Modelos cuadráticos
Una empresa vende más unidades bajando el precio, pero cada unidad extra ingresa menos que la anterior. Por eso el ingreso primero sube y después baja, y el beneficio tiene un punto máximo. ¿Cómo localizas esa cantidad óptima sin derivar, y qué cambia cuando solo puedes producir ciertas cantidades? Las funciones cuadráticas responden a ambas preguntas.
La parábola: forma general, vértice y simetría
Halla el vértice de $f(x)=(x-3)^2+2$ y decide si es máximo o mínimo.
Halla el vértice de $f(x)=(x-3)^2+2$ y decide si es máximo o mínimo.
El beneficio es $B(q)=-(q-12)^2+81$, en euros, para $q\geq0$. Identifica el máximo y la cantidad que lo alcanza sin derivar.
El beneficio es $B(q)=-(q-12)^2+81$, en euros, para $q\geq0$. Identifica el máximo y la cantidad que lo alcanza sin derivar.
Escribe el eje de simetría de $f(x)=-x^2+6x+1$.
Escribe el eje de simetría de $f(x)=-x^2+6x+1$.
Ceros, forma factorizada y signo
Halla los ceros de $B(q)=q(12-q)$ y el signo entre ellos.
Halla los ceros de $B(q)=q(12-q)$ y el signo entre ellos.
Para $f(x)=-2x^2+8$, calcula $f(0)$ y los cortes con el eje horizontal.
Para $f(x)=-2x^2+8$, calcula $f(0)$ y los cortes con el eje horizontal.
El beneficio $B(q)=-2q^2+40q-128$ se mide en euros. Halla las cantidades de equilibrio y el intervalo de beneficio positivo. Considera $q$ divisible y no negativo.
El beneficio $B(q)=-2q^2+40q-128$ se mide en euros. Halla las cantidades de equilibrio y el intervalo de beneficio positivo. Considera $q$ divisible y no negativo.
Completar cuadrados y optimizar
Una demanda inversa es $p(q)=24-q$, para $0\leq q\leq24$. Escribe el ingreso $R(q)$ y calcula sus ceros.
Una demanda inversa es $p(q)=24-q$, para $0\leq q\leq24$. Escribe el ingreso $R(q)$ y calcula sus ceros.
Completa cuadrados en $B(q)=-q^2+14q-24$ y halla el beneficio máximo para $q\ge0$.
Completa cuadrados en $B(q)=-q^2+14q-24$ y halla el beneficio máximo para $q\ge0$.
Una demanda inversa $p(q)=50-2q$ tiene dominio económico $0\leq q\leq25$. Completa cuadrados en el ingreso y determina el precio y la cantidad que lo maximizan.
Una demanda inversa $p(q)=50-2q$ tiene dominio económico $0\leq q\leq25$. Completa cuadrados en el ingreso y determina el precio y la cantidad que lo maximizan.
Construir la parábola a partir de datos
Una parábola tiene vértice $(2,5)$ y pasa por $(0,1)$. Halla su fórmula.
Una parábola tiene vértice $(2,5)$ y pasa por $(0,1)$. Halla su fórmula.
Un modelo cuadrático de ingresos $R(q)=aq^2+bq+c$ cumple $R(0)=0$, $R(10)=300$ y $R(20)=400$. La figura representa los datos del enunciado. Determina sus coeficientes y…
Un modelo cuadrático de ingresos $R(q)=aq^2+bq+c$ cumple $R(0)=0$, $R(10)=300$ y $R(20)=400$.
La figura representa los datos del enunciado.
Determina sus coeficientes y el ingreso para $q=15$.
Una función cuadrática tiene ceros $2$ y $8$ y valor $18$ en $x=5$. Halla su fórmula, máximo e imagen en $[0,10]$.
Una función cuadrática tiene ceros $2$ y $8$ y valor $18$ en $x=5$. Halla su fórmula, máximo e imagen en $[0,10]$.
Coste, beneficio y tasa de variación
La función de coste $C(q)=q^2+6q+80$ se aplica a $q\geq0$. Calcula $C(4)$ y el aumento de coste al pasar de $4$ a $5$ unidades.
La función de coste $C(q)=q^2+6q+80$ se aplica a $q\geq0$. Calcula $C(4)$ y el aumento de coste al pasar de $4$ a $5$ unidades.
