Ejercicios: El lenguaje algebraico

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones relacionadas con el ahorro y las redes sociales:

1. a) El número de seguidores que tiene un influencer, $x$, aumentado en $150$.
2. b) El precio de un boleto de cine, $p$, rebajado en $\$2$.
3. c) El triple de la edad que tiene mi hermano, si su edad es $y$.
4. d) La mitad del dinero que tengo en mi alcancía, siendo $d$ la cantidad total.

Copia y completa la siguiente tabla identificando los componentes de estos monomios:

Monomio	Coeficiente	Parte literal	Grado
$7x^2$
$-ab^3$
$\frac{1}{2}x^3y$
$-5$

De la siguiente lista de monomios, identifica y agrupa aquellos que sean semejantes entre sí:

$5x^2$, $3y$, $-2x$, $\frac{1}{4}x^2$, $8y$, $x^2$, $-5y$, $10x$

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:

1. a) $3x + 10$ para $x = 4$
2. b) $x^2 - 5$ para $x = 3$
3. c) $2(a + b)$ para $a = 5$ y $b = 2$
4. d) $\frac{12}{x}$ para $x = 6$

Halla la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente cuadrado cuyo lado mide $x$ pies:

Asocia cada frase con su expresión algebraica correspondiente:

1. El doble de un número más cinco unidades.                      a) $x - 5$

2. Un número disminuido en cinco unidades.                         b) $2x + 5$

3. La quinta parte de un número.                                           c) $x^5$

4. Un número elevado a la quinta potencia.                           d) $\frac{x}{5}$

En una tienda de videojuegos, el costo de rentar una consola es de $\$10$ fijos más $\$2$ por cada hora de uso.

1. a) Escribe la expresión algebraica del costo total para un número de horas $h$.
2. b) ¿Cuánto pagará Lucía si renta la consola durante $3$ horas?

Halla la expresión algebraica que representa el área del siguiente rectángulo, sabiendo que su base mide $5$ unidades más que su altura ($x$):

En una plataforma de streaming de videojuegos, la tarifa mensual básica es de $\$12$. Además, cada vez que quieres jugar a un título "Premium" fuera del catálogo, debes pagar $\$3,50$ adicionales.

Escribe la expresión algebraica que representa el costo total que pagará un usuario al mes si decide jugar a $x$ títulos "Premium".

Calcula la expresión algebraica del perímetro de la siguiente figura, que representa el plano de un área de juegos rectangular pequeña.

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos y determina el término general $a_n$ que permite calcular el número de puntos necesarios para cualquier figura $n$.

Un centro de reciclaje otorga "puntos eco" según el material entregado:

• $5$ puntos por cada libra de vidrio ($v$).

• $3$ puntos por cada libra de papel ($p$).

• $10$ puntos fijos por cada visita al centro.

Escribe la fórmula de los puntos totales $P$ que recibe una persona en una visita. Una vez escrita, calcula cuántos puntos recibirá un estudiante que entrega $4$ lb de vidrio y $8$ lb de papel.

Analiza las siguientes expresiones algebraicas y completa la información solicitada en cada caso:

1. En la expresión $7x^2y - 5x + 3$: ¿Cuántos términos tiene? ¿Cuál es el término independiente?

2. Dado el monomio $-\frac{2}{3}ab^4$: Indica su coeficiente, su parte literal y su grado total.

Lucía está analizando el crecimiento de sus seguidores en una red social. Empezó el mes con $x$ seguidores. Durante la primera quincena, su número de seguidores aumentó al triple. Sin embargo, en la segunda quincena, perdió $150$ seguidores debido a una limpieza de cuentas inactivas.

Escribe la expresión algebraica que representa el número final de seguidores de Lucía y calcula cuántos tiene si empezó el mes con $x = 420$.

Traduce estas frases de lenguaje común a lenguaje algebraico utilizando una sola variable $x$:

1. a) La suma de un número y su mitad.
2. b) El triple del resultado de restarle cinco a un número.
3. c) El cuadrado del anterior de un número.
4. d) La diferencia entre el doble de un número y su siguiente.

Una caja de cartón para envíos tiene una base cuadrada de lado $x$ y una altura que es $5$ pulgadas mayor que el lado de la base.

