Coste, ingreso y beneficio marginal
Una panadería produce 100 kg de pan al día y se plantea hacer 1 kg más. ¿Cuánto le costará ese kilo extra? ¿Cuánto ingresará con él? ¿Le compensa? Responder a estas preguntas con el coste total y el ingreso total es lento. La derivada las responde de forma directa: es el lenguaje de lo "marginal", y es la herramienta que usan los modelos de empresa que verás en Microeconomía.
Coste marginal: el coste de la siguiente unidad
¿Por qué la derivada? El coste de pasar de $q$ a $q+h$ es $C(q+h)-C(q)$. Por kilo adicional, $\dfrac{C(q+h)-C(q)}{h}$, y cuando $h$ es pequeño esa tasa se acerca a $C'(q)$.
El coste total es $C(q)=500+9q+0,1q^2$ euros, con $q\geq0$ kg. Calcula el coste marginal y su valor en $q=20$, indicando unidades.
El coste total es $C(q)=500+9q+0,1q^2$ euros, con $q\geq0$ kg. Calcula el coste marginal y su valor en $q=20$, indicando unidades.
Para $C(q)=80+5q+q^2$, calcula el coste fijo, el coste marginal y su valor en $q=3$.
Para $C(q)=80+5q+q^2$, calcula el coste fijo, el coste marginal y su valor en $q=3$.
El coste total de un servicio es $C(q)=80+20\ln(1+q)$ euros, con $q\geq0$ horas de servicio. Calcula $C'$ y $C''$ y razona si un coste marginal decreciente implica que…
El coste total de un servicio es $C(q)=80+20\ln(1+q)$ euros, con $q\geq0$ horas de servicio. Calcula $C'$ y $C''$ y razona si un coste marginal decreciente implica que el coste total disminuya.
Ingreso marginal y demanda
Si el precio es fijo, $I(q)=pq$ e $I'(q)=p$: el ingreso marginal es el precio. Pero si para vender más hay que bajar el precio, hay una demanda inversa $p(q)$ y $I(q)=q\,p(q)$. Entonces, por la regla del producto,
$$I'(q)=p(q)+q\,p'(q).$$¿Por qué no coincide con el precio? Al vender una unidad más ganas $p(q)$ por ella, pero como $p'(q)<0$ bajas el precio de las $q$ unidades anteriores. Ese segundo término $q\,p'(q)$ es la pérdida.
El ingreso es $I(q)=50q-0,5q^2$ euros para $0\leq q\leq50$ kg. Calcula $I'(10)$ e interpreta el ingreso aproximado por un pequeño aumento de producción desde $10$ kg.
El ingreso es $I(q)=50q-0,5q^2$ euros para $0\leq q\leq50$ kg. Calcula $I'(10)$ e interpreta el ingreso aproximado por un pequeño aumento de producción desde $10$ kg.
La demanda inversa es $p(q)=40-2q$. Escribe el ingreso total y el marginal. ¿Coincide el ingreso marginal con el precio?
La demanda inversa es $p(q)=40-2q$. Escribe el ingreso total y el marginal. ¿Coincide el ingreso marginal con el precio?
Una demanda inversa es $p(q)=40-0,2q$ euros/kg para $0\leq q\leq100$ kg. Calcula el ingreso marginal y compáralo con el precio en $q=50$. Explica por qué no coinciden.
Una demanda inversa es $p(q)=40-0,2q$ euros/kg para $0\leq q\leq100$ kg. Calcula el ingreso marginal y compáralo con el precio en $q=50$. Explica por qué no coinciden.
Aproximar con lo marginal
¿Por qué falla un poco? La derivada es la pendiente de la tangente; la curva se separa de ella al alejarnos. Si $C$ es convexa (marginal creciente), la tangente queda por debajo y la estimación subestima.
Una empresa tiene $C(30)=700\ \text{€}$ y $C'(30)=11$ euros/kg. Estima $C(30,5)$ mediante el coste marginal y explica por qué el resultado es aproximado.
Una empresa tiene $C(30)=700\ \text{€}$ y $C'(30)=11$ euros/kg. Estima $C(30,5)$ mediante el coste marginal y explica por qué el resultado es aproximado.
Para $C(q)=100+4q+0,3q^2$ euros y $q\geq0$ kg, compara $C'(10)$ con $C(11)-C(10)$. Explica la diferencia entre derivada e incremento de una unidad. La figura sirve de…
Para $C(q)=100+4q+0,3q^2$ euros y $q\geq0$ kg, compara $C'(10)$ con $C(11)-C(10)$. Explica la diferencia entre derivada e incremento de una unidad.
La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada. Los ejes muestran intervalos ampliados.
Se conocen $C'(20)=14$ euros/kg y $C''(q)=0,4$ euros/kg al cuadrado en $20\leq q\leq23$. Calcula el incremento exacto de coste para esos $3$ kg usando que $C'$ es…
Se conocen $C'(20)=14$ euros/kg y $C''(q)=0,4$ euros/kg al cuadrado en $20\leq q\leq23$. Calcula el incremento exacto de coste para esos $3$ kg usando que $C'$ es lineal, y compáralo con la estimación marginal en $20$.
Beneficio marginal y óptimo
Si $B'(q)>0$ conviene producir más; si $B'(q)<0$, menos. Esto nos da el criterio de óptimo.
