Potencias, raíces y logaritmos básicos
Una cuenta de ahorro crece un 3 % anual y quieres saber en cuántos años habrá aumentado un 20 %. Un archivo duplica su tamaño en cada ciclo y quieres saber cuántos ciclos hacen falta para llegar a 96 MB. En ambos casos la incógnita está en el exponente, y para despejarla necesitas potencias, raíces y logaritmos con soltura. Todo lo que viene después (funciones exponenciales, interés compuesto, derivadas de $e^x$ y $\ln x$) se apoya en este apartado.
Potencias: definición y propiedades
Calcula $(-3)^4$, $-3^4$ y $3^{-2}$. Explica el papel del paréntesis y del exponente negativo.
Calcula $(-3)^4$, $-3^4$ y $3^{-2}$. Explica el papel del paréntesis y del exponente negativo.
Simplifica $5^3\cdot5^{-5}$ y escribe el resultado como fracción.
Simplifica $5^3\cdot5^{-5}$ y escribe el resultado como fracción.
Simplifica $\frac{(2a^3b^{-1})^2}{4ab^{-3}}$, con $a,b\ne0$.
Simplifica $\frac{(2a^3b^{-1})^2}{4ab^{-3}}$, con $a,b\ne0$.
Raíces y exponentes fraccionarios
Calcula $27^{2/3}$ y explica el significado del exponente fraccionario.
Calcula $27^{2/3}$ y explica el significado del exponente fraccionario.
Simplifica $\sqrt{72}-2\sqrt{8}$ y deja el resultado exacto.
Simplifica $\sqrt{72}-2\sqrt{8}$ y deja el resultado exacto.
Simplifica $\frac{\sqrt{50}\sqrt8}{\sqrt2}$ sin usar aproximaciones.
Simplifica $\frac{\sqrt{50}\sqrt8}{\sqrt2}$ sin usar aproximaciones.
Notación científica
Los datos económicos y tecnológicos abarcan órdenes de magnitud enormes: un PIB de billones de euros, un tiempo de acceso de microsegundos. La notación científica los hace manejables.
Expresa $0,000072$ en notación científica y calcula su producto por $10^6$.
Expresa $0,000072$ en notación científica y calcula su producto por $10^6$.
Una superficie cuadrada de almacenamiento tiene $162\ \text{m}^2$. Halla su lado exacto y aproxima a dos decimales. Los datos del enunciado se muestran en el siguiente…
Una superficie cuadrada de almacenamiento tiene $162\ \text{m}^2$. Halla su lado exacto y aproxima a dos decimales.
Los datos del enunciado se muestran en el siguiente esquema.
Logaritmos
Si $2^x=96/3$, ¿cuánto vale $x$? Hasta ahora podías calcular potencias; el logaritmo es la operación que deshace la potencia y devuelve el exponente.
Calcula $\log_{10}(10000)$, $\log_2(1/8)$ y $\ln(1)$.
Calcula $\log_{10}(10000)$, $\log_2(1/8)$ y $\ln(1)$.
Escribe la igualdad $4^3=64$ mediante un logaritmo.
Escribe la igualdad $4^3=64$ mediante un logaritmo.
Para $x>0$, desarrolla $\ln\left(\frac{x^3\sqrt{x}}{5}\right)$. Un compañero propone dividir $\ln(x^3\sqrt{x})$ entre $\ln5$: identifica su error.
Para $x>0$, desarrolla $\ln\left(\frac{x^3\sqrt{x}}{5}\right)$. Un compañero propone dividir $\ln(x^3\sqrt{x})$ entre $\ln5$: identifica su error.
Para $a,b>0$, condensa $2\ln a-\frac12\ln b$ en un único logaritmo.
Para $a,b>0$, condensa $2\ln a-\frac12\ln b$ en un único logaritmo.
Ecuaciones exponenciales, logarítmicas y radicales
Un registro digital duplica su volumen en cada ciclo. Parte de $3$ MB y llega a $96$ MB. Plantea una ecuación exponencial y determina el número de ciclos.
Un registro digital duplica su volumen en cada ciclo. Parte de $3$ MB y llega a $96$ MB. Plantea una ecuación exponencial y determina el número de ciclos.
Un capital se multiplica por $1,03$ cada año. ¿Cuántos años enteros deben transcurrir para que sea al menos $1,2$ veces el inicial? Usa logaritmos y verifica los dos…
Un capital se multiplica por $1,03$ cada año. ¿Cuántos años enteros deben transcurrir para que sea al menos $1,2$ veces el inicial? Usa logaritmos y verifica los dos enteros consecutivos relevantes.
Simplificaciones y sustituciones avanzadas
Calcula $\sqrt{25+144}$ y compáralo con $\sqrt{25}+\sqrt{144}$.
Calcula $\sqrt{25+144}$ y compáralo con $\sqrt{25}+\sqrt{144}$.
Racionaliza $\frac6{\sqrt3}$ y comprueba el resultado elevándolo al cuadrado.
Racionaliza $\frac6{\sqrt3}$ y comprueba el resultado elevándolo al cuadrado.
Resuelve $4^x-5\cdot2^x+4=0$ usando una sustitución.
Resuelve $4^x-5\cdot2^x+4=0$ usando una sustitución.
Vuelve al principio: el 3 % anual se resuelve con $t=\ln1{,}2/\ln1{,}03\approx6{,}17$, es decir, 7 años enteros; y el archivo que pasa de 3 a 96 MB cumple $3\cdot2^n=96$, o sea $2^n=32$, $n=5$ ciclos.