Una academia paga 840 € al mes de alquiler y 18 € más por cada alumno matriculado, y cobra 46 € por matrícula. ¿Cuántos alumnos necesita para no perder dinero? ¿Y qué pasa en un mercado si el precio se fija por debajo del que equilibra oferta y demanda? Las dos preguntas se resuelven con el mismo instrumento: rectas que se cortan.
La recta como modelo: pendiente y ordenada
Una función afín tiene la forma $f(x)=mx+b$. Se usa cuando una magnitud cambia a ritmo constante: cada unidad extra añade (o quita) siempre lo mismo.
Practica★☆☆Sin empezar
Un servicio cobra una cuota fija de $18\ \text{€}$ y $4\ \text{€}$ por hora de uso. Escribe su coste $C(h)$ y calcula el coste de $7$ horas.
Un servicio cobra una cuota fija de $18\ \text{€}$ y $4\ \text{€}$ por hora de uso. Escribe su coste $C(h)$ y calcula el coste de $7$ horas.
Una recta de demanda pasa por $(q,p)=(0,40)$ y $(100,20)$. El precio $p$ se mide en euros por kg y $q$ en kg. Obtén $p(q)$ e interpreta su pendiente con unidades.
Una recta de demanda pasa por $(q,p)=(0,40)$ y $(100,20)$. El precio $p$ se mide en euros por kg y $q$ en kg. Obtén $p(q)$ e interpreta su pendiente con unidades.
Una empresa observa costes de $680\ \text{€}$ para $40$ unidades y $1040\ \text{€}$ para $70$. Suponiendo un modelo afín, identifica coste fijo y coste variable…
Una empresa observa costes de $680\ \text{€}$ para $40$ unidades y $1040\ \text{€}$ para $70$. Suponiendo un modelo afín, identifica coste fijo y coste variable unitario. Predice $C(100)$.
En la práctica, los datos llegan como dos observaciones o como un enunciado verbal. Hay que traducirlos a $y=mx+b$ y, además, saber cuándo dos modelos son paralelos o se cruzan.
Mueve $a$ y $b$: $a$ inclina la recta; $b$ la desplaza hacia arriba o abajo sin cambiar la inclinación.
Practica★☆☆Sin empezar
Una recta pasa por $(0,6)$ y $(3,0)$. Obtén su ecuación y pendiente.
Una recta pasa por $(0,6)$ y $(3,0)$. Obtén su ecuación y pendiente.
La demanda $q_D(p)$ indica cuánto quieren comprar los consumidores a cada precio; baja al subir $p$. La oferta $q_O(p)$ indica cuánto quieren vender los productores; sube con $p$. El equilibrio es el precio en el que ambas cantidades coinciden.
Practica★☆☆Sin empezar
La demanda es $q_D(p)=90-3p$ y la oferta $q_O(p)=10+p$, con cantidades divisibles. La figura representa los datos del enunciado. Calcula el precio y la cantidad de…
La demanda es $q_D(p)=90-3p$ y la oferta $q_O(p)=10+p$, con cantidades divisibles.
En un mercado $q_D=180-4p$ y $q_O=20+4p$. A precio impuesto $p=15$, calcula las cantidades y determina si existe exceso de demanda o de oferta y su magnitud.
En un mercado $q_D=180-4p$ y $q_O=20+4p$. A precio impuesto $p=15$, calcula las cantidades y determina si existe exceso de demanda o de oferta y su magnitud.
La demanda es $q_D=100-2p$ y la oferta $q_O=4p-20$. Un límite de precio impone $p=15$. Calcula el equilibrio libre y el exceso correspondiente al límite.
La demanda es $q_D=100-2p$ y la oferta $q_O=4p-20$. Un límite de precio impone $p=15$. Calcula el equilibrio libre y el exceso correspondiente al límite.
Una campaña de publicidad, una moda o una ayuda pública cambian las rectas. Distinguir entre moverse a lo largo de una curva y desplazar la curva es clave.
Las dos primeras son demandas (antes y después de la campaña) y la tercera es la oferta: el corte se desplaza hacia arriba y a la derecha.
Practica★★☆Sin empezar
En un mercado $q_D=200-5p$ y $q_O=20+4p$. Una campaña desplaza la demanda a $q_D=245-5p$. Calcula los equilibrios anterior y posterior y separa el cambio de precio del…
En un mercado $q_D=200-5p$ y $q_O=20+4p$. Una campaña desplaza la demanda a $q_D=245-5p$. Calcula los equilibrios anterior y posterior y separa el cambio de precio del de cantidad.
La demanda es $q_D=160-4p_c$ y la oferta $q_O=20+3p_v$. Un gravamen ficticio de $7\ \text{€}$ por unidad cumple $p_c=p_v+7$. Calcula precio pagado, precio recibido,…
La demanda es $q_D=160-4p_c$ y la oferta $q_O=20+3p_v$. Un gravamen ficticio de $7\ \text{€}$ por unidad cumple $p_c=p_v+7$. Calcula precio pagado, precio recibido, cantidad e ingreso del gravamen. Compara ambos precios con el equilibrio sin gravamen.
Un comercio estima demanda afín: a $12\ \text{€}$ vende $180$ kg; al subir a $15\ \text{€}$ vende $150$ kg. La oferta es $q_O=30+5p$. Construye la demanda, halla el…
Un comercio estima demanda afín: a $12\ \text{€}$ vende $180$ kg; al subir a $15\ \text{€}$ vende $150$ kg. La oferta es $q_O=30+5p$. Construye la demanda, halla el equilibrio y explica por qué su prolongación a precios arbitrariamente altos deja de ser económicamente válida.
El beneficio es ingreso menos coste. Con precio $P$ por unidad, ingreso $R(q)=Pq$ y coste $C(q)=F+vq$ (fijo $F$, variable unitario $v$), el beneficio es $B(q)=(P-v)q-F$. El umbral de rentabilidad es donde $B=0$.
Practica★☆☆Sin empezar
El coste es $C(q)=300+6q$ y el ingreso $R(q)=11q$, en euros. Calcula el punto de equilibrio y el beneficio para $q=80$.
El coste es $C(q)=300+6q$ y el ingreso $R(q)=11q$, en euros. Calcula el punto de equilibrio y el beneficio para $q=80$.
Dos planes cuestan $A(h)=25+2h$ y $B(h)=10+3,5h$, para horas divisibles $h\geq0$. Determina en qué intervalo conviene cada plan y el coste cuando empatan.
Dos planes cuestan $A(h)=25+2h$ y $B(h)=10+3,5h$, para horas divisibles $h\geq0$. Determina en qué intervalo conviene cada plan y el coste cuando empatan.
Una academia tiene coste mensual $C(n)=840+18n$ y cobra $46\ \text{€}$ por matrícula. Las matrículas son enteras y hay $50$ plazas. ¿Cuál es el número mínimo para…
Una academia tiene coste mensual $C(n)=840+18n$ y cobra $46\ \text{€}$ por matrícula. Las matrículas son enteras y hay $50$ plazas. ¿Cuál es el número mínimo para obtener beneficio estrictamente positivo? ¿Es viable?
Vuelve al principio: la academia necesita 31 matrículas para ganar dinero, y un precio fijado por debajo del equilibrio provoca exceso de demanda porque a ese precio los compradores quieren más de lo que los vendedores ofrecen.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado