Triángulos semejantes
Mateo está parado al pie del asta bandera de la escuela con una cinta métrica que es demasiado corta para llegar a la punta. Se da cuenta de que su sombra y la sombra del asta se extienden sobre el pavimento. ¿Podrían unas cuantas medidas en el suelo, con un poco de matemáticas, decirle qué tan alta es el asta?
Triángulos semejantes y factor de escala
Piensa en acercar (hacer zoom) una foto. La imagen se agranda, pero su forma no cambia. Los triángulos pueden hacer lo mismo.
La razón entre cualquier par de lados correspondientes es el mismo número. Lo llamamos factor de escala $k$:
$$k = \dfrac{\text{lado del triángulo nuevo}}{\text{lado correspondiente del original}}$$Si $k > 1$, el triángulo nuevo es más grande. Si $0 < k < 1$, es más pequeño. Si $k = 1$, los triángulos son congruentes.
Muchas veces no te dan $k$. Lo encuentras con un par de lados correspondientes y luego lo usas para el resto.
Así se ve que "la misma inclinación" es una idea de triángulos semejantes. Una rampa para sillas de ruedas, un techo o una escalera forman un triángulo rectángulo con una "altura" (rise) y un "avance" (run). Si mantienes el mismo ángulo pero haces la rampa más larga, obtienes un triángulo semejante más grande. La altura y el avance crecen con el mismo factor de escala.
Calcule la medida de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden $5$ pulgadas, $7$ pulgadas y $9$ pulgadas, si la razón de semejanza es $k = 3$. ¿Cómo…
Calcule la medida de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden $5$ pulgadas, $7$ pulgadas y $9$ pulgadas, si la razón de semejanza es $k = 3$. ¿Cómo será el nuevo triángulo, más grande o más pequeño que el original?
Calcule la razón de semejanza $k$ que convierte al triángulo pequeño en el triángulo grande, sabiendo que son semejantes. Una vez hallada la $k$, indique cuánto debe…
Calcule la razón de semejanza $k$ que convierte al triángulo pequeño en el triángulo grande, sabiendo que son semejantes. Una vez hallada la $k$, indique cuánto debe medir el lado marcado con la letra $x$.
La ciudad quiere instalar una rampa de acceso para sillas de ruedas. El diseño original es un triángulo rectángulo de base $4$ pies y altura $0,8$ pies. Por normativa,…
La ciudad quiere instalar una rampa de acceso para sillas de ruedas. El diseño original es un triángulo rectángulo de base $4$ pies y altura $0,8$ pies. Por normativa, deben ampliar la base hasta los $6$ pies manteniendo la misma inclinación (ángulo).
a) ¿Qué altura tendrá la nueva rampa?
b) Si para la rampa original se necesitaban $4,08$ pies de superficie de rodamiento (hipotenusa), ¿cuántos pies se necesitarán para la rampa ampliada?
El atajo AA
Revisar los tres ángulos y los tres lados de dos triángulos tomaría una eternidad. Por suerte, solo necesitas revisar algunas cosas. El primer atajo usa ángulos.
Recuerda que los tres ángulos de cualquier triángulo suman $180^\circ$. Si dos ángulos coinciden, el tercero no tiene opción: también debe coincidir.
¿Por qué funciona? Dos ángulos determinan el tercero, así que la "forma" del triángulo queda fija. Lo único que puede cambiar es el tamaño.
Dos casos especiales aparecen mucho:
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Triángulos rectángulos. Todo triángulo rectángulo ya tiene un ángulo de $90^\circ$. Así que dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual (por ejemplo, ambos tienen un ángulo de $37^\circ$) son semejantes por AA.
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Triángulos isósceles. Si dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo entre sus lados iguales, sus ángulos de la base también son iguales, porque cada ángulo de la base mide $\dfrac{180^\circ - \text{ángulo superior}}{2}$. Por lo tanto, son semejantes.
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales. Compruebe si los siguientes dos triángulos son semejantes calculando el ángulo que falta en cada uno: El…
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales. Compruebe si los siguientes dos triángulos son semejantes calculando el ángulo que falta en cada uno:
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El triángulo A tiene dos ángulos que miden $45^\circ$ y $75^\circ$.
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El triángulo B tiene dos ángulos que miden $75^\circ$ y $60^\circ$.
