Una empresa produce dos bienes y para fabricarlos necesita recursos: horas de trabajo, materiales, y a veces productos de la propia empresa. Si el pedido de un cliente sube un 10 %, ¿cuánto hay que producir de más? A veces la respuesta es más que ese 10 %, porque producir consume parte de lo producido. Las matrices permiten responder con orden y de una sola vez.
Matriz de recursos: de la producción a los consumos
¿Por qué se multiplica así? La fila $i$ de $A$ multiplicada por $q$ calcula $a_{i1}q_1 + a_{i2}q_2+\dots$: lo que consume el recurso $i$ en cada producto, sumado. Es exactamente el producto matriz por vector.
Practica★☆☆Sin empezar
Cada mesa necesita $3$ horas de carpintería y $1$ de acabado; cada silla $1$ y $2$, respectivamente. Escribe la matriz de recursos con filas tareas y columnas productos…
Cada mesa necesita $3$ horas de carpintería y $1$ de acabado; cada silla $1$ y $2$, respectivamente. Escribe la matriz de recursos con filas tareas y columnas productos y calcula los recursos para $4$ mesas y $5$ sillas.
La producción semanal es $Q=\begin{pmatrix}3&5\\4&2\end{pmatrix}$, con filas productos y columnas semanas. Para $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, calcula los…
La producción semanal es $Q=\begin{pmatrix}3&5\\4&2\end{pmatrix}$, con filas productos y columnas semanas. Para $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, calcula los recursos semanales $AQ$ e interpreta su primera columna.
Una vez tienes $A$, salen más cosas de la misma estructura.
Practica★☆☆Sin empezar
Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}$ y recursos disponibles $r=\begin{pmatrix}10\\12\end{pmatrix}$, comprueba si fabricar $q=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ es…
Con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}$ y recursos disponibles $r=\begin{pmatrix}10\\12\end{pmatrix}$, comprueba si fabricar $q=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ es viable sin superar recursos.
Cada unidad del producto A usa $2$ kg de material y cada unidad del B usa $5$ kg. El material cuesta $3\ \text{€}$ por kg. Escribe el vector fila de costes de material…
Cada unidad del producto A usa $2$ kg de material y cada unidad del B usa $5$ kg. El material cuesta $3\ \text{€}$ por kg. Escribe el vector fila de costes de material por producto.
La matriz $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ indica kg de dos materiales por dos productos. Los materiales cuestan $c=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ euros/kg.…
La matriz $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ indica kg de dos materiales por dos productos. Los materiales cuestan $c=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ euros/kg. Obtén el coste por producto y el coste de fabricar $q=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$.
¿Por qué? Es lo inverso de calcular consumos: conoces lo gastado y quieres saber lo producido.
Practica★★☆Sin empezar
Un taller usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ horas de dos tareas por producto. Si consume exactamente $r=\begin{pmatrix}14\\13\end{pmatrix}$ horas, recupera…
Un taller usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ horas de dos tareas por producto. Si consume exactamente $r=\begin{pmatrix}14\\13\end{pmatrix}$ horas, recupera las cantidades producidas.
Dos productos necesitan horas según $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, con procesos por filas, y se dispone de $\begin{pmatrix}50\\40\end{pmatrix}$ horas. Si se…
Dos productos necesitan horas según $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, con procesos por filas, y se dispone de $\begin{pmatrix}50\\40\end{pmatrix}$ horas. Si se usan exactamente todas las horas, calcula la producción de cada producto y comprueba las dos restricciones.
Dos productos utilizan recursos según $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$. Se desea consumir exactamente $r=\begin{pmatrix}5\\20\end{pmatrix}$. Resuelve $Aq=r$ y…
Dos productos utilizan recursos según $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$. Se desea consumir exactamente $r=\begin{pmatrix}5\\20\end{pmatrix}$. Resuelve $Aq=r$ y decide si la solución es económicamente admisible.
Aquí los recursos son los propios productos: para fabricar acero hace falta energía, y para generar energía hace falta acero.
¿Por qué? Todo lo producido se reparte: una parte se consume dentro del sistema ($Ax$) y el resto sale a demanda final ($d$).
Practica★☆☆Sin empezar
Una producción bruta $x$ satisface $x=0,2x+80$: una quinta parte se consume internamente y $80$ unidades se destinan a demanda final. Calcula $x$ y la parte consumida…
Una producción bruta $x$ satisface $x=0,2x+80$: una quinta parte se consume internamente y $80$ unidades se destinan a demanda final. Calcula $x$ y la parte consumida internamente.
El esquema representa el consumo interno y la salida a demanda final.
En un modelo $x=Ax+d$, $x$ y $d$ son vectores columna de producción y demanda final, y $a_{ij}$ es la cantidad del bien $i$ necesaria por unidad producida del bien $j$.…
En un modelo $x=Ax+d$, $x$ y $d$ son vectores columna de producción y demanda final, y $a_{ij}$ es la cantidad del bien $i$ necesaria por unidad producida del bien $j$. Interpreta los cuatro coeficientes de $A=\begin{pmatrix}0,1&0,3\\0,2&0\end{pmatrix}$.
Con $A=\begin{pmatrix}0&0,2\\0,1&0\end{pmatrix}$ y $x=\begin{pmatrix}100\\50\end{pmatrix}$ unidades, calcula el consumo intermedio $Ax$ y la demanda final $d=x-Ax$.
Con $A=\begin{pmatrix}0&0,2\\0,1&0\end{pmatrix}$ y $x=\begin{pmatrix}100\\50\end{pmatrix}$ unidades, calcula el consumo intermedio $Ax$ y la demanda final $d=x-Ax$.
¿Por qué? Con $a\ge1$, producir una unidad consume una unidad o más: el sector no genera excedente.
Practica★★☆Sin empezar
Con el convenio $a_{ij}$ = unidades del bien $i$ por unidad del bien $j$, resuelve $x=Ax+d$ para $A=\begin{pmatrix}0,2&0\\0,1&0,5\end{pmatrix}$ y…
Con el convenio $a_{ij}$ = unidades del bien $i$ por unidad del bien $j$, resuelve $x=Ax+d$ para $A=\begin{pmatrix}0,2&0\\0,1&0,5\end{pmatrix}$ y $d=\begin{pmatrix}40\\30\end{pmatrix}$. Comprueba que la producción satisface tanto los consumos internos como la demanda final.
En un modelo de producción, $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}1,25&0\\0,25&2\end{pmatrix}$. Calcula el incremento de producción necesario si la demanda final aumenta en…
En un modelo de producción, $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}1,25&0\\0,25&2\end{pmatrix}$. Calcula el incremento de producción necesario si la demanda final aumenta en $\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$ unidades. Interpreta por qué puede superar el aumento de demanda.
Una empresa tiene capacidad máxima de $100$ unidades del primer bien y $80$ del segundo. Su modelo satisface $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}1,25&0\\0,25&2\end{pmatrix}$ y…
Una empresa tiene capacidad máxima de $100$ unidades del primer bien y $80$ del segundo. Su modelo satisface $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}1,25&0\\0,25&2\end{pmatrix}$ y demanda final $d=\lambda\begin{pmatrix}40\\20\end{pmatrix}$, con $\lambda\geq0$. Determina el mayor $\lambda$ atendible y qué capacidad se agota primero.
Vuelve al principio: si el pedido sube, hay que producir más que ese aumento porque una parte de la producción se consume dentro del propio sistema; la matriz $(I-A)^{-1}$ cuantifica ese efecto.