Cilindros, conos y esferas
Una lata de refresco, un cono de helado, un balón de baloncesto. Ninguno tiene caras planas por todos lados como una caja. ¿Cuánto refresco cabe en la lata? ¿Cuánto aluminio se necesita para fabricarla? Estos objetos son sólidos de revolución, y al terminar esta página podrás responder las dos preguntas.
¿Qué es un sólido de revolución?
Toma una figura plana y hazla girar alrededor de una recta llamada eje. El espacio que recorre es un sólido de revolución. Si giras un rectángulo alrededor de uno de sus lados, obtienes un cilindro. Si giras un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, obtienes un cono. Si giras un semicírculo alrededor de su diámetro, obtienes una esfera.
Un trapecio rectángulo (dos lados paralelos y un lado perpendicular a ambos) que gira alrededor de su lado perpendicular forma un tronco de cono: un cono al que se le cortó la punta, como un vaso de café boca abajo.
El cilindro y el cono tienen bases circulares planas. La esfera no tiene ninguna cara plana. Ninguno de estos sólidos es un poliedro, porque un poliedro tiene solo caras planas en forma de polígono.
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura…
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura alrededor de uno de sus lados más largos. Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene e identifica cómo se llaman sus elementos principales (base y altura), indicando cuánto mide cada uno.
Identifica cuál de las siguientes figuras planas, al girar sobre el eje indicado, daría lugar a un tronco de cono (como un vaso de café invertido). Explica brevemente…
Identifica cuál de las siguientes figuras planas, al girar sobre el eje indicado, daría lugar a un tronco de cono (como un vaso de café invertido). Explica brevemente por qué elegiste esa opción.
Radio, altura y altura inclinada
Todo sólido redondo tiene un radio $r$ (el de la base circular o el de la esfera) y una altura $h$ (la distancia entre las bases, o desde la punta de un cono en línea recta hasta la base). El cono tiene una medida más: la altura inclinada $g$ (slant height), que va por la superficie desde la punta hasta el borde de la base.
El radio, la altura y la altura inclinada forman un triángulo rectángulo, y $g$ es la hipotenusa. Por eso el teorema de Pitágoras da
$$g^2 = r^2 + h^2 \qquad\text{así que}\qquad g = \sqrt{r^2 + h^2}.$$¿Por qué? La altura baja en línea recta hasta el centro de la base, así que forma un ángulo recto con el radio.
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de…
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de $12 \text{ cm}$. Utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) que necesitarás para trazar el desarrollo en la cartulina.
Área total de un cilindro
Imagina que le quitas la etiqueta a una lata y cortas la tapa y el fondo. Obtienes un rectángulo y dos círculos. Ese patrón plano es el desarrollo plano (net) del cilindro.
El rectángulo mide exactamente lo mismo de ancho que la longitud del contorno del círculo, así que su ancho es la circunferencia $2\pi r$. Entonces:
Una famosa marca de papas fritas utiliza tubos cilíndricos. Si el radio de la base del tubo es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calcula el área de la…
Una famosa marca de papas fritas utiliza tubos cilíndricos. Si el radio de la base del tubo es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calcula el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente el tubo (área lateral). Toma $\pi \approx 3,14$.
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de…
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de $10\text{ cm}$. Calcula:
- a) El radio de la base.
- b) El área lateral del cilindro.
- c) El área total.
(Usa $\pi \approx 3,14$).
Volumen de un cilindro
El volumen mide cuánto cabe en un sólido. En un cilindro, imagina una pila de monedas circulares idénticas. Cada moneda tiene área $\pi r^2$ y la pila mide $h$ de alto, así que
El volumen se mide en unidades cúbicas: pulg.$^3$, pies$^3$, cm$^3$.
Volumen en onzas líquidas
Las bebidas se venden por volumen de líquido, como las onzas líquidas (fl oz). Una onza líquida y una pulgada cúbica tienen un tamaño parecido, así que algunos problemas indican usar la equivalencia simplificada
$$1\text{ pulg.}^3 = 1\text{ fl oz}.$$(La conversión real es aproximadamente $1\text{ pulg.}^3 \approx 0.55\text{ fl oz}$, pero sigue lo que te diga el problema.) Con esta regla, el número de pulgadas cúbicas es el número de onzas líquidas. Solo cambia la unidad.
