Ejercicios: Polinomios

En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibe una cantidad de puntos desconocida $x$, pero por cada enemigo derrotado recibe el triple de puntos que por una moneda. Al finalizar el nivel, siempre recibe un bono fijo de $50$ puntos de experiencia.

Escriba la expresión algebraica que representa la puntuación total de un jugador que ha conseguido $12$ monedas y ha derrotado a $4$ enemigos.

Copie y complete la siguiente tabla en su cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios:

Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Seleccione de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $\$15$ por cada tarde de trabajo, más un extra de $\$3$ por cada pedido entregado a domicilio. La expresión que calcula su ganancia es $G = 15 + 3x$, donde $x$ es el número de pedidos.

Calcule el valor numérico de su ganancia (lo que cobrará en total) si una tarde consigue repartir $8$ pedidos.

Analice el siguiente polinomio y responda a las preguntas:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
2. b) ¿Cómo se llama el término que no tiene variable (el $-8$)?
3. c) ¿Cuántos términos tiene? Según el número de términos, ¿es un monomio, binomio o trinomio?
4. d) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?

Halle la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:

Dados los siguientes polinomios, realice la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Las identidades notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utilice la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar la siguiente expresión:

$(x + 2)^2$

En una tienda de tecnología, el precio de un teléfono inteligente de gama media es $\$x$. Un teléfono inteligente de gama alta cuesta el doble que el de gama media más $\$150$, y una tableta cuesta $\$80$ menos que el teléfono inteligente de gama media.

1. a) Escriba la expresión algebraica que representa el costo total de comprar dos teléfonos inteligentes de gama media, uno de gama alta y tres tabletas.
2. b) Reduzca la expresión obtenida para que sea un polinomio en su forma más sencilla.
3. c) Si el precio del teléfono inteligente básico es $\$x = 200$, ¿cuánto dinero costará el pedido total?

Dado el siguiente polinomio:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indique razonadamente los siguientes elementos:

1. a) El grado del polinomio.
2. b) El coeficiente del término de grado 2.
3. c) El término independiente.
4. d) El valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) ¿A qué altura se encuentra la plataforma de lanzamiento? (Pista: calcule $h(0)$).
2. b) ¿A qué altura estará el cohete a los 2 segundos de ser lanzado?
3. c) ¿Estará el cohete más alto a los 3 segundos o a los 4 segundos? Justifique su respuesta calculando los valores numéricos correspondientes.

Realice las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Calcule el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Exprese el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.

Multiplique los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifique los términos semejantes:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Aplique las fórmulas de las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utilice esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el piso de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el patrón anterior con una nueva capa de baldosas de distinto color. El número total de baldosas en el nivel $n$ sigue una secuencia lógica.

Observe la figura que representa los tres primeros niveles y:

1. Encuentre el polinomio $P(n)$ que expresa el número total de baldosas necesarias para construir hasta el nivel $n$.

2. Calcule cuántas baldosas tendrá un piso de nivel $n = 12$.

Una empresa de mensajería cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un costo fijo de gestión de $\$G$, más un precio por cada libra de peso $x$, y un cargo adicional de "distancia premium" que equivale al cuadrado del peso del paquete dividido entre 4.

1. Escriba el polinomio $C(x)$ que representa el costo total del envío de un paquete de $x$ libras.

2. Si los gastos de gestión son $\$G = 5$ y queremos enviar un paquete de $8$ lb, ¿cuál será el costo total?

3. Si la empresa decide duplicar el costo por libra y mantener el resto de parámetros, escriba el nuevo polinomio $C_2(x)$.

Calcule el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de lado $3x + 2$ y el hueco interior es un rectángulo de base $x + 4$ y altura $x - 1$.

Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables y la extracción de factor común:

Indique si el resultado final es un número constante o depende del valor de $x$.

Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determine el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio). Una vez hallado $k$, calcule el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ pies y su altura mide $5$ pies menos que la base. La ciudad decide ampliar el parque aumentando la base en $3$ pies y la altura en $2$ pies.

1. Escriba el polinomio $A_1(x)$ del área del parque original.

2. Escriba el polinomio $A_2(x)$ del área del parque ampliado.

3. Halle el polinomio que representa el incremento de área $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ y simplifíquelo.

Realice la siguiente operación combinada con polinomios y reduzca los términos semejantes:

Pista: Fíjese bien si puede aplicar algún producto notable antes de multiplicar.

Extraiga factor común y utilice los productos notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización):

1. $Q(x) = 3x^3 - 12x$

2. $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

3. $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$