Operaciones con números enteros
En un videojuego de supervivencia empiezas con $150$ puntos de energía. Cada hora en una cueva oscura te cuesta $25$ puntos, y cada cristal de luz que recoges te da $40$. ¿Cuánta energía tienes después de $3$ horas en las cuevas y $2$ cristales? Para contestar, necesitas sumar, restar y multiplicar números enteros sin errores de signo, y luego combinar varias operaciones en el orden correcto. Vamos a construirlo paso a paso.
Opuestos y valor absoluto
Dos números que están a la misma distancia de $0$ pero en lados opuestos son opuestos. El opuesto de $7$ es $-7$, y el opuesto de $-7$ es $7$.
El valor absoluto de un número es su distancia a $0$ en la recta numérica. Una distancia nunca es negativa, así que un valor absoluto nunca es negativo. Lo escribimos con barras verticales: $|-12| = 12$, $|5| = 5$, $|0| = 0$.
Tanto $-7$ como $7$ están a $7$ unidades de $0$, así que $|-7| = |7| = 7$.
Calcula el valor absoluto de los siguientes números y ordénalos de menor a mayor: $|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$
Calcula el valor absoluto de los siguientes números y ordénalos de menor a mayor:
$|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$
Suma y resta de enteros
Imagina una recta numérica. Sumar un número positivo te mueve a la derecha. Sumar un número negativo te mueve a la izquierda. Aquí tienes una mañana fría: a las 7 a.m. el termómetro marca $-6\,^\circ\text{F}$, sube $14$ grados al mediodía y baja $11$ grados por la noche.
Las pirámides de sumas usan esta destreza. Cada casilla es la suma de las dos casillas que están justo debajo, así que si conoces la de arriba y una de abajo, restas para hallar la otra.
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro marcaba $-5^{\circ}C$ a las siete de la mañana. Al mediodía, la temperatura subió $12^{\circ}C$ y, al llegar la…
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro marcaba $-5^{\circ}C$ a las siete de la mañana. Al mediodía, la temperatura subió $12^{\circ}C$ y, al llegar la noche, volvió a bajar $9^{\circ}C$. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro al final del día? Escribe la operación completa usando números enteros.
Observa la siguiente recta numérica y los movimientos realizados por un saltamontes partiendo desde el punto $0$. Indica el número entero que corresponde a cada posición…
Observa la siguiente recta numérica y los movimientos realizados por un saltamontes partiendo desde el punto $0$. Indica el número entero que corresponde a cada posición final tras realizar los saltos representados.
- a) ¿A qué número llega tras el primer salto de $+4$?
- b) ¿En qué número aterriza finalmente tras el segundo movimiento?
Completa los espacios vacíos en esta pirámide de números enteros sabiendo que el valor de cada casilla es igual a la suma de los dos números que tiene justo debajo.…
Completa los espacios vacíos en esta pirámide de números enteros sabiendo que el valor de cada casilla es igual a la suma de los dos números que tiene justo debajo. Debes calcular primero las casillas de la base para poder completar el resto.
Multiplicación y división: la regla de los signos
Mira qué pasa cuando el segundo factor se queda en $-2$ y el primer factor baja $1$ cada vez:
| Producto | Resultado |
|---|---|
| $3 \times (-2)$ | $-6$ |
| $2 \times (-2)$ | $-4$ |
| $1 \times (-2)$ | $-2$ |
| $0 \times (-2)$ | $0$ |
| $(-1) \times (-2)$ | $2$ |
| $(-2) \times (-2)$ | $4$ |
Los resultados suben $2$ en cada fila, así que el patrón obliga a que $(-1) \times (-2) = +2$. Esa es la regla de los signos.
Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones aplicando correctamente la regla de los signos: a) $(+6) \cdot (-3) =$ b) $(-20) : (-5) =$ c) $(-8) \cdot (-4) =$…
Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones aplicando correctamente la regla de los signos:
- a) $(+6) \cdot (-3) =$
- b) $(-20) : (-5) =$
- c) $(-8) \cdot (-4) =$
- d) $(+35) : (-7) =$
Resuelve la siguiente pirámide numérica de multiplicación. El valor de cada casilla es el producto de los dos números enteros situados justo debajo.
