Redondeo y error de aproximación

En el sistema de numeración decimal, cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa. Dado el número $58,347$, indica qué cifra ocupa cada una de las siguientes posiciones:

1. a) Las décimas.
2. b) Las centésimas.
3. c) Las milésimas.
4. d) Las unidades.

Observa la siguiente recta numérica donde se ha marcado el punto $P$. Escribe el número decimal exacto que representa $P$ y luego redondea dicho valor a la unidad más cercana (al número entero más próximo).

En clase de Tecnología han medido el grosor de una pieza con un calibrador digital, obteniendo el valor $3,749$ mm. Aproxima este valor a las décimas de dos formas distintas:

1. a) Mediante truncamiento.
2. b) Mediante redondeo.

Indica si las siguientes afirmaciones sobre la aproximación de $4,572$ son verdaderas o falsas:

1. a) El truncamiento a las décimas es $4,5$.
2. b) El redondeo a las décimas es $4,5$.
3. c) El redondeo a las centésimas es $4,57$.
4. d) El truncamiento a las unidades es $4$.

Considera el número irracional $\pi \approx 3,14159265...$.

1. a) Realiza un truncamiento a las diezmilésimas.
2. b) Realiza un redondeo a las diezmilésimas.
3. c) Compara ambos resultados y explica por qué en este caso particular el redondeo y el truncamiento no coinciden.

Estás revisando los precios de una tienda en línea y encuentras un accesorio para tu consola que cuesta $\$24,9632$. Aproxima este precio por truncamiento a las centésimas (es decir, a los centavos de dólar).

Un atleta ha registrado un tiempo de $10,438$ segundos en una carrera de 100 metros planos. Redondea su marca a las centésimas. ¿Ha sido el redondeo por exceso o por defecto?

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno para el número $7,4628$. Para cada caso, indica si la aproximación obtenida es por defecto o por exceso.

El tiempo oficial de una carrera de 100 metros planos se mide con milésimas de segundo. Un corredor ha tardado $10,437$ segundos.

1. a) Si en las noticias solo informan del tiempo redondeando a las centésimas, ¿qué tiempo dirán?
2. b) Si otro corredor ha tardado $10,432$ segundos, ¿qué tiempo le asignarían siguiendo el mismo criterio de redondeo?
3. c) ¿Sería justo usar este redondeo si ambos corredores compitieran en la misma serie? Razona tu respuesta basándote en la precisión.

Un sensor de precisión en una central meteorológica registra la humedad relativa del aire. Por motivos de almacenamiento de datos, el sistema informático redondea automáticamente el valor a las centésimas. Si en la pantalla aparece un valor de $64,38\,\%$, determina el intervalo exacto (valor mínimo y valor máximo) en el que se encuentra la humedad real captada por el sensor antes de ser redondeada.

Aproxima el número $0,666...$ (periódico puro) de las siguientes maneras:

1. a) Truncando a las centésimas.
2. b) Redondeando a las centésimas.
3. c) Redondeando a las décimas.

Representa en una recta numérica el número decimal periódico puro $2,\widehat{6}$. Para ello:

1. a) Sitúa entre qué dos números enteros se encuentra.
2. b) Indica qué número obtendrías si redondeas a las décimas.
3. c) ¿Cuál es la cota de error máximo que cometemos al redondear a las décimas?

Considera el número periódico mixto $n = 4,12\widehat{6}$.

1. a) Obtén su fracción generatriz simplificada al máximo.
2. b) Aproxima el número $n$ por redondeo a las milésimas.
3. c) Calcula la diferencia entre el valor real (usando la fracción generatriz) y la aproximación del inciso b. ¿A qué concepto de error corresponde este resultado?

Si el lado de un cuadrado mide $6,8$ pulgadas, estima su área redondeando primero la medida del lado al número entero más próximo. Dibuja un esquema del cuadrado indicando la medida aproximada.

En una tienda de informática, los precios de tres componentes son $\$15,99$, $\$32,45$ y $\$12,80$.

Si decides estimar el costo total redondeando a la unidad (dólares) antes de sumar, ¿cuál es la diferencia entre el precio real total y tu estimación? ¿Has estimado por exceso o por defecto?

Una empresa de transporte calcula el costo del combustible para un viaje largo. El precio de la gasolina es de $\$1,387$/galón y el camión consume $32,4$ galones cada 100 millas. El viaje es de 450 millas.

1. a) Calcula el costo total exacto del combustible para el viaje.
2. b) Si la empresa estima el costo redondeando el precio del galón a las centésimas y el consumo a unidades (galones), ¿cuál sería el presupuesto estimado?
3. c) Calcula la diferencia entre el costo real y el estimado. ¿Es una estimación segura para la empresa (por exceso) o arriesgada (por defecto)?

Un agricultor ha medido el área de su terreno rectangular y ha obtenido un valor de $124,3756$ $m^2$.

1. a) Calcula el valor del área aproximando por redondeo a las centésimas.
2. b) Calcula el error absoluto cometido al realizar dicha aproximación. Recuerda que el error absoluto es $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

En una fábrica de componentes electrónicos, una pieza rectangular debe medir $12,456$ pulgadas de largo y $8,321$ pulgadas de ancho. El operario de la máquina redondea ambas medidas a las décimas antes de realizar el corte.

1. Calcula el área de la pieza con las medidas originales (sin aproximar).

2. Calcula el área de la pieza con las medidas redondeadas.

3. Determina el error absoluto cometido en el cálculo del área debido a esos redondeos previos.

Deseamos diseñar una placa cuadrada cuya área exacta sea de $30$ pulgadas². Como no podemos medir con precisión infinita, aproximamos el lado del cuadrado ($\sqrt{30}$) mediante redondeo a las centésimas.

1. a) ¿Cuál es el valor del lado aproximado?
2. b) Si fabricamos la placa con ese lado aproximado, ¿cuál será su área real?
3. c) Calcula el error absoluto cometido en el área respecto a los $30$ pulgadas² originales.

La sonda espacial Voyager 1 se encuentra aproximadamente a $2,348 \cdot 10^{10}$ millas de la Tierra. Un astrónomo decide aproximar esta distancia truncando el número a las unidades de millar de millón (es decir, dejando solo dos cifras significativas en la parte entera de la notación científica: $2,3 \cdot 10^{10}$ mi).

Calcula el error absoluto y el error relativo cometido con esta aproximación. Expresa el error relativo en forma de porcentaje redondeado a las milésimas.

Un influencer está analizando el crecimiento de sus seguidores. El lunes tenía $1.240.500$ seguidores. El martes, su audiencia creció un $0,125\,\%$.

1. Calcula el número exacto de nuevos seguidores.

2. Si el sistema de estadísticas solo muestra números enteros y utiliza el truncamiento, ¿qué número de seguidores totales verá el influencer el martes?

3. ¿Cuál es el error relativo (en porcentaje) que comete la plataforma al mostrar el dato truncado respecto al crecimiento real?

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes. El software de navegación estima el tiempo de llegada dividiendo la distancia por la velocidad media.

Para un trayecto de $15$ millas a una velocidad de $35$ mph:

1. Calcula el tiempo exacto en horas (en forma de fracción y en forma decimal periódica).

2. El software ofrece una estimación redondeando el tiempo a los minutos enteros.

3. Calcula el error relativo que comete el software al informar al cliente en minutos, comparándolo con el tiempo real (expresa ambos tiempos en la misma unidad).