Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado

Identifique cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbalas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indique el valor de sus coeficientes $a$, $b$ y $c$:

1. a) $3x^2 - 5 = x + 2$

1. b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$

1. c) $5x - 3 = 0$

1. d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$

Calcule la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerde que pueden tener dos soluciones, una o ninguna):

1. a) $x^2 - 49 = 0$

1. b) $2x^2 - 32 = 0$

1. c) $x^2 + 25 = 0$

1. d) $5x^2 = 0$

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvide que una de las soluciones siempre es $x = 0$:

1. a) $x^2 - 7x = 0$

1. b) $3x^2 + 12x = 0$

1. c) $x^2 = 5x$

1. d) $4x^2 - 2x = 0$

Queremos diseñar una alfombra cuadrada para una habitación. Si sabemos que el área total que debe ocupar es de $144$ $m^2$, ¿cuánto debe medir el lado de la alfombra? Escriba la ecuación de segundo grado correspondiente y resuélvala.

Sin resolver las ecuaciones, calcule el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indique si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$

1. b) $x^2 - 5x + 4 = 0$

1. c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

1. b) $x^2 + 2x - 8 = 0$

1. c) $x^2 - 10x + 25 = 0$

El producto de un número entero por su siguiente es igual a $30$. Traduzca este enunciado a una ecuación de segundo grado y halle de qué números puede tratarse (recuerde que existen dos posibles parejas de números).

Halle las dimensiones del rectángulo de la figura sabiendo que su área es de $15$ $cm^2$. Para ello, plantee una ecuación de segundo grado y resuélvala mediante la fórmula general.

El municipio de una ciudad quiere instalar una lona publicitaria cuadrada en la fachada de un centro deportivo para anunciar un evento de eSports. Si la superficie total que ocupa la lona es de $144 m^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule cuánto mide el lado de dicha lona.

Halle un número entero tal que si le suma su propio cuadrado, el resultado obtenido es $42$. Pista: Recuerde pasar todos los términos a un miembro para igualar la ecuación a cero.

La base de una nueva tablet tiene forma rectangular. Sabemos que su base mide $4 cm$ más que su altura y que su superficie total es de $60 cm^2$. Calcule las dimensiones (base y altura) de la tablet resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente.

En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utilice el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para indicar cuántas soluciones reales tiene cada una:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado (extracción de factor común o raíz cuadrada directa):

1. a) $3x^2 - 27 = 0$
2. b) $x^2 + 5x = 0$
3. c) $2x^2 = 8x$

Un diseñador de jardines quiere rodear una fuente circular con un borde de flores. La ecuación que relaciona las medidas del diseño es $x(x - 8) = -15$, donde $x$ es una medida en pies. Resuelva la ecuación utilizando la fórmula general para encontrar los posibles valores de $x$.

Reduzca la siguiente expresión a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halle sus soluciones aplicando la fórmula:

Sofía y Diego están jugando a "adivinar la ecuación". Sofía dice: "Mi ecuación tiene las soluciones $x_1 = 3$ y $x_2 = -5$ y el coeficiente del término $x^2$ es $1$".

Escriba la ecuación de Sofía en su forma general ($x^2 + bx + c = 0$). Ayuda: Utilice la forma factorizada $(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.

Un programador de videojuegos está diseñando la fórmula para calcular la experiencia crítica de un personaje. Después de simplificar el código, la ecuación resultante es la siguiente:

Opere, reduzca a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halle los valores de $x$ que hacen que la fórmula funcione.

Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la ecuación que describe su trayectoria, $x^2 - 10x + k = 0$, debe ser igual a cero.

¿Qué valor debe tener el coeficiente $k$ para que la rampa tenga una única solución (solución doble)? Una vez hallado $k$, resuelva la ecuación para encontrar el punto de apoyo.

Un scooter eléctrico de $130$ pulg de largo se ha quedado apoyado contra una pared. La distancia desde el pie de la pared hasta la base del scooter es $70$ pulg menor que la altura que alcanza el scooter en la pared.

Si llamamos $x$ a la altura de la pared, aplique el Teorema de Pitágoras para plantear una ecuación de segundo grado y calcule dicha altura.

El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor más $10$ unidades. Plantee la ecuación de segundo grado correspondiente y halle cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja de números que cumpla la condición?

Un artista urbano quiere pintar un mural cuadrado en una pared. Sin embargo, decide ampliar el diseño original aumentando su lado en $2$ pies. Al hacerlo, el área total del mural se triplica respecto al diseño original.

Calcule cuánto medía el lado del mural originalmente (aproxime el resultado a dos decimales si es necesario).

Se lanza un pequeño dron de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra el dron después de un tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión:

¿En qué momentos se encontrará el dron exactamente a $25$ pies de altura? Explique por qué obtiene dos soluciones distintas.

En una red social de fotografía, el número de "Likes" de la publicación de hoy de un influencer ha sido tal que, si se le restan $10$ unidades y el resultado se eleva al cuadrado, se obtiene el mismo valor que multiplicando el número de "Likes" por $5$ y sumándole $50$.

Calcule cuántos "Likes" ha recibido hoy dicha publicación.

Una lámina de cartón rectangular mide $20$ pulg de base y $15$ pulg de altura. Queremos recortar un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas para fabricar una caja abierta. Si sabemos que el área de la base de la caja resultante debe ser de $150$ pulg², calcule cuánto debe medir el lado $x$ de los cuadrados recortados.