Resuelve la siguiente pirámide numérica de multiplicación. El valor de cada casilla es el producto de los dos números enteros situados justo debajo.
Signos delante de paréntesis
Un signo delante de un paréntesis te dice qué hacer al quitarlo. Un signo más deja todo lo de adentro igual. Un signo menos cambia todos los signos de adentro.
Las barras de valor absoluto y los opuestos suelen aparecer juntos. Recuerda que las barras actúan como paréntesis y que un signo menos fuera de ellas se aplica al final.
Quita los paréntesis y calcula el resultado final de las siguientes expresiones: a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$ b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$ c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$
Quita los paréntesis y calcula el resultado final de las siguientes expresiones:
- a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$
- b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$
- c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$
Simplifica la siguiente expresión eliminando paréntesis y utilizando las propiedades del valor absoluto y el opuesto:…
Simplifica la siguiente expresión eliminando paréntesis y utilizando las propiedades del valor absoluto y el opuesto:
$- | -8 + 3 \cdot (-2) | - [ - ( - 10 ) + ( - 4 ) \cdot ( - 3 ) ]$
Orden de las operaciones con símbolos de agrupación
Cuando una expresión tiene varias operaciones, todos debemos obtener la misma respuesta, así que acordamos un orden. Los símbolos de agrupación son los paréntesis $( \ )$, los corchetes $[ \ ]$, las llaves $\{ \ \}$ y las barras de valor absoluto. Cuando están anidados, trabaja de adentro hacia afuera.
Algunos problemas escriben la división con dos puntos, $a : b$. Significa $a \div b$.
Calcula el resultado de estas operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones: a) $10 + 2 \cdot (-3) =$ b) $(-15) : 3 - 4 =$ c) $8 - (-10) : 2 =$ d)…
Calcula el resultado de estas operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones:
- a) $10 + 2 \cdot (-3) =$
- b) $(-15) : 3 - 4 =$
- c) $8 - (-10) : 2 =$
- d) $(-5) \cdot (-2) + (-6) =$
Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y prestando especial atención a los signos: a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$…
Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y prestando especial atención a los signos:
- a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$
- b) $( -12 + 16 ) : ( 1 - 5 ) - 3 \cdot ( -2 )$
Resuelve la siguiente operación combinada prestando especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis, corchetes y llaves:…
Resuelve la siguiente operación combinada prestando especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis, corchetes y llaves:
$15 - \{ -3 \cdot [8 - (12 - 15) \cdot (-2)] + (-18) : (5 - 11) \}$
La propiedad distributiva
Cuando un número multiplica una suma o una resta, puedes multiplicarlo por cada término por separado.
La propiedad también funciona al revés. Si todos los términos tienen el mismo factor, sácalo como factor común y la aritmética se vuelve más fácil.
Aplica la propiedad distributiva para resolver las siguientes expresiones de dos formas distintas (operando primero el paréntesis y distribuyendo el factor): a)…
Aplica la propiedad distributiva para resolver las siguientes expresiones de dos formas distintas (operando primero el paréntesis y distribuyendo el factor):
- a) $-3 \cdot ( 8 - 12 )$
- b) $5 \cdot [ -4 + ( -6 ) ]$
- c) $( -10 + 2 ) \cdot ( -4 )$
Utiliza la propiedad distributiva de forma inversa (sacar factor común) para calcular de la manera más rápida y sencilla posible el resultado de la siguiente expresión:…
Utiliza la propiedad distributiva de forma inversa (sacar factor común) para calcular de la manera más rápida y sencilla posible el resultado de la siguiente expresión:
$(-12) \cdot 35 + (-12) \cdot (-18) + (-12) \cdot 33$
Una vez extraído el factor común, resuelve el paréntesis y obtén el resultado final.
Cómo hallar un número desconocido
A veces un número está escondido: $\square$ o $x$. Para hallarlo, deshaz las operaciones. Cada operación tiene una inversa, y lo que le haces a un lado lo haces al otro.
| Ecuación | Cómo deshacerla | Número desconocido |
|---|---|---|
| $a + \square = c$ | resta $a$ | $c - a$ |
| $\square - a = c$ | suma $a$ | $c + a$ |
| $a - \square = c$ | resta de $a$ | $a - c$ |
| $a \times \square = c$ | divide entre $a$ | $c \div a$ |
| $\square \div a = c$ | multiplica por $a$ | $c \times a$ |
| $a \div \square = c$ | divide $a$ entre $c$ | $a \div c$ |
Siempre comprueba sustituyendo tu respuesta.
