Resolver problemas con ecuaciones

El método de cuatro pasos

1. Define la incógnita. Escribe exactamente qué significa tu letra, con unidades: "Sea $t$ = el precio de un boleto en dólares".

2. Traduce cada dato de la historia a lenguaje matemático, usando tu letra.

3. Plantea una ecuación a partir de la oración que dice que dos cosas son iguales y resuélvela.

4. Comprueba la respuesta en la historia original, no solo en tu ecuación, y responde con una oración completa y con unidades.

Traducir es la parte difícil. Aquí tienes un pequeño diccionario.

La penúltima fila del diccionario ahorra mucho tiempo. Si dos cantidades suman un total conocido, llama $x$ a una de ellas y "total menos $x$" a la otra. Así solo necesitas una letra.

Enteros consecutivos y acertijos con números

Los enteros consecutivos van uno detrás de otro: si el primero es $x$, los dos siguientes son $x + 1$ y $x + 2$. Los pares consecutivos (o impares consecutivos) aumentan de 2 en 2: $x,\ x + 2,\ x + 4$.

Acertijos con dígitos: un número de dos dígitos con dígito de las decenas $t$ y dígito de las unidades $u$ vale $10t + u$. El número 47 es $10 \cdot 4 + 7$, no $4 + 7$. Al invertir los dígitos se obtiene $10u + t$.

Problemas de edades

Los problemas de edades tienen una regla de oro: el tiempo pasa igual para todos. Si la historia dice "dentro de 8 años" o "hace 5 años", suma o resta el mismo número a la edad de cada persona. Una tabla pequeña te mantiene organizado.

Otro dato útil: si sumas $t$ años a dos personas, la suma de sus edades aumenta en $2t$.

Comparar cantidades: seguidores, precios, "serían iguales"

Muchas historias comparan dos cantidades: "3 veces más", "$\$12$ menos que", "a mitad de precio". Elige la cantidad a partir de la cual se construye todo lo demás y llámala $x$. Luego escribe la otra cantidad usando $x$.

Cuando una historia dice que, después de algunos cambios, dos cantidades "serían iguales", escribe cada cantidad modificada y pon un signo igual entre ellas.

Problemas de perímetro

En las historias de geometría, dibuja la figura y rotula los lados con $x$. Luego usa el perímetro: suma todos los lados.

• Rectángulo: $P = 2\ell + 2w$

• Triángulo: suma los tres lados. En un triángulo isósceles, dos lados son iguales.

Rectángulos: área y caminos

El perímetro suma longitudes. El área las multiplica. Los problemas de área suelen parecer intimidantes, pero fíjate en que las partes con $x^2$ normalmente se cancelan y lo que queda es una ecuación de uno o dos pasos.

Idea 1: mira solo lo que cambió. Si haces un rectángulo más alto, el área nueva menos el área vieja es justo la franja que agregaste.

Idea 2: un camino o una terraza alrededor de un rectángulo. El camino agrega su ancho en ambos lados, así que cada dimensión exterior crece el doble del ancho del camino. Divide el camino en cuatro rectángulos (dos franjas largas y dos franjas de los extremos que incluyen las esquinas) y suma sus áreas.

Contar dos tipos de cosas

"20 cabezas y 64 patas", "24 vehículos y 64 ruedas": estas historias tienen dos tipos de cosas con valores distintos. Usa el truco de total menos $x$. Si hay 15 vehículos en total y $x$ de ellos son carros, entonces $15 - x$ son bicicletas. Cada tipo aporta (número de artículos) $\times$ (valor por artículo).

A veces la última pregunta pide comparar. Por ejemplo, después de hallar los números puedes calcular un costo y ver si se mantiene dentro de un presupuesto. "No excede" significa $\le$. Si el presupuesto ya se cumple, la respuesta a "¿cuántos deben cambiar?" puede ser ninguno, y $0$ es una respuesta legítima.

Problemas de mezclas

Cuando mezclas dos ingredientes, se suman dos cosas distintas:

• las cantidades (libras, mL) y

• el dinero (precio por unidad $\times$ cantidad).

Usa total menos $x$ para las cantidades. Luego escribe una ecuación del dinero: (dinero del ingrediente 1) + (dinero del ingrediente 2) = (precio de la mezcla) $\times$ (cantidad total).

Unidades que coinciden. Si los precios son por litro pero las cantidades están en mililitros, convierte primero para que coincidan: $\$120$ por litro son $\$0.12$ por mL. Luego elimina los decimales multiplicando ambos lados por una potencia de 10.

Problemas de movimiento: alcanzar a alguien

La distancia, la tasa (velocidad) y el tiempo se relacionan mediante $d = r \cdot t$. En un problema de alcance, un viajero sale antes. Cuando el segundo viajero lo alcanza, ambos están en el mismo lugar, así que los dos han recorrido la misma distancia. Sea $t$ el tiempo del viajero que salió primero. El que lo sigue lleva en movimiento $t$ menos la ventaja.

Cuando $x^2$ sobrevive: triángulos rectángulos y problemas de trabajo

A veces los términos con $x^2$ no se cancelan y obtienes una ecuación cuadrática. Dos casos comunes son el teorema de Pitágoras y los problemas de "trabajar juntos". Primero, dos herramientas.

Desarrollar un cuadrado. $(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$. El término del medio $2ax$ es fácil de olvidar. Dibuja un cuadrado de $(x + a)$ por $(x + a)$ si necesitas verlo.

Resolver $x^2 + bx + c = 0$ por factorización. Busca dos números cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$. Para $x^2 - x - 6$, los números $-3$ y $2$ tienen producto $-6$ y suma $-1$, así que $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. (La fórmula cuadrática también funciona. La página de ecuaciones cuadráticas la explica.)

Comprueba siempre cada solución en la historia. Una longitud o un tiempo no puede ser negativo, así que descarta cualquier solución que no tenga sentido.

Problemas de trabajo. Si una llave llena una alberca en $x$ horas, llena $\tfrac{1}{x}$ de la alberca cada hora. Las tasas se suman, así que si dos llaves trabajan juntas, sus fracciones por hora se suman para dar la fracción por hora del equipo.

Resumen

Volvamos al inicio: sea $g$ = el número de gigabytes extra que usó Priya. La factura es $20 + 5g = 50$, así que $5g = 30$ y $g = 6$. Usó 6 gigabytes extra. Comprobación: $20 + 5 \cdot 6 = 50$ ✓.