Recuerde que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es $180^\circ$.
Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual de $37^\circ$. ¿Podemos afirmar que son semejantes? Justifique su respuesta utilizando los criterios de semejanza…
Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual de $37^\circ$. ¿Podemos afirmar que son semejantes? Justifique su respuesta utilizando los criterios de semejanza de triángulos.
Dos alumnos de 7.º grado, Lucía y Marcos, están comprobando si dos velas triangulares de sus barcos de vela ligera son semejantes. La vela de Lucía tiene dos ángulos que…
Dos alumnos de 7.º grado, Lucía y Marcos, están comprobando si dos velas triangulares de sus barcos de vela ligera son semejantes. La vela de Lucía tiene dos ángulos que miden $65^\circ$ y $45^\circ$. La vela de Marcos tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $70^\circ$.
a) Calcula el tercer ángulo de cada una de las velas.
b) Razona, utilizando los criterios de semejanza, si las dos velas tienen la misma forma (son semejantes).
LLL y LAL
A veces conoces longitudes en lugar de ángulos. Hay dos atajos más.
¿Por qué? Con LLL, una sola razón común significa que todo el triángulo simplemente se escaló. Con LAL, el ángulo fija la forma en esa esquina y los lados proporcionales fijan cuánto se abre.
Compruebe si estos dos triángulos son semejantes utilizando el criterio de los lados proporcionales (criterio SSS). Para ello, divida los lados correspondientes (el…
Compruebe si estos dos triángulos son semejantes utilizando el criterio de los lados proporcionales (criterio SSS). Para ello, divida los lados correspondientes (el mayor entre el mayor, el mediano entre el mediano y el pequeño entre el pequeño) y observe si obtiene el mismo resultado.
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Triángulo 1: Lados de $6$ pulgadas, $9$ pulgadas y $12$ pulgadas.
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Triángulo 2: Lados de $4$ pulgadas, $6$ pulgadas y $8$ pulgadas.
Disponemos de dos triángulos isósceles. El primero tiene un ángulo desigual de $40^\circ$ y sus lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. El segundo tiene también un…
Disponemos de dos triángulos isósceles. El primero tiene un ángulo desigual de $40^\circ$ y sus lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. El segundo tiene también un ángulo desigual de $40^\circ$ pero sus lados iguales miden $15\text{ cm}$.
a) ¿Son semejantes estos dos triángulos? Justifica tu respuesta citando el criterio de semejanza aplicado.
b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el segundo y el primero?
c) Si la base del primer triángulo mide $6,84\text{ cm}$, ¿cuánto medirá la base del segundo?
Una recta paralela dentro de un triángulo
Los estantes de un librero triangular o las vigas de una armadura de techo suelen ser paralelos a la base. Cada pieza paralela corta un triángulo más pequeño que se ve igual que el completo.
¿Por qué? Las rectas paralelas cortan los lados con ángulos iguales (correspondientes), así que $\angle P = \angle B$ y $\angle Q = \angle C$. El ángulo en $A$ es común. Eso es AA, por lo que los triángulos son semejantes y sus lados son proporcionales.
Algunos problemas describen esta figura como "en posición de Tales". Es solo otro nombre para la misma configuración.
Sofía ha dibujado dos triángulos en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos, calcule la medida del lado $x$ utilizando la proporción…
Sofía ha dibujado dos triángulos en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos, calcule la medida del lado $x$ utilizando la proporción entre sus lados correspondientes.
Utilice el Teorema de Tales para hallar el valor de $x$ en la siguiente figura, donde las repisas de la estantería triangular son paralelas a la base.
Utilice el Teorema de Tales para hallar el valor de $x$ en la siguiente figura, donde las repisas de la estantería triangular son paralelas a la base.
En el diseño de una estructura metálica para un tejado, se utilizan dos vigas paralelas para reforzar la armadura principal. Sabiendo que los triángulos que se forman…
En el diseño de una estructura metálica para un tejado, se utilizan dos vigas paralelas para reforzar la armadura principal. Sabiendo que los triángulos que se forman están en posición de Tales, calcula la longitud de los segmentos marcados como $x$ e $y$ en el siguiente esquema:
(Nota: En la base, el segmento pequeño mide $4\text{ m}$ y el total $10\text{ m}$. El refuerzo paralelo mide $5\text{ m}$. Halla $x$, la base restante, e $y$, el lado derecho del refuerzo).