En una ecuación anidada, simplifica lo que puedas y luego quita las operaciones de afuera hacia adentro. Aquí la ecuación es $36 \div \{-3 \times [x - (4 - 9)]\} = -4$, y el diagrama muestra cada paso hacia adelante y, debajo, el paso para deshacerlo.
También puedes construir una expresión trabajando hacia atrás desde la respuesta que quieres.
Completa los espacios vacíos con el número entero correspondiente para que las igualdades sean ciertas: a) $-15 + ( \square ) = -32$ b) $4 \cdot ( \square ) = -36$ c)…
Completa los espacios vacíos con el número entero correspondiente para que las igualdades sean ciertas:
- a) $-15 + ( \square ) = -32$
- b) $4 \cdot ( \square ) = -36$
- c) $( \square ) : (-3) = +12$
- d) $-10 - ( \square ) = -4$
Escribe una expresión matemática que utilice al menos una multiplicación, una división, una suma y unos paréntesis, de tal manera que el resultado final sea $-10$.…
Escribe una expresión matemática que utilice al menos una multiplicación, una división, una suma y unos paréntesis, de tal manera que el resultado final sea $-10$.
Pista: Puedes empezar pensando en el resultado y "deshacer" las operaciones hacia atrás.
Calcula el valor que debe tener la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad. Muestra todos los pasos intermedios de tu razonamiento:…
Calcula el valor que debe tener la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad. Muestra todos los pasos intermedios de tu razonamiento:
$24 : \{ -2 \cdot [x - (12 - 17)] \} = -3$
Historias de ganancias y pérdidas
Las historias se convierten en matemáticas cuando decides un signo para cada cambio.
-
Subir, depósito, ganancia, aumento: positivo.
-
Bajar, pago, pérdida, descenso: negativo.
Escribe primero la cantidad inicial y luego cada cambio en orden. Los cambios iguales que se repiten son un producto: tres cargos de $\$9$ son $3 \times (-9)$.
En tu cuenta de ahorros para el viaje de fin de curso tienes un saldo inicial de $\$45$. Durante la semana realizas los siguientes movimientos: Depositas $\$20$ que te…
En tu cuenta de ahorros para el viaje de fin de curso tienes un saldo inicial de $\$45$. Durante la semana realizas los siguientes movimientos:
-
Depositas $\$20$ que te dio tu abuela.
-
Pagas un boleto de cine que cuesta $\$9$.
-
Compras un libro de segunda mano por $\$6$.
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Te devuelven $\$3$ que habías prestado a un amigo.
Calcula el saldo final utilizando una expresión con números positivos y negativos.
Un repartidor entra en un edificio y estaciona su camioneta en el segundo sótano (piso $-2$). Realiza los siguientes trayectos: 1. Sube 5 pisos para entregar un paquete.…
Un repartidor entra en un edificio y estaciona su camioneta en el segundo sótano (piso $-2$). Realiza los siguientes trayectos:
-
Sube 5 pisos para entregar un paquete.
-
Baja 4 pisos para recoger otra caja.
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Sube 7 pisos para la última entrega.
¿Calcula en qué piso se encuentra el repartidor al terminar su trabajo? Ayúdate del siguiente esquema:
En una cuenta bancaria de un joven ahorrador, se registran los siguientes movimientos en una semana: un depósito de $\$45$, un pago con tarjeta de $\$-12$, una…
En una cuenta bancaria de un joven ahorrador, se registran los siguientes movimientos en una semana: un depósito de $\$45$, un pago con tarjeta de $\$-12$, una transferencia recibida de $\$20$ y tres cargos automáticos de suscripciones de $\$-9$ cada uno.
Si al comenzar la semana el saldo era de $\$-15$, ¿cuál es el saldo final? Escribe el proceso utilizando una suma de números positivos y negativos.
