si sabemos que:

• $M.C.D.(n_1, n_2) = 8$

• $m.c.m.(n_2, n_3) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11$

Halla los valores de los números primos o exponentes desconocidos $p$ y $q$. Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de la descomposición factorial para el cálculo del $M.C.D.$ y el $m.c.m$.

Decimos que un número es un cuadrado perfecto si todos los exponentes de su descomposición factorial son números pares.

1. a) Descompón factorialmente el número $180$. ¿Es un cuadrado perfecto?
2. b) ¿Cuál es el número más pequeño por el que tendrías que multiplicar $180$ para que el resultado sí sea un cuadrado perfecto? Justifica tu respuesta analizando los exponentes.

El volumen de una caja con forma de cubo es exactamente $1728$ pulgadas$^3$.

1. a) Descompón factorialmente el número $1728$.
2. b) Sabiendo que el volumen de un cubo se calcula como $V = l^3$ (donde $l$ es la arista), utiliza la descomposición anterior para agrupar los factores en tres grupos idénticos y halla la medida de la arista.

Averigua cuál es el número más pequeño que cumple simultáneamente estas tres condiciones:

• Es un cuadrado perfecto (todos los exponentes de su descomposición factorial son pares).

• Es un múltiplo de $42$.

• Es un múltiplo de $60$.

Para resolverlo, utiliza la descomposición factorial de $42$ y $60$ y razona qué factores y exponentes debes añadir para obtener el cuadrado perfecto mínimo.