Parte y total: cómo hallar la pieza que falta
Muchos problemas te dan una pieza de un lado pero preguntan por el lado completo, o al revés. Dos hábitos ayudan:
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Decide siempre cuál segmento es el lado completo del triángulo grande.
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Si el problema pregunta por la pieza sobrante, resta al final.
Calcula la distancia entre los puntos $B$ y $E$ de la siguiente figura, sabiendo que los segmentos $BC$ y $DE$ son paralelos. Los datos conocidos son:…
Calcula la distancia entre los puntos $B$ y $E$ de la siguiente figura, sabiendo que los segmentos $BC$ y $DE$ son paralelos. Los datos conocidos son: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ y $DE = 12,5\text{ cm}$.
En un triángulo $ABC$, el lado $AB$ mide $12$ pulgadas y el lado $AC$ mide $15$ pulgadas. Trazamos un segmento $PQ$ paralelo al lado $BC$, de tal forma que el punto $P$…
En un triángulo $ABC$, el lado $AB$ mide $12$ pulgadas y el lado $AC$ mide $15$ pulgadas. Trazamos un segmento $PQ$ paralelo al lado $BC$, de tal forma que el punto $P$ está en $AB$ y el punto $Q$ está en $AC$. Si el segmento $AP$ mide la tercera parte de lo que mide el segmento $PB$, calcula las longitudes de los segmentos $AP$ y $AQ$. Justifica tu respuesta basándote en el Teorema de Tales.
Sombras y medición indirecta
Puedes medir algo que no alcanzas construyendo un triángulo semejante que sí puedas alcanzar.
A la misma hora del día, los rayos del sol son paralelos. Así que todo objeto vertical (una persona, un poste, un árbol) forma el mismo ángulo con el suelo, y cada uno forma un ángulo recto con el suelo. Dos ángulos iguales significa AA, así que los triángulos formados por cada objeto, su sombra y un rayo de sol son semejantes.
Volvamos al inicio: la sombra de Mateo mide $4$ pies por cada $5$ pies de altura. Eso es $1.25$ pies de altura por cada pie de sombra. La sombra del asta mide $24$ pies, así que el asta mide $24 \times 1.25 = 30$ pies de alto, solo con una cinta métrica corta.
Otra situación común: la punta de la sombra de un palo corto cae exactamente en la punta de la sombra de un objeto alto. Entonces ambos triángulos comparten la esquina en la punta de la sombra, así que comparten un ángulo. Los dos tienen un ángulo recto, así que son semejantes por AA. Ten cuidado aquí, porque el palo queda dentro del triángulo grande.
Un árbol proyecta una sombra de $12$ pies. En ese mismo instante, un bastón de $1,5$ pies clavado verticalmente en el suelo proyecta una sombra de $2$ pies. ¿Qué altura…
Un árbol proyecta una sombra de $12$ pies. En ese mismo instante, un bastón de $1,5$ pies clavado verticalmente en el suelo proyecta una sombra de $2$ pies. ¿Qué altura tiene el árbol? Explique por qué los triángulos formados por el árbol y el bastón con sus sombras son semejantes.
Para medir la altura de una canasta de baloncesto, un grupo de estudiantes utiliza un palo de $1,5$ pies colocado verticalmente. En el mismo instante en que la sombra…
Para medir la altura de una canasta de baloncesto, un grupo de estudiantes utiliza un palo de $1,5$ pies colocado verticalmente. En el mismo instante en que la sombra del palo mide $1,2$ pies, la sombra de la canasta proyectada en el suelo mide $2,4$ pies. Calcula la altura de la canasta aprovechando la semejanza de los triángulos formados por el sol.
Un grupo de estudiantes de 7.º grado quiere medir la altura de la torre de comunicación de su ciudad. Para ello, utilizan un poste vertical de $2,5$ pies de altura.…
Un grupo de estudiantes de 7.º grado quiere medir la altura de la torre de comunicación de su ciudad. Para ello, utilizan un poste vertical de $2,5$ pies de altura. Colocan el poste de tal manera que, en un momento determinado, el extremo de la sombra de la torre y el del poste coinciden en el mismo punto del suelo. Si la distancia entre la base del poste y el punto donde terminan las sombras es de $3,2$ pies, y la distancia entre la base de la torre y la base del poste es de $18,4$ pies, calcula la altura de la torre.