Historias de varios pasos
Muchas historias describen un cambio en función de una cantidad anterior, como "el doble de lo que ganó" o "un tercio de su profundidad". Calcula primero esa cantidad (es un tamaño positivo) y luego aplica el signo del movimiento.
| Frase | Cantidad | Signo |
|---|---|---|
| sube / gana / aumenta | el tamaño | $+$ |
| baja / pierde / disminuye | el tamaño | $-$ |
| el doble, el triple | $2 \times$, $3 \times$ la cantidad anterior | como arriba |
| la mitad de, un tercio de | $\div 2$, $\div 3$ de la cantidad anterior | como arriba |
En un videojuego de supervivencia, un jugador comienza con $150$ puntos de energía. Por cada hora que pasa explorando cuevas oscuras, pierde $25$ puntos, pero por cada…
En un videojuego de supervivencia, un jugador comienza con $150$ puntos de energía. Por cada hora que pasa explorando cuevas oscuras, pierde $25$ puntos, pero por cada "cristal de luz" que recolecta, gana $40$ puntos.
Si el jugador pasa $4$ horas en las cuevas y logra recolectar $3$ cristales, escribe una expresión con números enteros que represente su energía final y calcúlala.
Un batiscafo de investigación oceanográfica se encuentra sumergido a $-450$ pies respecto al nivel del mar. Realiza una maniobra en tres etapas: 1. Desciende una…
Un batiscafo de investigación oceanográfica se encuentra sumergido a $-450$ pies respecto al nivel del mar. Realiza una maniobra en tres etapas:
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Desciende una distancia equivalente a la tercera parte de su profundidad actual.
-
Asciende $120$ pies para evitar una corriente térmica.
-
Desciende el doble de lo que ascendió en el paso anterior.
¿A qué profundidad se encuentra el batiscafo tras finalizar la maniobra? Exprésalo mediante una operación combinada de números enteros.
Una empresa tecnológica que cotiza en bolsa comenzó la semana con un valor por acción de $\$45…
Una empresa tecnológica que cotiza en bolsa comenzó la semana con un valor por acción de $\$45$. Durante los cinco días laborables, sufrió las siguientes variaciones diarias:
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Lunes: sube $\$3$.
-
Martes: baja el doble de lo que subió el lunes.
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Miércoles: pierde $\$5$.
-
Jueves: recupera la mitad de lo perdido entre martes y miércoles.
-
Viernes: sube el triple de la variación del lunes.
¿Cuál es el valor final de la acción al cierre del viernes? Expresa todo el proceso mediante una única operación con números enteros.
Distancia recorrida y valor absoluto
Dónde terminas y cuánto recorriste son preguntas distintas. Tu posición es la suma de los movimientos con signo. La distancia recorrida suma los valores absolutos de los movimientos, porque bajar $36$ pies sigue siendo caminar $36$ pies.
El valor absoluto también dice a qué distancia de $0$ está una posición. "Sube el valor absoluto de tu profundidad" significa subir exactamente lo que estás debajo de la superficie.
Un dron submarino de exploración se encuentra sumergido a una profundidad de $-150$ pies respecto al nivel del mar. Realiza los siguientes movimientos: 1. Asciende $80$…
Un dron submarino de exploración se encuentra sumergido a una profundidad de $-150$ pies respecto al nivel del mar. Realiza los siguientes movimientos:
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Asciende $80$ pies para evitar una corriente.
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Desciende el triple de lo que acaba de ascender.
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Vuelve a ascender la mitad de la profundidad a la que se encontraba tras el segundo movimiento.
Calcula la profundidad final del dron y exprésalo con una operación combinada que incluya valores absolutos para las distancias recorridas.
En un rascacielos muy alto, un operario de mantenimiento se encuentra en el sótano $-4$. Sube $12$ pisos para arreglar un aire acondicionado. Después, baja el doble de…
En un rascacielos muy alto, un operario de mantenimiento se encuentra en el sótano $-4$. Sube $12$ pisos para arreglar un aire acondicionado. Después, baja el doble de pisos de los que subió inicialmente. Finalmente, sube el valor absoluto del piso en el que se encuentra en ese momento para llegar a su última tarea.
¿En qué piso termina el operario su jornada laboral?
De vuelta al inicio: Después de $3$ horas en las cuevas y $2$ cristales, el jugador tiene $150 - 3 \times 25 + 2 \times 40 = 150 - 75 + 80 = 155$ puntos de energía.