Expresiones algebraicas

En una tienda de videojuegos en línea, el precio de una suscripción mensual es de $\$x$. Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

1. a) El costo de tres suscripciones mensuales.
2. b) El precio de una suscripción después de aplicar un cupón de descuento de $\$5$.
3. c) Lo que paga un grupo de amigos por una suscripción mensual más un juego de $\$25$.
4. d) El doble del precio de una suscripción aumentado en $\$10$.

En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ dólares. Por cada cómic adicional que compre, le cobran $y$ dólares, pero si compra más de cinco, le aplican un descuento de $3$ dólares sobre el total. Escriba la expresión algebraica que represente el gasto mensual de un cliente que ha comprado $7$ cómics adicionales.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:

1. a) $5x - 3$ para $x = 4$
2. b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$
3. c) $2(a + b)$ para $a = 3$ y $b = 5$
4. d) $\frac{10 - x}{2}$ para $x = 6$

Halle el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican:

1. a) $x = 2, y = -1$
2. b) $x = 0, y = 10$
3. c) $x = -2, y = -2$

Considere el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.

1. Determine el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio).

2. Una vez hallado $k$, calcule el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno:

1. a) $7x^{2}$
2. b) $-5ab^{3}$
3. c) $x^{4}y$
4. d) $\frac{3}{4}z^{2}$

Para cada uno, indica: Coeficiente, Parte literal y Grado.

Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también cuál es su grado.

1. a) $4x^{3} - 5x + 2$
2. b) $-7ab^{2}$
3. c) $x^{2} + 10$
4. d) $3y^{4} - 2y^{2}$

Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
3. c) $4xy + 2x - xy + 3x$
4. d) $10n - 5 - 3n + 8$

Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos puntos tendrá la figura que ocupe la posición $n=50$?

Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la etapa $n=3$ usa 15 píxeles, y así sucesivamente.

Observa el patrón visual y realiza las siguientes tareas:

1. Encuentre la expresión algebraica (término general) que determina el número de píxeles necesarios para cualquier etapa $n$.

2. Si el lienzo digital tiene un límite de $1000$ píxeles, ¿podría el artista completar la etapa $n=30$? Justifique su respuesta calculando el valor numérico.

Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realice las siguientes operaciones y ordene el polinomio resultante de mayor a menor grado:

1. a) $A(x) + B(x)$
2. b) $A(x) - B(x)$
3. c) $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$

Estamos diseñando una nueva tableta cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ pulgadas y la altura mide $5$ pulgadas menos que la base. Escribe una expresión algebraica para el perímetro de la pantalla y simplifícala.

Reduzca al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis:

$3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$

Un dron de vigilancia recorre un terreno rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el ancho. Obtén el polinomio que representa el área total del terreno.

Una empresa de alquiler de monopatines eléctricos cobra una tarifa base de $B$ dólares por desbloqueo y $0,15$ dólares por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario recorre más de $5$ millas, se aplica un suplemento de seguridad de $S$ dólares. A la suma de estos conceptos se le debe aplicar un $21\%$ de impuesto sobre las ventas.

1. Escriba la expresión algebraica del costo total $C$ de un viaje si el usuario supera las $5$ mi de distancia.

2. Simplifique la expresión anterior realizando las operaciones posibles.

3. Si la tarifa base es de $1$ dólar y el suplemento de seguridad es de $2$ dólares, ¿cuánto pagará una persona que use el monopatín durante $20$ minutos y recorra $6$ mi?

Un centro deportivo comunitario tiene una cancha de básquetbol de forma rectangular. Si la longitud de la cancha es $y$ pies y su ancho es la mitad de la longitud, escribe el polinomio que representa el área de la cancha en función de $y$.

Calcule la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura geométrica en función de $x$. Simplifique el resultado sumando los términos semejantes.

El nuevo modelo de un teléfono inteligente tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel" protector que tiene un grosor uniforme de $2$ cm en todos sus lados.

1. Halle el polinomio reducido que expresa el área total del frontal del teléfono (pantalla más marco).

2. Halle el polinomio reducido que expresa únicamente el área del marco (la zona gris).

3. Si el ancho de la pantalla $x$ es de $6$ cm, ¿cuál es el área del marco?

Utiliza las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2a - 4b)^2$
3. c) $(x^2 + 3) \cdot (x^2 - 3)$

Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando las identidades notables para reducir términos:

Muestre el proceso paso a paso, indicando qué identidad notable ha aplicado en cada caso.

Demuestre algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.

Instrucciones:

1. Llame $n$ al primer número y $n+1$ al siguiente.

2. Escriba la expresión de la diferencia de sus cuadrados: $(n+1)^2 - n^2$.

3. Desarrolle y simplifique la expresión.

4. Compruebe el resultado con los números $12$ y $13$.

Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
3. c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$

Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado mide exactamente el radio $R$ del círculo. El resto del círculo se cubrirá con césped artificial.

1. Escriba la expresión algebraica reducida para el área de la zona de césped artificial en función de $R$. Utilice $\pi$ como símbolo.

2. Extraiga factor común en la expresión obtenida.

3. Si el radio $R$ es de $10$ pies, calcule el área de césped (use $\pi \approx 3,14$).

Simplifique la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando identidades notables en el numerador y el denominador:

¿Para qué valor de $x$ no tendría sentido esta expresión? (Pista: el denominador no puede ser cero).