Moños y líneas de visión
Los topógrafos miden ríos, estanques y cañones sin cruzarlos. Dos configuraciones típicas usan triángulos semejantes.
El moño. Dos rectas se cruzan en un punto $C$. Hay un triángulo a cada lado de $C$, y los lados "externos" $AB$ y $ED$ son paralelos.
¿Por qué son semejantes los triángulos?
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Los ángulos en $C$ son ángulos opuestos por el vértice, así que son iguales.
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$AB \parallel ED$, así que los ángulos $\angle A$ y $\angle E$ son iguales. Son ángulos alternos internos formados por la transversal $AE$. Lo mismo ocurre con $\angle B$ y $\angle D$.
Eso da AA: $\triangle ABC \sim \triangle EDC$.
Líneas de visión. Cuando miras un punto más allá de un borde, tu ojo, el borde y el punto están en una misma línea recta. Junto con la pared vertical y la persona parada, esto forma dos triángulos rectángulos que comparten el ángulo en tu ojo.
Para calcular la anchura de un río sin cruzarlo, un topógrafo coloca varias estacas como se muestra en la figura. Los triángulos formados, $ABC$ y $CDE$, son semejantes…
Para calcular la anchura de un río sin cruzarlo, un topógrafo coloca varias estacas como se muestra en la figura. Los triángulos formados, $ABC$ y $CDE$, son semejantes porque las orillas son paralelas y las líneas de visión se cruzan en el punto $C$. Si las medidas tomadas son $AB = 24$ pies, $BC = 30$ pies y $CD = 15$ pies, determina la anchura del río ($ED$) y explica qué criterio de semejanza has aplicado.
Daniel quiere medir la profundidad de un pozo circular de $1,6$ pies de diámetro. Para ello, se aleja $0,8$ pies del borde hasta que, desde una altura de $1,75$ pies (la…
Daniel quiere medir la profundidad de un pozo circular de $1,6$ pies de diámetro. Para ello, se aleja $0,8$ pies del borde hasta que, desde una altura de $1,75$ pies (la de sus ojos), consigue ver exactamente el borde del fondo del pozo. Utiliza la semejanza de triángulos para hallar la profundidad del pozo.
Perímetro y área de triángulos semejantes
Cuando escalas una figura por $k$, las longitudes se multiplican por $k$. Pero el área no se multiplica por $k$.
Imagina un rectángulo de $2$ por $3$. Su área es $6$. Duplica ambos lados ($k = 2$): el rectángulo nuevo mide $4$ por $6$, con área $24$. Caben $4$ copias del original dentro de él.
¿Por qué $k^2$? El área es largo por ancho, y ambas longitudes se multiplican por $k$. Así que multiplicas por $k \times k = k^2$.
La luz que sale de un solo punto (un proyector, una linterna, la cámara de un dron) también forma triángulos semejantes. El factor de escala es la razón de las distancias a la luz.
También puedes trabajar al revés. Si te dan la razón de las áreas, saca la raíz cuadrada para obtener $k$. Por ejemplo, si un logotipo tiene área de $40$ pulg.$^2$ y uno semejante tiene área de $360$ pulg.$^2$, entonces $\dfrac{360}{40} = 9$, así que $k = \sqrt{9} = 3$.
Un dron está sobrevolando un parque a una altura de $15$ pies. Su cámara proyecta un campo de visión triangular en el suelo. Si el dron sube hasta una altura de $45$…
Un dron está sobrevolando un parque a una altura de $15$ pies. Su cámara proyecta un campo de visión triangular en el suelo. Si el dron sube hasta una altura de $45$ pies:
a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo de visión original y el nuevo?
b) Si el perímetro del área que cubría en el suelo era de $120$ pies, ¿cuál será el perímetro de la nueva área?
c) Si la superficie (área) cubierta originalmente era de $800\text{ m}^2$, ¿cuál será la superficie cubierta a la nueva altura?
