Una tienda aplica un descuento del $10\,\%$ y, después, suma un impuesto del $20\,\%$ al resultado. ¿Es lo mismo que hacerlo al revés? Y si conoces el precio final, ¿cómo recuperas el precio de partida? La primera pregunta es de composición de funciones; la segunda, de función inversa. Ambas son herramientas básicas de cualquier modelo económico.
Composición de funciones
Lee la composición de dentro hacia fuera: el resultado de $g$ es la entrada de $f$. Por eso el orden importa: en general $f\circ g\neq g\circ f$.
Practica★☆☆Sin empezar
Si $f(x)=x+4$ y $g(x)=2x$, calcula $f(g(3))$ y $g(f(3))$.
Si $f(x)=x+4$ y $g(x)=2x$, calcula $f(g(3))$ y $g(f(3))$.
Un importe base $x$ pasa primero por la regla $D(x)=0,9x$ y después por $T(y)=1,2y$. La figura representa los datos del enunciado. Escribe la composición que describe el…
Un importe base $x$ pasa primero por la regla $D(x)=0,9x$ y después por $T(y)=1,2y$.
La figura representa los datos del enunciado.
Escribe la composición que describe el importe final y calcula el resultado para $x=80$. Son reglas comerciales ficticias.
Un cupón resta $8\ \text{€}$ mediante $C(x)=x-8$, y un descuento aplica $D(x)=0,85x$. Para compras de al menos $20\ \text{€}$ compara $D(C(x))$ con $C(D(x))$. Determina…
Un cupón resta $8\ \text{€}$ mediante $C(x)=x-8$, y un descuento aplica $D(x)=0,85x$. Para compras de al menos $20\ \text{€}$ compara $D(C(x))$ con $C(D(x))$. Determina qué orden conviene al comprador y la diferencia.
Para que $f(g(x))$ exista hacen falta dos condiciones: que $x$ esté en el dominio de $g$ y que $g(x)$ esté en el dominio de $f$. Se trabaja siempre sobre la expresión sin simplificar, porque simplificar puede ocultar restricciones.
Practica★★☆Sin empezar
Sean $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=x-6$. Obtén $f\circ g$ y $g\circ f$, incluyendo sus dominios.
Sean $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=x-6$. Obtén $f\circ g$ y $g\circ f$, incluyendo sus dominios.
La inversa deshace lo que hizo $f$: si $f$ convierte un precio en una cantidad demandada, $f^{-1}$ dice qué precio produce una cantidad dada. Solo se puede deshacer si cada salida procede de una única entrada.
Practica★☆☆Sin empezar
¿Tiene inversa $f(x)=x^2$ como función de $\mathbb R$ a $[0,\infty)$? Justifica con dos entradas distintas.
¿Tiene inversa $f(x)=x^2$ como función de $\mathbb R$ a $[0,\infty)$? Justifica con dos entradas distintas.
Una tarifa es $T(q)=12+3q$ para $0\leq q\leq10$, y $T(q)=22+2q$ para $q>10$, con $q$ divisible. Demuestra que admite inversa y escríbela por tramos, con sus dominios.
Una tarifa es $T(q)=12+3q$ para $0\leq q\leq10$, y $T(q)=22+2q$ para $q>10$, con $q$ divisible. Demuestra que admite inversa y escríbela por tramos, con sus dominios.
La inversa de una función racional $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ también es de ese tipo. Se despeja $x$ agrupando términos.
Las asíntotas de $f^{-1}$ son las de $f$ con los papeles de $x$ e $y$ intercambiados: el valor excluido del dominio de $f$ es el valor no alcanzado por $f^{-1}$, y al revés.
Practica★★☆Sin empezar
Halla la inversa de $f(x)=(x+3)^2$ restringida a $x\le-3$.
Halla la inversa de $f(x)=(x+3)^2$ restringida a $x\le-3$.
Vuelve al principio: descuento y luego impuesto es $T(D(x))$, y el orden importa en cuanto aparece una resta o una condición de dominio; para recuperar el precio de partida basta calcular la inversa $D^{-1}\circ T^{-1}$ (se deshace en orden contrario).
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado