Escribir y evaluar expresiones algebraicas
Tu servicio de streaming cobra $\$9$ al mes más $\$2$ por cada película que rentas. ¿Cuánto pagas si rentas 5 películas? ¿Y 12? En lugar de repetir las cuentas cada mes, puedes escribir una sola expresión, $9 + 2m$, que sirve para cualquier número de películas $m$. Eso te da el lenguaje algebraico: una forma corta de decir algo una vez y usarlo siempre.
De las palabras a las expresiones
Una variable es una letra que representa un número que aún no conocemos, o uno que puede cambiar. Una expresión algebraica combina números, variables y operaciones. Para traducir una frase, busca las palabras clave:
| Palabras | Operación |
|---|---|
| suma, más, más que, aumentado en | $+$ |
| diferencia, menos, menos que, disminuido en | $-$ |
| producto, veces, el doble ($\cdot 2$), el triple ($\cdot 3$) | $\cdot$ |
| cociente, dividido entre, la mitad ($\div 2$), la quinta parte ($\div 5$) | $\div$ |
| cuadrado, cubo | $x^2$, $x^3$ |
Traduce por partes, de adentro hacia afuera.
También verás dos palabras útiles: el número anterior es $x - 1$ y el número siguiente es $x + 1$.
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones relacionadas con el ahorro y las redes sociales: a) El número de seguidores que tiene un influencer*, $x$,…
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones relacionadas con el ahorro y las redes sociales:
- a) El número de seguidores que tiene un influencer, $x$, aumentado en $150$.
- b) El precio de un boleto de cine, $p$, rebajado en $\$2$.
- c) El triple de la edad que tiene mi hermano, si su edad es $y$.
- d) La mitad del dinero que tengo en mi alcancía, siendo $d$ la cantidad total.
Asocia cada frase con su expresión algebraica correspondiente: 1. El doble de un número más cinco unidades.…
Asocia cada frase con su expresión algebraica correspondiente:
-
El doble de un número más cinco unidades. a) $x - 5$
-
Un número disminuido en cinco unidades. b) $2x + 5$
-
La quinta parte de un número. c) $x^5$
-
Un número elevado a la quinta potencia. d) $\frac{x}{5}$
Traduce estas frases de lenguaje común a lenguaje algebraico utilizando una sola variable $x$: a) La suma de un número y su mitad. b) El triple del resultado de restarle…
Traduce estas frases de lenguaje común a lenguaje algebraico utilizando una sola variable $x$:
- a) La suma de un número y su mitad.
- b) El triple del resultado de restarle cinco a un número.
- c) El cuadrado del anterior de un número.
- d) La diferencia entre el doble de un número y su siguiente.
Términos, coeficientes y términos semejantes
Los términos de una expresión son las partes separadas por los signos $+$ o $-$. En $7x^2y - 5x + 3$ hay tres términos: $7x^2y$, $-5x$ y $3$. El signo pertenece al término que le sigue. Un término sin variable, como $3$, es el término constante.
Un término formado por un número multiplicado por variables es un monomio. Tiene tres partes:
-
el coeficiente: el número que multiplica a las variables,
-
la parte variable: las letras con sus exponentes,
-
el grado: la suma de los exponentes de todas las variables.
Recuerda que una letra sin exponente visible tiene exponente $1$, y que un número solo tiene grado $0$. Un término como $-ab^3$ tiene coeficiente $-1$.
Los términos semejantes tienen exactamente la misma parte variable (las mismas letras con los mismos exponentes). Solo pueden diferir los coeficientes. Se combinan sumando sus coeficientes, porque cuentan el mismo tipo de cosa.
Copia y completa la siguiente tabla identificando los componentes de estos monomios: | Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado | | :--- | :---: | :---: | :---: | |…
Copia y completa la siguiente tabla identificando los componentes de estos monomios:
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $7x^2$ | |||
| $-ab^3$ | |||
| $\frac{1}{2}x^3y$ | |||
| $-5$ |
De la siguiente lista de monomios, identifica y agrupa aquellos que sean semejantes entre sí: $5x^2$, $3y$, $-2x$, $\frac{1}{4}x^2$, $8y$, $x^2$, $-5y$, $10x$
De la siguiente lista de monomios, identifica y agrupa aquellos que sean semejantes entre sí:
$5x^2$, $3y$, $-2x$, $\frac{1}{4}x^2$, $8y$, $x^2$, $-5y$, $10x$
Analiza las siguientes expresiones algebraicas y completa la información solicitada en cada caso: 1. En la expresión $7x^2y - 5x + 3$: ¿Cuántos términos tiene? ¿Cuál es…
Analiza las siguientes expresiones algebraicas y completa la información solicitada en cada caso:
-
En la expresión $7x^2y - 5x + 3$: ¿Cuántos términos tiene? ¿Cuál es el término independiente?