Para $f(x)=x^2-6x+11$, calcula las tasas de variación media en $[1,2]$ y $[4,5]$. Explica la relación entre ambas usando el eje de simetría, sin derivar.
Para $f(x)=x^2-6x+11$, calcula las tasas de variación media en $[1,2]$ y $[4,5]$. Explica la relación entre ambas usando el eje de simetría, sin derivar.
Una demanda inversa es $p(q)=18-q$ y el coste total $C(q)=4q+24$. Escribe el beneficio y halla los puntos de equilibrio.
Una demanda inversa es $p(q)=18-q$ y el coste total $C(q)=4q+24$. Escribe el beneficio y halla los puntos de equilibrio.
Dominio económico: restricciones y casos con parámetros
Vuelve al principio: la cantidad óptima es el vértice si está permitido. Cuando el dominio es un intervalo, o la producción debe ser entera o múltiplo de algo, el óptimo puede estar en otro sitio.
Un ingreso es $R(q)=20q-q^2$. Compara $R(4)$ y $R(16)$ y explica la igualdad por simetría.
Un ingreso es $R(q)=20q-q^2$. Compara $R(4)$ y $R(16)$ y explica la igualdad por simetría.
Una actividad presenta $B(q)=-(q-8)^2+25$, con producción entera entre $0$ y $12$. Determina todas las producciones que dan beneficio de al menos $16\ \text{€}$.
Una actividad presenta $B(q)=-(q-8)^2+25$, con producción entera entre $0$ y $12$. Determina todas las producciones que dan beneficio de al menos $16\ \text{€}$.
Un ingreso $R(q)=30q-q^2$ está sujeto a $0\le q\le10$. Determina su máximo factible y explica por qué el vértice no lo da.
Un ingreso $R(q)=30q-q^2$ está sujeto a $0\le q\le10$. Determina su máximo factible y explica por qué el vértice no lo da.
El precio es $p(q)=80-q$ y el coste $C(q)=200+20q$, en euros, con $0\leq q\leq50$ y cantidad divisible. Obtén el beneficio, su máximo y los extremos exactos del…
El precio es $p(q)=80-q$ y el coste $C(q)=200+20q$, en euros, con $0\leq q\leq50$ y cantidad divisible. Obtén el beneficio, su máximo y los extremos exactos del intervalo donde el beneficio es estrictamente positivo dentro de la capacidad disponible.
Una empresa tiene $B(q)=-q^2+22q-40$ para cantidades enteras $0\leq q\leq20$. Un contrato obliga a producir un múltiplo de $4$. Halla la producción admisible que…
Una empresa tiene $B(q)=-q^2+22q-40$ para cantidades enteras $0\leq q\leq20$. Un contrato obliga a producir un múltiplo de $4$. Halla la producción admisible que maximiza el beneficio y cuantifica la pérdida frente al máximo sin la obligación del múltiplo.
Una campaña añade un coste fijo $F\geq0$ a un beneficio inicial $B(q)=-2q^2+48q-160$, con $q\geq0$ divisible. Determina los valores de $F$ que permiten beneficio…
Una campaña añade un coste fijo $F\geq0$ a un beneficio inicial $B(q)=-2q^2+48q-160$, con $q\geq0$ divisible. Determina los valores de $F$ que permiten beneficio positivo para alguna producción y el único nivel productivo de equilibrio cuando el máximo beneficio es cero.
Un beneficio $B(q)=-2q^2+22q-40$ se aplica a cantidades enteras $q\ge0$. Determina la producción óptima y el beneficio máximo.
Un beneficio $B(q)=-2q^2+22q-40$ se aplica a cantidades enteras $q\ge0$. Determina la producción óptima y el beneficio máximo.
Encuentra todos los valores de $q\in[0,20]$ que hacen $R(q)=40q-2q^2$ al menos igual al $75\%$ de su máximo.
Encuentra todos los valores de $q\in[0,20]$ que hacen $R(q)=40q-2q^2$ al menos igual al $75\%$ de su máximo.
Dos modelos dan $B_1(q)=-q^2+10q$ y $B_2(q)=2q+7$. Determina para qué cantidades reales no negativas el primero predice mayor beneficio.
Dos modelos dan $B_1(q)=-q^2+10q$ y $B_2(q)=2q+7$. Determina para qué cantidades reales no negativas el primero predice mayor beneficio.