Derivadas sucesivas y aproximación lineal
Una empresa conoce su coste para 40 kg de producción y quiere saber cuánto costará producir 42 kg sin recalcular toda la función. Basta con la derivada: la recta tangente da una estimación rápida. Pero, ¿te pasas o te quedas corto? ¿Y cuánto te puedes equivocar? Para responder necesitas derivar una segunda vez.
Derivadas sucesivas
La primera derivada mide cómo cambia $f$; la segunda mide cómo cambia esa tasa de cambio. Si el coste sube 3 € por kg y esa subida a su vez crece, el coste se acelera.
Calcula las derivadas segunda y tercera de $f(x)=5x^2-7x+1$.
Calcula las derivadas segunda y tercera de $f(x)=5x^2-7x+1$.
Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de $f(x)=2x^4-5x^2+3$.
Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de $f(x)=2x^4-5x^2+3$.
Calcula $f^{(3)}(x)$ para $f(x)=\ln x$, con $x>0$, y propón una fórmula para $f^{(n)}(x)$, $n\geq1$.
Calcula $f^{(3)}(x)$ para $f(x)=\ln x$, con $x>0$, y propón una fórmula para $f^{(n)}(x)$, $n\geq1$.
Qué dice la segunda derivada
En el interactivo, la curva cúbica cambia de curvatura donde la tercera gráfica (la de $f''$) corta el eje.
Para $f(x)=e^{-3x}$, calcula $f''(x)$ y explica el signo de esta derivada.
Para $f(x)=e^{-3x}$, calcula $f''(x)$ y explica el signo de esta derivada.
Una producción cumple $P(t)=100+20t-2t^2$. Calcula $P'(3)$ y $P''(3)$ e interpreta ambos si $t$ se mide en días y $P$ en unidades.
Una producción cumple $P(t)=100+20t-2t^2$. Calcula $P'(3)$ y $P''(3)$ e interpreta ambos si $t$ se mide en días y $P$ en unidades.
Para $f(x)=x^3-6x^2+9x$, encuentra los ceros de $f'$ y de $f''$. Explica por qué responden a preguntas distintas.
Para $f(x)=x^3-6x^2+9x$, encuentra los ceros de $f'$ y de $f''$. Explica por qué responden a preguntas distintas.
Aproximación lineal
Cerca de un punto, una curva derivable se parece mucho a su tangente. Es la idea de «ampliar con lupa» hasta que la curva parece una recta.
Aproxima $\sqrt{4,04}$ usando la tangente a $\sqrt{x}$ en $x=4$.
Aproxima $\sqrt{4,04}$ usando la tangente a $\sqrt{x}$ en $x=4$.
Se conoce $f(10)=40$ y $f'(10)=3$. Estima $f(10,2)$ mediante aproximación lineal.
Se conoce $f(10)=40$ y $f'(10)=3$. Estima $f(10,2)$ mediante aproximación lineal.
Aproxima $1/2,02$ mediante la función $f(x)=1/x$ en $x=2$.
Aproxima $1/2,02$ mediante la función $f(x)=1/x$ en $x=2$.
Sentido del error: ¿por encima o por debajo?
Usa la linealización de $e^x$ en $0$ para estimar $e^{0,03}$. Decide si la estimación queda por encima o por debajo del valor exacto usando $f''$.
Usa la linealización de $e^x$ en $0$ para estimar $e^{0,03}$. Decide si la estimación queda por encima o por debajo del valor exacto usando $f''$.
Aproxima $\ln(1,03)$ linealizando en $x=1$. Justifica si la aproximación queda por encima o por debajo usando la segunda derivada.
Aproxima $\ln(1,03)$ linealizando en $x=1$. Justifica si la aproximación queda por encima o por debajo usando la segunda derivada.
Aproxima $e^{-0,04}$ mediante la tangente en cero y decide si sobrestima o subestima el valor real.
Aproxima $e^{-0,04}$ mediante la tangente en cero y decide si sobrestima o subestima el valor real.
Acotar el error y aplicaciones económicas
El coste $C(q)=300+8q+0,02q^2$ se mide en euros y $q$ en kg, con $q\geq0$. Estima mediante la tangente el incremento al pasar de $50$ a $51,5$ kg, calcula el incremento…
El coste $C(q)=300+8q+0,02q^2$ se mide en euros y $q$ en kg, con $q\geq0$. Estima mediante la tangente el incremento al pasar de $50$ a $51,5$ kg, calcula el incremento exacto y el error absoluto.
Una función de coste, en euros, satisface $C(40)=900$, $C'(40)=12$ euros/kg y $|C''(q)|\leq0,5$ euros/kg al cuadrado para $40\leq q\leq42$. Usa…
Una función de coste, en euros, satisface $C(40)=900$, $C'(40)=12$ euros/kg y $|C''(q)|\leq0,5$ euros/kg al cuadrado para $40\leq q\leq42$. Usa $C(40+h)\approx C(40)+C'(40)h$ y la cota $|R|\leq Mh^2/2$ para estimar $C(42)$ y dar un intervalo garantizado.
Para $f(x)=x^2$, compara la aproximación lineal en $x=3$ con el valor exacto en $x=3+h$. Determina el mayor $|h|$ para un error como máximo $0,01$.
Para $f(x)=x^2$, compara la aproximación lineal en $x=3$ con el valor exacto en $x=3+h$. Determina el mayor $|h|$ para un error como máximo $0,01$.
Vuelve al principio: con $C(40)=900$ y $C'(40)=12$, producir 42 kg cuesta unos $924$ €, y la segunda derivada garantiza que el error no pasa de $1$ €.