-
Dado el monomio $-\frac{2}{3}ab^4$: Indica su coeficiente, su parte literal y su grado total.
Evaluar expresiones
Para evaluar una expresión, reemplaza cada variable por su valor (sustituye) y luego sigue el orden de las operaciones.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican: a) $3x + 10$ para $x = 4$ b) $x^2 - 5$ para $x = 3$ c) $2(a + b)$ para $a = 5$ y…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:
- a) $3x + 10$ para $x = 4$
- b) $x^2 - 5$ para $x = 3$
- c) $2(a + b)$ para $a = 5$ y $b = 2$
- d) $\frac{12}{x}$ para $x = 6$
Lucía está analizando el crecimiento de sus seguidores en una red social. Empezó el mes con $x$ seguidores. Durante la primera quincena, su número de seguidores aumentó…
Lucía está analizando el crecimiento de sus seguidores en una red social. Empezó el mes con $x$ seguidores. Durante la primera quincena, su número de seguidores aumentó al triple. Sin embargo, en la segunda quincena, perdió $150$ seguidores debido a una limpieza de cuentas inactivas.
Escribe la expresión algebraica que representa el número final de seguidores de Lucía y calcula cuántos tiene si empezó el mes con $x = 420$.
Parte fija más parte variable
Muchos precios reales combinan una parte fija (nunca cambia) y una parte variable (depende de cuántos uses). Todos se traducen de la misma manera:
$$\text{total} = \text{parte fija} + (\text{precio por unidad}) \cdot (\text{número de unidades})$$Usa los controles deslizantes para verlo: la parte fija $b$ es donde empieza la recta, y el precio por unidad $a$ controla qué tan rápido crece el costo.
Cuando una letra representa la respuesta misma, escribimos una fórmula, como $C = 4 + 3g$. Entonces podemos sustituir números para obtener un total.
En una tienda de videojuegos, el costo de rentar una consola es de $\$10$ fijos más $\$2$ por cada hora de uso. a) Escribe la expresión algebraica del costo total para…
En una tienda de videojuegos, el costo de rentar una consola es de $\$10$ fijos más $\$2$ por cada hora de uso.
- a) Escribe la expresión algebraica del costo total para un número de horas $h$.
- b) ¿Cuánto pagará Lucía si renta la consola durante $3$ horas?
En una plataforma de streaming de videojuegos, la tarifa mensual básica es de $\$12…
En una plataforma de streaming de videojuegos, la tarifa mensual básica es de $\$12$. Además, cada vez que quieres jugar a un título "Premium" fuera del catálogo, debes pagar $\$3,50$ adicionales.
Escribe la expresión algebraica que representa el costo total que pagará un usuario al mes si decide jugar a $x$ títulos "Premium".
Un centro de reciclaje otorga "puntos eco" según el material entregado: $5$ puntos por cada libra de vidrio ($v$). $3$ puntos por cada libra de papel ($p$). $10$ puntos…
Un centro de reciclaje otorga "puntos eco" según el material entregado:
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$5$ puntos por cada libra de vidrio ($v$).
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$3$ puntos por cada libra de papel ($p$).
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$10$ puntos fijos por cada visita al centro.
Escribe la fórmula de los puntos totales $P$ que recibe una persona en una visita. Una vez escrita, calcula cuántos puntos recibirá un estudiante que entrega $4$ lb de vidrio y $8$ lb de papel.
Porcentajes y varios pasos
Los problemas difíciles combinan varios pasos y a veces varias letras. Dos ideas los vuelven fáciles:
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Un porcentaje es un decimal. Pagar con un descuento de 15% significa pagar $100\% - 15\% = 85\%$ del precio, así que multiplicas por $0.85$. Agregar una propina de 10% significa pagar $110\%$, así que multiplicas por $1.10$. "$40\%$ más que $x$" es $x + 0.4x = 1.4x$.
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Construye la expresión por capas: primero el total de las partes y luego el porcentaje aplicado a ese total.
Una empresa de envíos cobra a sus clientes según el peso de los paquetes y la distancia del envío. La tarifa base es de $\$B$. A esta cantidad se le suma: $\$2,5$ por…
Una empresa de envíos cobra a sus clientes según el peso de los paquetes y la distancia del envío. La tarifa base es de $\$B$. A esta cantidad se le suma:
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$\$2,5$ por cada libra de peso ($w$).
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$\$0,15$ por cada milla de distancia ($d$).