Dibuja un esquema del prisma rectangular y escribe la expresión algebraica simplificada que representa el volumen de la caja en función de $x$.

El ayuntamiento de la ciudad quiere instalar una cerca de madera alrededor de un nuevo parque infantil. La cerca se construye uniendo paneles rectangulares mediante postes verticales. Cada panel necesita $3$ listones horizontales. Para sostener la estructura, se coloca un poste al principio de la cerca y otro al final de cada panel.

1. Escribe una expresión algebraica que permita calcular el número total de listones horizontales necesarios para una cerca que tiene $n$ paneles.

2. Escribe una expresión algebraica para el número total de postes necesarios para una cerca de $n$ paneles.

3. Si cada poste cuesta $\$p$ y cada listón horizontal cuesta $\$l$, escribe la expresión del costo total de los materiales para una cerca de $n$ paneles.

Una empresa de envíos cobra a sus clientes según el peso de los paquetes y la distancia del envío. La tarifa base es de $\$B$. A esta cantidad se le suma:

• $\$2,5$ por cada libra de peso ($w$).

• $\$0,15$ por cada milla de distancia ($d$).

Si el cliente es "Premium", se le aplica un descuento del $15\%$ sobre el precio total del envío. Escribe la expresión algebraica que determine el costo total de enviar un paquete para un cliente "Premium" en función de $B$, $w$ y $d$.

En una lámina de acero cuadrada de lado $x$ pulgadas, un operario debe recortar cuatro círculos iguales, uno en cada esquina, para fabricar una pieza industrial. El radio de cada círculo es de $r$ pulgadas.

1. Escribe la expresión algebraica del área de la lámina que sobra tras realizar los cuatro recortes (utiliza $\pi$ como símbolo).

2. Si sabemos que el radio de los círculos es la cuarta parte del lado de la lámina, es decir $r = \frac{x}{4}$, simplifica la expresión anterior para que dependa únicamente de la variable $x$.

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por pequeños hexágonos. La primera figura tiene un hexágono central rodeado por otros seis. En cada paso, se añade una nueva capa de hexágonos alrededor de la figura anterior.

1. Determina cuántos hexágonos tiene la capa número $n$ (sin contar los de las capas interiores).

2. Encuentra la expresión algebraica que representa el número total de hexágonos que forman la figura completa cuando esta tiene $n$ capas alrededor del hexágono central.

(Pista: El número de hexágonos añadidos en cada capa sigue una progresión).

Traduce a lenguaje algebraico las siguientes propiedades relativas a números enteros:

1. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera, $a$ y $b$, es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto.

2. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos, siendo $n$ el menor de ellos.

3. La diferencia entre el cubo de un número $x$ y el cuadrado de su mitad.

4. El cociente entre la suma de un número y su inverso, y el triple de dicho número.

Tres hermanos, Marcos, Lucía y Adrián, deciden ahorrar para comprar un regalo. Sabemos que:

• Lucía ha ahorrado $\$x$.

• Marcos ha ahorrado $\$10$ menos que el triple de lo que tiene Lucía.

• Adrián ha ahorrado la mitad de la suma de lo que tienen sus otros dos hermanos juntos.

Expresa en función de $x$:

1. El dinero que tiene Marcos.

2. El dinero que tiene Adrián (simplifica la expresión).

3. El dinero total ahorrado por los tres hermanos.

Se desea diseñar una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartulina que mide $50$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Para ello, se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan las pestañas hacia arriba.

Escribe la expresión algebraica simplificada que representa:

1. El área de la base de la caja en función de $x$.

2. El volumen total de la caja en función de $x$.

Una plataforma de streaming ofrece dos tipos de suscripción:

• Plan Básico: Una cuota fija de $\$x$ al mes más $\$0,50$ por cada película de estreno rentada ($p$).

• Plan Premium: Una cuota fija que cuesta un $40\%$ más que la básica, pero permite ver un número ilimitado de películas sin costo adicional.

• Escribe la expresión algebraica del costo mensual del Plan Básico.

• Escribe la expresión algebraica del costo mensual del Plan Premium.

• Escribe la expresión que representa la diferencia de costo entre el Plan Premium y el Plan Básico en un mes donde se rentan $p$ películas. ¿Para qué valores de $p$ resultaría más caro el Plan Básico que el Premium? (Indica solo la condición).