Una lata de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener…
Una lata de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener si se llena por completo. Expresa el resultado en pulgadas cúbicas ($cm^3$).
Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3,5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3,5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el área total de la chapa necesaria para fabricar una lata (sin contar las pestañas de cierre) y el volumen de refresco que puede contener en mililitros ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).
Conos: área lateral y volumen
Un cono es como un cilindro "puntiagudo". Dos datos:
¿Por qué $\pi r g$? Si desenrollas el costado de un cono, obtienes una porción de círculo (un sector) de radio $g$. Su borde curvo mide $2\pi r$, la circunferencia de la base. Su área es "la mitad de la base por la altura": $\tfrac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot g = \pi r g$.
¿Por qué un tercio? Llena un cono con arena y viértela en un cilindro con la misma base y la misma altura. Se necesitan exactamente tres conos para llenar el cilindro.
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y…
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y el diámetro de la base circular es de $6\text{ m}$. ¿Cuántos pies cuadrados de lona se han necesitado para cubrir solo la parte lateral de la carpa? (Dato: Primero deberás hallar la generatriz usando el Teorema de Pitágoras).
Esferas
Una esfera tiene una sola medida, su radio $r$: la distancia del centro a cualquier punto de la superficie.
El área de la superficie es exactamente cuatro veces el área del círculo más grande de la esfera (un "círculo máximo"), que tiene área $\pi r^2$.
Una pelota de baloncesto tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recuerda que el radio es la mitad del…
Una pelota de baloncesto tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recuerda que el radio es la mitad del diámetro y utiliza la fórmula del área de la esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Usa $\pi \approx 3,14$).
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad…
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad con chocolate líquido, ¿cuántas pulgadas cúbicas de chocolate hay en su interior? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Trabajar al revés para hallar el radio
A veces conoces la circunferencia, el área o el volumen y necesitas el radio. Deshaz la fórmula usando operaciones inversas.
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A partir de la circunferencia: $C = 2\pi r$, así que $r = \dfrac{C}{2\pi}$.
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A partir del volumen de un cilindro: $r^2 = \dfrac{V}{\pi h}$, y luego saca la raíz cuadrada.
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál…
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál es el radio de esa esfera? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100.000\text{ litros}$, ¿qué radio debe…
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100.000\text{ litros}$, ¿qué radio debe tener la base del depósito? (Recuerda que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litros}$). Redondea el radio a dos cifras decimales.
Cortar un sólido con un plano
Cuando un plano atraviesa un sólido, la figura plana que aparece es una sección transversal (cross-section).
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Cilindro: un corte paralelo a las bases da un círculo. Un corte recto por el eje da un rectángulo.
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Cono: un corte paralelo a la base da un círculo más pequeño. Un corte recto por la punta da un triángulo.
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Esfera: cualquier corte da un círculo. El círculo más grande sale de un corte por el centro.
Cortar una esfera
Supón que una esfera de radio $R$ se corta con un plano que está a $d$ unidades del centro. El centro, el punto medio del círculo del corte y un punto del borde de ese círculo forman un triángulo rectángulo.
Por el teorema de Pitágoras, $r^2 + d^2 = R^2$, así que $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
El casquete esférico
Al cortar una esfera se obtienen dos piezas llamadas casquetes esféricos. El más pequeño tiene altura $h = R - d$.
Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál…
Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál es el radio del círculo que se forma en la sección del corte? (Aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma).
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes…
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes esféricos. Calcula el área total (superficie curva más la base circular plana del corte) del casquete esférico más pequeño.
(Pista: utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo de la sección).
Tronco de cono
Un tronco de cono (frustum) es lo que queda cuando cortas la punta de un cono con un plano paralelo a la base. Tiene dos bases circulares, una pequeña con radio $r$ y una grande con radio $R$, y una altura $h$ entre ellas.
La recta vertical discontinua de la derecha forma un triángulo rectángulo con catetos $h$ y $R - r$, así que la altura inclinada es
$$g = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}.$$¿Por qué? El tronco es un cono grande menos el cono pequeño que se cortó, y $\pi R G - \pi r g$ se simplifica a $\pi(r + R)g$ al usar triángulos semejantes.
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior…
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior es de $20\text{ cm}$ y la altura de la tulipa es de $15\text{ cm}$. Si el material especial de tela cuesta $18,50\text{ \$/m}^2$, calcula el costo del material necesario para fabricar 25 tulipas iguales (ten en cuenta que la tulipa no tiene bases, es solo la superficie lateral).
