Cálculo diferencial y aplicaciones · Aplicaciones del cálculo diferencial
Optimización de una variable
Tienes 40 m de valla y quieres cercar el mayor recinto rectangular posible. O diriges un taller y quieres saber cuántos kilos producir para ganar lo máximo. Ambas preguntas son la misma: entre todos los valores admisibles de una variable, ¿cuál hace máxima (o mínima) una función? Aprenderás un método fijo para responderla y, sobre todo, para asegurar que la respuesta es la mejor de todas y no solo un punto con tangente horizontal.
Planteamiento: función objetivo y dominio
La mayoría de los errores nacen aquí, antes de derivar. Si hay dos variables ligadas por una restricción, se usa la restricción para eliminar una. El dominio sale del contexto, no de la fórmula: un precio no es negativo y un lado de un recinto no es cero.
Practica★☆☆Sin empezar
Un rectángulo tiene perímetro $24\ \text{m}$. Expresa su área en función de un lado y halla el área máxima.
Un rectángulo tiene perímetro $24\ \text{m}$. Expresa su área en función de un lado y halla el área máxima.
Se dispone de $40$ m de vallado para los cuatro lados de un recinto rectangular. Expresa el área en función de un lado y halla sus dimensiones máximas, justificando el…
Se dispone de $40$ m de vallado para los cuatro lados de un recinto rectangular. Expresa el área en función de un lado y halla sus dimensiones máximas, justificando el resultado global.
La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada.
La comparación de valores es lo que convierte un candidato en un óptimo global. No hace falta estudiar el signo de la segunda derivada.
Practica★☆☆Sin empezar
Un taller tiene beneficio $B(q)=-2q^2+24q-40$ euros para una producción continua $0\leq q\leq10$ kg. Determina el máximo global comparando el candidato interior con…
Un taller tiene beneficio $B(q)=-2q^2+24q-40$ euros para una producción continua $0\leq q\leq10$ kg. Determina el máximo global comparando el candidato interior con ambas fronteras.
Un producto tiene demanda $q(p)=90-3p$ unidades semanales para $0\leq p\leq30$, con $p$ en euros por unidad. Cada unidad cuesta $6\ \text{€}$ y hay un coste fijo semanal…
Un producto tiene demanda $q(p)=90-3p$ unidades semanales para $0\leq p\leq30$, con $p$ en euros por unidad. Cada unidad cuesta $6\ \text{€}$ y hay un coste fijo semanal de $120\ \text{€}$. Maximiza el beneficio en función de $p$, comprobando fronteras.
Dominios abiertos, cajas y funciones no polinómicas
Cuando el dominio no es un intervalo cerrado, como $q>0$, no hay una frontera que evaluar y Weierstrass no sirve. Se estudia el comportamiento de $f$ cerca de los extremos del dominio con límites, y se usa el signo de $f'$ para ver dónde crece y dónde decrece.
Practica★★☆Sin empezar
El coste medio de un proceso es $A(q)=q+400/q$ euros/kg, con producción continua $q>0$ kg. Halla su mínimo global y justifica el comportamiento en ambas fronteras del…
El coste medio de un proceso es $A(q)=q+400/q$ euros/kg, con producción continua $q>0$ kg. Halla su mínimo global y justifica el comportamiento en ambas fronteras del dominio.
Una caja sin tapa se obtiene recortando cuadrados de lado $x$ cm en las esquinas de una lámina cuadrada de $30$ cm de lado y plegando. Formula el volumen, fija el…
Una caja sin tapa se obtiene recortando cuadrados de lado $x$ cm en las esquinas de una lámina cuadrada de $30$ cm de lado y plegando. Formula el volumen, fija el dominio físico y halla su máximo global.
Para $0\leq t\leq12$ meses, el rendimiento de una campaña es $R(t)=t e^{-t/3}$ puntos de índice. Determina su máximo global e interpreta por qué seguir prolongando la…
Para $0\leq t\leq12$ meses, el rendimiento de una campaña es $R(t)=t e^{-t/3}$ puntos de índice. Determina su máximo global e interpreta por qué seguir prolongando la campaña puede reducir el índice.
Una función puede tener varios puntos críticos. Todos son candidatos y la comparación de valores decide cuál es el global.
Variable entera
Si solo se admiten enteros, la derivada da el óptimo continuo. Como la función es continua, el óptimo entero está entre los enteros más próximos, y hay que comparar ambos.
Dependencia de un parámetro
Si el enunciado trae una constante ($K$, $k$, $F$), el óptimo depende de ella y hay que separar casos según dónde caiga el candidato interior respecto al dominio.
Practica★★☆Sin empezar
Una empresa solo puede vender cantidades enteras de un artículo. Su beneficio es $B(q)=-2q^2+18q-25$, con $q\geq0$. Halla todas las cantidades óptimas.
Una empresa solo puede vender cantidades enteras de un artículo. Su beneficio es $B(q)=-2q^2+18q-25$, con $q\geq0$. Halla todas las cantidades óptimas.
Una fábrica continua vende $q$ kg con ingreso $I(q)=80q-q^2$ euros. Su coste es $C(q)=200+20q$ euros y su capacidad $K>0$ kg. Para $0\leq q\leq\min(K,80)$, expresa la…
Una fábrica continua vende $q$ kg con ingreso $I(q)=80q-q^2$ euros. Su coste es $C(q)=200+20q$ euros y su capacidad $K>0$ kg. Para $0\leq q\leq\min(K,80)$, expresa la producción que maximiza el beneficio en función de $K$, justificando fronteras y candidato interior.
Para $0\leq x\leq5$, un índice de beneficio es $B(x)=x^3-6x^2+9x+2$. Localiza todos los candidatos y determina los máximos y mínimos globales; muestra por qué un máximo…
Para $0\leq x\leq5$, un índice de beneficio es $B(x)=x^3-6x^2+9x+2$. Localiza todos los candidatos y determina los máximos y mínimos globales; muestra por qué un máximo local puede no ser global.