Ejercicios: Sistemas de ecuaciones

En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:

Compruebe, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:

1. a) $x = 10, y = 5$
2. b) $x = 8, y = 7$

Traduzca al lenguaje algebraico y escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:

"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de papas ($y$) nos han cobrado $\$5$. Si compramos un refresco y una bolsa de papas, el precio es de $\$3$."

(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).

Resuelva el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjese que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:

Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguale las dos expresiones que representan el valor de $x$:

Resuelva el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observe que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puede sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:

Lucía ha comprado en la papelería $2$ plumas y $3$ borradores por un total de $\$4$. Pedro ha comprado $2$ plumas y $1$ borrador por $\$2$.

Si $x$ es el precio de una pluma e $y$ el de un borrador, el sistema que representa la situación es:

Halle el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).

En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de ecuaciones que describe esta situación es:

Resuelva el sistema por el método que prefiera para averiguar cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja.

En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora se necesita recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.

1. a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesita.
2. b) Compruebe si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerde que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:

Observe la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.

Calcule las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.

En la cafetería de la escuela secundaria, un grupo de amigos ha pagado $15\text{ \$}$ por 4 refrescos y 2 sándwiches. Al día siguiente, otro grupo pagó $17,50\text{ \$}$ por 3 refrescos y 4 sándwiches. Utilice el método de reducción para hallar el precio de un refresco y el de un sándwich.

Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que considere más apropiado. Antes de resolverlo, observe si es necesario simplificar las expresiones quitando los paréntesis:

La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? Utilice una tabla para organizar los datos de las edades antes de plantear el sistema.

Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de boletos: infantiles a $4\text{ \$}$ y de adultos a $7\text{ \$}$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un total de 240 personas y que la recaudación total ha sido de $1350\text{ \$}$. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron al festival?

Dos ciclistas, Isabella y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ mi}$. Isabella sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ mph}$ y David sale al mismo tiempo desde el punto B al encuentro de Isabella a $18\text{ mph}$.

Si $x$ es el tiempo que tardan en encontrarse e $y$ es la distancia recorrida por Isabella:

1. a) Plantee un sistema de ecuaciones que relacione el tiempo y el espacio de ambos.
2. b) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto A ocurrirá?

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utilice el método de reducción doble (eliminando una incógnita y luego la otra):

En una tienda de computación, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 mouses inalámbricos por un total de $\$135$. Al día siguiente, aprovechando una oferta, compra 2 teclados y 4 mouses por $\$111$. Sin embargo, la oferta consistía en que los teclados tenían un $10\%$ de descuento y los mouses un $20\%$ sobre su precio original.

Calcule el precio original de cada artículo planteando un sistema de ecuaciones.

Halle las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ pulg. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de $70$ pulg. Una vez halladas la base ($x$) y la altura ($y$), calcule el área del rectángulo original.

Un laboratorio químico necesita preparar $10$ galones de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafones: uno con una concentración del $15\%$ de ácido y otro con una concentración del $40\%$. ¿Qué cantidad de galones debe mezclar de cada garrafón para obtener la solución deseada?

La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar dicho número.

(Pista: Un número de dos cifras se escribe como $10x + y$).

Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ millas. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido (Elena persiguiendo a Marco), Elena tarda $3$ horas en alcanzarlo.

Calcule la velocidad de cada ciclista en mph planteando un sistema de ecuaciones.

Resuelva el siguiente sistema mediante el método que considere más oportuno, después de eliminar los paréntesis y agrupar términos:

Una vez resuelto, indique si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.