Si el cliente es "Premium", se le aplica un descuento del $15\%$ sobre el precio total del envío. Escribe la expresión algebraica que determine el costo total de enviar un paquete para un cliente "Premium" en función de $B$, $w$ y $d$.
Una plataforma de streaming ofrece dos tipos de suscripción: Plan Básico: Una cuota fija de $\$x$ al mes más $\$0,50$ por cada película de estreno rentada ($p$). Plan…
Una plataforma de streaming ofrece dos tipos de suscripción:
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Plan Básico: Una cuota fija de $\$x$ al mes más $\$0,50$ por cada película de estreno rentada ($p$).
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Plan Premium: Una cuota fija que cuesta un $40\%$ más que la básica, pero permite ver un número ilimitado de películas sin costo adicional.
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Escribe la expresión algebraica del costo mensual del Plan Básico.
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Escribe la expresión algebraica del costo mensual del Plan Premium.
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Escribe la expresión que representa la diferencia de costo entre el Plan Premium y el Plan Básico en un mes donde se rentan $p$ películas. ¿Para qué valores de $p$ resultaría más caro el Plan Básico que el Premium? (Indica solo la condición).
Tres hermanos, Marcos, Lucía y Adrián, deciden ahorrar para comprar un regalo. Sabemos que: Lucía ha ahorrado $\$x$. Marcos ha ahorrado $\$10$ menos que el triple de lo…
Tres hermanos, Marcos, Lucía y Adrián, deciden ahorrar para comprar un regalo. Sabemos que:
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Lucía ha ahorrado $\$x$.
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Marcos ha ahorrado $\$10$ menos que el triple de lo que tiene Lucía.
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Adrián ha ahorrado la mitad de la suma de lo que tienen sus otros dos hermanos juntos.
Expresa en función de $x$:
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El dinero que tiene Marcos.
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El dinero que tiene Adrián (simplifica la expresión).
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El dinero total ahorrado por los tres hermanos.
Números consecutivos y frases especiales
Para describir números relacionados entre sí, nombra uno con una letra y escribe los demás usándola.
| Descripción | Expresión |
|---|---|
| Un número cualquiera | $n$ |
| El anterior / el siguiente | $n - 1$ / $n + 1$ |
| Tres números consecutivos | $n,\ n+1,\ n+2$ |
| Un número par | $2n$ |
| Un número impar | $2n + 1$ |
| La mitad de un número | $\dfrac{n}{2}$ |
| El recíproco de un número | $\dfrac{1}{n}$ |
¿Por qué $2n$ para pares y $2n + 1$ para impares? $2n$ siempre es múltiplo de $2$, así que es par. Al sumar $1$ pasamos al siguiente número impar.
Los cuadrados también requieren cuidado. "El cuadrado de la suma de $a$ y $b$" es $(a + b)^2$, y no es $a^2 + b^2$. Compruébalo con $a = 2$ y $b = 3$: $(2 + 3)^2 = 25$, pero $2^2 + 3^2 = 13$. De hecho, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, y $4 + 12 + 9 = 25$ ✓.
Traduce a lenguaje algebraico las siguientes propiedades relativas a números enteros: 1. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera, $a$ y $b$, es igual a la…
Traduce a lenguaje algebraico las siguientes propiedades relativas a números enteros:
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El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera, $a$ y $b$, es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto.
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La suma de los cuadrados de tres números consecutivos, siendo $n$ el menor de ellos.
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La diferencia entre el cubo de un número $x$ y el cuadrado de su mitad.
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El cociente entre la suma de un número y su inverso, y el triple de dicho número.
Perímetro y área
En geometría, los lados suelen ser expresiones. El perímetro es la suma de todos los lados. El área de un rectángulo es base $\cdot$ altura.
Para un cuadrado de lado $x$ pies: $P = x + x + x + x = 4x$ pies, y $A = x \cdot x = x^2$ pies².
Halla la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente cuadrado cuyo lado mide $x$ pies:
Halla la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente cuadrado cuyo lado mide $x$ pies:
Halla la expresión algebraica que representa el área del siguiente rectángulo, sabiendo que su base mide $5$ unidades más que su altura ($x$):
Halla la expresión algebraica que representa el área del siguiente rectángulo, sabiendo que su base mide $5$ unidades más que su altura ($x$):
Calcula la expresión algebraica del perímetro de la siguiente figura, que representa el plano de un área de juegos rectangular pequeña.
Calcula la expresión algebraica del perímetro de la siguiente figura, que representa el plano de un área de juegos rectangular pequeña.
Volumen y figuras recortadas
El volumen de un prisma rectangular es $V = \ell \cdot w \cdot h$. Cuando las dimensiones son expresiones, multiplícalas y usa la propiedad distributiva. En un problema de recortes, resta el área que quitas del área con la que empiezas. El área de un círculo es $\pi r^2$.