Dados $I(q)=24q$ y $C(q)=90+6q+q^2$, en euros, con $0\leq q\leq20$ kg, calcula el beneficio marginal en $q=4$ e indica si el beneficio aumenta localmente.
Dados $I(q)=24q$ y $C(q)=90+6q+q^2$, en euros, con $0\leq q\leq20$ kg, calcula el beneficio marginal en $q=4$ e indica si el beneficio aumenta localmente.
Una empresa vende a $18\ \text{€}$ por kg y tiene $C(q)=200+6q+0,05q^2$ euros, con $0\leq q\leq200$ kg. Halla dónde se igualan ingreso y coste marginales y decide si es…
Una empresa vende a $18\ \text{€}$ por kg y tiene $C(q)=200+6q+0,05q^2$ euros, con $0\leq q\leq200$ kg. Halla dónde se igualan ingreso y coste marginales y decide si es un máximo global de beneficio.
El ingreso $I(q)=36q-0,2q^2$ y el coste $C(q)=120+4q+0,1q^2$ se miden en euros, con capacidad $0\leq q\leq40$ kg. Calcula el beneficio marginal en la capacidad máxima y…
El ingreso $I(q)=36q-0,2q^2$ y el coste $C(q)=120+4q+0,1q^2$ se miden en euros, con capacidad $0\leq q\leq40$ kg. Calcula el beneficio marginal en la capacidad máxima y encuentra el máximo global. Explica por qué no exige igualdad marginal en este caso.
Coste medio y marginal
¿Por qué? Es como la nota media: si la siguiente nota (marginal) es inferior a tu media, la media baja; si es superior, sube. La demostración es la regla del cociente: $A'=\dfrac{C'q-C\cdot1}{q^2}$, y sacando factor común $q$ en el numerador, $\dfrac{C'-C/q}{q}$.
El coste medio es $C(q)/q$. Calcula coste medio y marginal para $C(q)=120+6q$ en $q=20$ y explica por qué difieren.
El coste medio es $C(q)/q$. Calcula coste medio y marginal para $C(q)=120+6q$ en $q=20$ y explica por qué difieren.
Sea $C(q)=160+5q+0,1q^2$ euros, con $q>0$ kg. Calcula el coste medio $A(q)=C(q)/q$ y determina dónde coincide con el marginal. Relaciona ese punto con el mínimo de $A$.
Sea $C(q)=160+5q+0,1q^2$ euros, con $q>0$ kg. Calcula el coste medio $A(q)=C(q)/q$ y determina dónde coincide con el marginal. Relaciona ese punto con el mínimo de $A$.
Demuestra que la derivada del coste medio $c(q)=C(q)/q$ es $[qC'(q)-C(q)]/q^2$. Deduce cuándo aumenta comparando coste marginal y medio, para $q>0$.
Demuestra que la derivada del coste medio $c(q)=C(q)/q$ es $[qC'(q)-C(q)]/q^2$. Deduce cuándo aumenta comparando coste marginal y medio, para $q>0$.
Cantidades enteras, productividad e impuestos
Vuelve al principio: a la panadería le compensa producir 1 kg más mientras el beneficio marginal sea positivo. Para ver ese límite en casos concretos, hay tres variantes habituales.
Productividad marginal. Si $P(L)$ es la producción con $L$ horas de trabajo, $P'(L)$ es la productividad marginal: kg adicionales por hora extra. Con $P=10\sqrt L$, $P'(L)=\dfrac{5}{\sqrt L}$, y $P'(25)=1$ kg/h. Media hora más da unos $0{,}5$ kg. $P'$ decrece: cada hora extra rinde menos.
Cantidades enteras. Si $q$ solo toma valores enteros, la derivada da candidatos y lo decisivo es el incremento exacto $B(q+1)-B(q)$: conviene subir mientras sea positivo.
Impuestos por unidad. Un impuesto $t$ resta $tq$ al beneficio: $B_t'(q)=B'(q)-t$. Sube el coste marginal efectivo en $t$ y baja la cantidad óptima.
La producción $P(L)=10\sqrt{L}$ se mide en kg por día cuando se emplean $L>0$ horas de trabajo diarias. Calcula la productividad marginal en $L=25$ y estima el…
La producción $P(L)=10\sqrt{L}$ se mide en kg por día cuando se emplean $L>0$ horas de trabajo diarias. Calcula la productividad marginal en $L=25$ y estima el incremento productivo por añadir media hora.
La producción $q$ de un artículo es un entero entre $0$ y $30$. Su beneficio es $B(q)=31q-q^2-100$ euros. Usa la derivada para localizar candidatos y el incremento…
La producción $q$ de un artículo es un entero entre $0$ y $30$. Su beneficio es $B(q)=31q-q^2-100$ euros. Usa la derivada para localizar candidatos y el incremento exacto $B(q+1)-B(q)$ para determinar todos los óptimos enteros.
Un impuesto hipotético de $t\ \text{€}$ por unidad modifica $B(q)=-q^2+30q-50$ en $B_t(q)=B(q)-tq$, con $q\geq0$. Obtén el beneficio marginal y la cantidad óptima para…
Un impuesto hipotético de $t\ \text{€}$ por unidad modifica $B(q)=-q^2+30q-50$ en $B_t(q)=B(q)-tq$, con $q\geq0$. Obtén el beneficio marginal y la cantidad óptima para $0\leq t\leq30$.