Sólidos combinados
Muchos objetos reales son dos o más sólidos pegados: un cono de helado con una bola, un lápiz, un silo. El plan:
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Divide el objeto en sólidos básicos.
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Para el volumen, suma los volúmenes de las piezas.
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Para el área total, suma solo las superficies que realmente se ven o se tocan. Las caras que están pegadas no se cuentan.
Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el…
Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el radio de su base es de $4\text{ cm}$. La semiesfera se apoya exactamente sobre la base superior del cilindro.
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado…
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado llena el interior del cucurucho y además sobresale una bola perfecta en la parte superior que tiene el mismo radio que el cono, calcula el volumen total de helado.
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una…
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la base del cono. Si queremos envolver el helado (cono y semiesfera) con un papel protector, ¿qué superficie mínima de papel necesitaremos?
Problemas que combinan sólidos
Aquí hay dos ideas más que aparecen en problemas más difíciles.
Desplazamiento de agua. Un sólido completamente sumergido desplaza exactamente su propio volumen de agua. Por eso el volumen del objeto es igual al volumen de la "capa extra" de agua que sube: $V_{\text{objeto}} = \pi r_{\text{recipiente}}^2 \times (\text{subida})$.
Fracciones y porcentajes de un volumen. Para hallar qué parte de un sólido ocupa otro, divide los dos volúmenes y simplifica. Muchas veces $\pi$ y las medidas se cancelan (como con el cono dentro de un cilindro: siempre $\tfrac{1}{3}$).
Se desea construir un tanque para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un…
Se desea construir un tanque para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un cono del mismo radio y una generatriz de $5\text{ m}$ para facilitar la descarga. Calcula el volumen total de almacenamiento del tanque y la superficie total de chapa necesaria para fabricarlo (incluyendo la tapa superior plana del cilindro).
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge…
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge completamente hasta el fondo, ¿cuántas pulgadas subirá el nivel del agua en el recipiente? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el…
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el fondo y cuya base coincide con la tapa del cilindro. Si el radio del envase es de $3\text{ cm}$, calcula qué porcentaje del volumen total del cilindro está ocupado por el perfume cuando el envase está lleno. ¿Depende este porcentaje del radio y la altura elegidos? Razona tu respuesta.
Sólidos huecos y giro de un triángulo
Objetos huecos y masa
En un objeto hueco, como un tubo, resta el espacio vacío del total: $V = V_{\text{exterior}} - V_{\text{interior}}$. Para hallar la masa, usa la densidad:
$$\text{masa} = \text{densidad} \times \text{volumen}.$$Asegúrate de que las unidades coincidan. Por ejemplo, una densidad en kg/m$^3$ necesita un volumen en m$^3$. Los problemas de ciencias suelen usar unidades métricas, y eso está bien.
Girar un triángulo rectángulo alrededor de su hipotenusa
Al girar alrededor de la hipotenusa se obtienen dos conos pegados por la base. Ambos comparten el mismo radio de base: la altura $a$ trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. Se halla con el área: el área del triángulo es $\tfrac{1}{2}\,(\text{cateto}_1)(\text{cateto}_2)$ y también $\tfrac{1}{2}\,(\text{hipotenusa})\,a$, así que
$$a = \frac{\text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2}{\text{hipotenusa}}.$$Las alturas inclinadas de los dos conos son los dos catetos del triángulo.
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de…
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de $7850\text{ kg/m}^3$. Si el rodillo es hueco y el espesor del acero es de $10\text{ cm}$ en todo su contorno (excepto en las caras laterales que se consideran despreciables), calcula la masa total del rodillo en toneladas.
Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa. a) Describe el cuerpo…
Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa.
- a) Describe el cuerpo resultante (puedes dibujarlo).
- b) Calcula el área total de la superficie del cuerpo generado.
(Ayuda: El cuerpo está formado por dos conos unidos por su base. Necesitarás calcular la altura del triángulo relativa a la hipotenusa).
Volvamos a la lata de refresco: con un radio de $1.5$ pulg. y una altura de $5$ pulg., se necesitan $2\pi(1.5)(5) + 2\pi(1.5)^2 = 19.5\pi \approx 61.26$ pulg.$^2$ de metal y contiene $\pi(1.5)^2(5) = 11.25\pi \approx 35.34$ pulg.$^3$.