Aquí tienes una hoja de cartulina a la que se le recortó un cuadrado de lado $x$ en cada esquina. Las solapas se doblan hacia arriba para formar una caja sin tapa.
Una caja de cartón para envíos tiene una base cuadrada de lado $x$ y una altura que es $5$ pulgadas mayor que el lado de la base. Dibuja un esquema del prisma…
Una caja de cartón para envíos tiene una base cuadrada de lado $x$ y una altura que es $5$ pulgadas mayor que el lado de la base.
Dibuja un esquema del prisma rectangular y escribe la expresión algebraica simplificada que representa el volumen de la caja en función de $x$.
En una lámina de acero cuadrada de lado $x$ pulgadas, un operario debe recortar cuatro círculos iguales, uno en cada esquina, para fabricar una pieza industrial. El…
En una lámina de acero cuadrada de lado $x$ pulgadas, un operario debe recortar cuatro círculos iguales, uno en cada esquina, para fabricar una pieza industrial. El radio de cada círculo es de $r$ pulgadas.
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Escribe la expresión algebraica del área de la lámina que sobra tras realizar los cuatro recortes (utiliza $\pi$ como símbolo).
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Si sabemos que el radio de los círculos es la cuarta parte del lado de la lámina, es decir $r = \frac{x}{4}$, simplifica la expresión anterior para que dependa únicamente de la variable $x$.
Se desea diseñar una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartulina que mide $50$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Para ello, se…
Se desea diseñar una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartulina que mide $50$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Para ello, se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan las pestañas hacia arriba.
Escribe la expresión algebraica simplificada que representa:
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El área de la base de la caja en función de $x$.
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El volumen total de la caja en función de $x$.
Patrones y términos generales
Un patrón de figuras produce una lista de números: cuántos puntos, palitos o mosaicos hay en la figura $1$, en la figura $2$, y así sucesivamente. El término general $a_n$ es una regla que da el número para cualquier figura $n$.
Para encontrarlo, pregunta cuánto crece la cantidad de una figura a la siguiente. Si crece la misma cantidad $d$ cada vez, entonces $a_n = d \cdot n + c$, y encuentras $c$ probando con la figura $1$.
A veces se suma una lista que va creciendo. Las filas de $1, 2, 3, \dots, n$ puntos forman una escalera. Dos escaleras encajan para formar un rectángulo de $n$ filas por $n + 1$ columnas, así que una escalera es la mitad de él:
Cuando un total está formado por dos tipos de cosas, cuenta cada tipo con su propia expresión. Para el costo, multiplica cada cantidad por su precio y suma: $(\text{postes}) \cdot p + (\text{tablillas}) \cdot l$.
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos y determina el término general $a_n$ que permite calcular el número de puntos necesarios para cualquier…
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos y determina el término general $a_n$ que permite calcular el número de puntos necesarios para cualquier figura $n$.
El ayuntamiento de la ciudad quiere instalar una cerca de madera alrededor de un nuevo parque infantil. La cerca se construye uniendo paneles rectangulares mediante…
El ayuntamiento de la ciudad quiere instalar una cerca de madera alrededor de un nuevo parque infantil. La cerca se construye uniendo paneles rectangulares mediante postes verticales. Cada panel necesita $3$ listones horizontales. Para sostener la estructura, se coloca un poste al principio de la cerca y otro al final de cada panel.
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Escribe una expresión algebraica que permita calcular el número total de listones horizontales necesarios para una cerca que tiene $n$ paneles.
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Escribe una expresión algebraica para el número total de postes necesarios para una cerca de $n$ paneles.
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Si cada poste cuesta $\$p$ y cada listón horizontal cuesta $\$l$, escribe la expresión del costo total de los materiales para una cerca de $n$ paneles.
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por pequeños hexágonos. La primera figura tiene un hexágono central rodeado por otros seis. En cada paso, se añade una…
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por pequeños hexágonos. La primera figura tiene un hexágono central rodeado por otros seis. En cada paso, se añade una nueva capa de hexágonos alrededor de la figura anterior.
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Determina cuántos hexágonos tiene la capa número $n$ (sin contar los de las capas interiores).
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Encuentra la expresión algebraica que representa el número total de hexágonos que forman la figura completa cuando esta tiene $n$ capas alrededor del hexágono central.
(Pista: El número de hexágonos añadidos en cada capa sigue una progresión).
Resumen
Volvamos al inicio: el plan de streaming cuesta $9 + 2m$ dólares, así que 5 películas cuestan $9 + 2(5) = \$19$ y 12 películas cuestan $9 + 2(12) = \$33$. Una sola expresión, todos los casos.