Una pantalla de cine de verano proyecta una imagen desde un foco situado a $12$ pies de distancia. La pantalla original tiene una superficie de $24$ $m^2$. Si acercamos…
Una pantalla de cine de verano proyecta una imagen desde un foco situado a $12$ pies de distancia. La pantalla original tiene una superficie de $24$ $m^2$. Si acercamos la pantalla hacia el proyector hasta colocarla justo a la mitad de la distancia ($6$ pies del foco), la imagen proyectada será más pequeña pero conservará la misma forma. ¿Cuál será el área de la imagen en esta nueva posición? Razona tu respuesta utilizando la relación entre la razón de semejanza y el área.
Considera dos triángulos rectángulos. El primero tiene catetos de $3$ pulgadas y $4$ pulgadas. El segundo triángulo es semejante al primero y su hipotenusa mide $15$…
Considera dos triángulos rectángulos. El primero tiene catetos de $3$ pulgadas y $4$ pulgadas. El segundo triángulo es semejante al primero y su hipotenusa mide $15$ pulgadas. Calcula el perímetro y el área de este segundo triángulo. (Pista: primero halla la hipotenusa del triángulo original para determinar la razón de semejanza).
Volumen y todo junto
Para los sólidos hay un paso más. Si escalas un sólido por $k$, su volumen se multiplica por $k^3$, porque el largo, el ancho y la altura crecen por $k$.
| Cantidad | Se multiplica por |
|---|---|
| Longitudes, perímetro | $k$ |
| Área | $k^2$ |
| Volumen | $k^3$ |
Si un problema pide la respuesta en otra unidad, convierte después de escalar. Por ejemplo, en unidades usuales, $1\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3$; en ciencias podrías ver $1\text{ m}^3 = 1{,}000\text{ dm}^3$.
Los segmentos paralelos dentro de los triángulos también llevan a preguntas de área. Piensa en el triángulo con $V$ arriba: el triángulo pequeño está dentro del grande, y la región sobrante es un cuadrilátero.
Dos secantes se cortan en un punto $V$. Sobre una de ellas se marcan los puntos $A$ y $B$, y sobre la otra los puntos $C$ y $D$, de tal forma que los segmentos $AC$ y…
Dos secantes se cortan en un punto $V$. Sobre una de ellas se marcan los puntos $A$ y $B$, y sobre la otra los puntos $C$ y $D$, de tal forma que los segmentos $AC$ y $BD$ son paralelos (configuración de Tales). Si sabemos que $VA = 9$ pulgadas, $VB = 15$ pulgadas y el área del triángulo menor $VAC$ es de $27$ $cm^2$, calcula el área del cuadrilátero $ABDC$ sabiendo que los triángulos son semejantes.
Un arquitecto presenta una maqueta de un centro cultural con forma de pirámide de base triangular. La razón de semejanza entre la maqueta y el edificio real es de…
Un arquitecto presenta una maqueta de un centro cultural con forma de pirámide de base triangular. La razón de semejanza entre la maqueta y el edificio real es de $1:150$. Si el volumen de la maqueta es de $0,8$ $dm^3$, ¿cuál será el volumen del edificio real expresado en pies cúbicos ($m^3$)? Recuerda aplicar correctamente la relación entre la razón de semejanza y el volumen.
La altura de un triángulo rectángulo
Cuando trazas la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo, lo divides en dos triángulos rectángulos más pequeños. Ambos son semejantes al triángulo completo y entre sí. Eso da unas fórmulas muy útiles.
¿Por qué son semejantes los tres triángulos? Los tres son triángulos rectángulos, y cada uno de los pequeños comparte un ángulo agudo con el grande. Por AA, son semejantes. Compara los dos triángulos pequeños: $\dfrac{p}{h} = \dfrac{h}{q}$. Compara el triángulo pequeño de la izquierda con el completo: $\dfrac{p}{a} = \dfrac{a}{p+q}$. Al multiplicar en cruz se obtienen las fórmulas siguientes.
Un carpintero está diseñando una estantería reforzada con un travesaño en forma de triángulo rectángulo. En el triángulo de la base, la altura sobre la hipotenusa divide…
Un carpintero está diseñando una estantería reforzada con un travesaño en forma de triángulo rectángulo. En el triángulo de la base, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $18$ pulgadas y $32$ pulgadas. El carpintero necesita saber la longitud de los dos listones que forman los catetos del triángulo para comprarlos. Calcula la medida de ambos catetos y la altura del travesaño utilizando las relaciones de semejanza en triángulos rectángulos.