Una empresa tiene un coste fijo de 240 € y un coste de 8 € por unidad. Cuantas más unidades produce, menor es el coste medio por unidad, pero nunca llega a ser exactamente 8 €. ¿Hacia qué valor tiende, y por qué no lo alcanza? Las asíntotas responden a esa pregunta: describen qué hace una función cerca de un punto problemático o muy lejos del origen.
Asíntotas verticales
Candidatos habituales: los valores que anulan el denominador de una fracción. Solo son asíntotas si, tras comprobarlo, el numerador no se anula también (o no se cancela del todo).
Para saber desde qué lado se acerca la gráfica, estudia el signo de $f(x)-L$. En $f(x)=2+\frac3x$ con $x>0$, la diferencia $\frac3x>0$: se acerca por arriba y nunca toca $y=2$.
Practica★☆☆Sin empezar
Halla la asíntota horizontal de $f(x)=3+\frac2x$ cuando $x\to+\infty$.
Halla la asíntota horizontal de $f(x)=3+\frac2x$ cuando $x\to+\infty$.
Cuando un factor se cancela entre numerador y denominador, el punto queda fuera del dominio, pero no hay asíntota vertical: hay un hueco (discontinuidad evitable).
Practica★★☆Sin empezar
Decide si $x=2$ es asíntota vertical de $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$. Justifica con el límite.
Decide si $x=2$ es asíntota vertical de $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$. Justifica con el límite.
Las asíntotas horizontales dicen a qué valor tiende una magnitud a largo plazo; la vertical, si cae fuera del rango del modelo, se ignora.
Practica★☆☆Sin empezar
Un coste medio es $A(q)=8+\frac{240}{q}$ para $q>0$. Identifica su asíntota horizontal y explica si el coste medio puede igualar ese valor para producción finita.
Un coste medio es $A(q)=8+\frac{240}{q}$ para $q>0$. Identifica su asíntota horizontal y explica si el coste medio puede igualar ese valor para producción finita.
Una población de usuarios sigue $N(t)=\frac{12000}{1+5e^{-0,3t}}$, con $t\geq0$. Halla $N(0)$ y el límite cuando $t\to+\infty$. Interpreta la asíntota.
Una población de usuarios sigue $N(t)=\frac{12000}{1+5e^{-0,3t}}$, con $t\geq0$. Halla $N(0)$ y el límite cuando $t\to+\infty$. Interpreta la asíntota.
Un coste medio es $A(q)=12+\frac{360}{q+3}$ para $q\geq0$. Calcula su límite y determina las cantidades enteras para las que se encuentra a menos de $0,50\ \text{€}$ de…
Un coste medio es $A(q)=12+\frac{360}{q+3}$ para $q\geq0$. Calcula su límite y determina las cantidades enteras para las que se encuentra a menos de $0,50\ \text{€}$ de dicho límite. Explica por qué la asíntota vertical de la extensión algebraica no tiene interpretación productiva.
Vuelve al principio: el coste medio $8+\frac{240}{q}$ tiende a $8$ € (asíntota horizontal) pero siempre queda por encima, porque el coste fijo nunca se diluye del todo.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado