Nivelación · Matemáticas para ADE y Economía
Números y álgebra instrumental · Números
Intervalos y valor absoluto
Intervalos: describir conjuntos de reales Operaciones con intervalos Valor absoluto como distancia Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Tolerancias, errores y condiciones combinadas Dos valores absolutos: distancias y tramos Resumen
Una empresa acepta un lote si la masa de cada pieza está "a menos de 0,4 g de los 50 g nominales". Un modelo de demanda solo vale "para precios entre 2 y 10 euros". Ambas frases describen conjuntos de números reales, y en economía y empresa aparecen constantemente. Necesitas dos herramientas: los intervalos, para escribir esos conjuntos con precisión, y el valor absoluto, para expresar distancias y tolerancias. Al final del apartado volverás a la pieza de 50 g y la escribirás de las dos formas.
Intervalos: describir conjuntos de reales
Dados $aintervalo es el conjunto de todos los reales comprendidos entre $a$ y $b$. Según incluya o no los extremos:
$$[a,b]=\{x: a\le x\le b\} \quad (a,b)=\{x: a
Los intervalos no acotados usan $\infty$: $(a,+\infty)=\{x:x>a\}$, $(-\infty,b]=\{x:x\le b\}$, $(-\infty,+\infty)=\mathbb R$. Corchete significa "el extremo entra"; paréntesis, "el extremo se queda fuera". En la recta se dibuja con punto relleno (incluido) o vacío (excluido).
Recta real con el intervalo [-2, 5) marcado: punto relleno en -2 y punto vacío en 5.
-2
5
[-2, 5) equivale a -2 ≤ x < 5
incluido
excluido
$+\infty$ y $-\infty$ no son números reales, así que nunca pertenecen al conjunto: se escribe $[3,+\infty)$, nunca $[3,+\infty]$.
★☆☆ Sin empezar
Expresa mediante un intervalo los valores reales que cumplen $-2\le x<5$. Indica si los extremos pertenecen al conjunto. Expresa mediante un intervalo los valores reales que cumplen $-2\le x<5$. Indica si los extremos pertenecen al conjunto.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Escribe como intervalo $x>3$ e indica si contiene a $3$. Escribe como intervalo $x>3$ e indica si contiene a $3$.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
¿Pertenecen $-2$, $0$ y $4$ al intervalo $[-2,4)$? Justifica cada extremo. ¿Pertenecen $-2$, $0$ y $4$ al intervalo $[-2,4)$? Justifica cada extremo.
Resolver
Operaciones con intervalos
Como los intervalos son conjuntos, se operan como conjuntos: intersección $A\cap B$ (lo común), unión $A\cup B$ (lo que está en alguno), diferencia $A\setminus B$ (lo de $A$ que no está en $B$) y complemento $A^c=\mathbb R\setminus A$.
Dos intervalos sobre la recta, A=(-3,4] y B=[1,7), y su intersección [1,4] resaltada.
A = (-3, 4]
B = [1, 7)
A ∩ B = [1, 4]
Calcula $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.
Intersección: desde el mayor de los extremos izquierdos ($1$, que está en $B$) hasta el menor de los derechos ($4$, que está en $A$). Ambos extremos entran en los dos conjuntos: $A\cap B=[1,4]$.
Unión: se solapan, así que forman un solo intervalo de $-3$ (excluido) a $7$ (excluido): $A\cup B=(-3,7)$.
Diferencia: quita de $A$ lo que está en $B$, es decir $[1,4]$. Queda $A\setminus B=(-3,1)$; el $1$ sale porque está en $B$.
Siguiente paso (1/4)
$[-4,1]\cap[2,5]=\varnothing$ porque entre $1$ y $2$ hay un hueco: no es "$[2,1]$". Y $[-4,1]\cup[2,5]$ no se puede escribir como un único intervalo; se deja como unión.
El complemento de un intervalo acotado son dos semirrectas, y los extremos cambian de tipo: $[a,b]^c=(-\infty,a)\cup(b,+\infty)$ y $(a,b]^c=(-\infty,a]\cup(b,+\infty)$.
¿Por qué? Si un extremo está dentro del conjunto, no puede estar en su complemento, y al revés.
Para $A=(-1,3]$, ¿pertenece $-1$ a $A^c$? ¿Y $3$?
Ver respuesta $-1\in A^c$ (no estaba en $A$) y $3\notin A^c$ (estaba en $A$). Por eso $A^c=(-\infty,-1]\cup(3,+\infty)$.
★☆☆ Sin empezar
Halla $[-4,1]\cap[2,5]$ y explica el resultado. Halla $[-4,1]\cap[2,5]$ y explica el resultado.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Sean $A=(-3,4]$ y $B=[1,7)$. Halla $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$. Sean $A=(-3,4]$ y $B=[1,7)$. Halla $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Halla el complemento de $(-1,3]$ en $\mathbb R$. Halla el complemento de $(-1,3]$ en $\mathbb R$.
Resolver
Valor absoluto como distancia
$$|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\ge 0\\ -x & \text{si } x<0\end{cases}$$
Geométricamente, $|x|$ es la distancia de $x$ al origen, y $|a-b|$ es la distancia entre $a$ y $b$ sobre la recta.
El valor absoluto nunca es negativo: $|{-7}|=7$. Y la distancia entre $-1$ y $4$ es $|4-(-1)|=5$, el mismo número en cualquier orden, porque $|a-b|=|b-a|$.
Recta con los puntos A en -1 y B en 4, mostrando que su distancia es 5 y que están a 1 y 4 unidades del origen.
A (-1)
B (4)
0
|4 − (−1)| = 5
★☆☆ Sin empezar
Calcula $|-7|$, $|3-8|$ y $-|4|$. Calcula $|-7|$, $|3-8|$ y $-|4|$.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Dos referencias A y B están en $-1$ y $4$ sobre una recta. Calcula su distancia y la distancia de cada una al origen. Los datos del enunciado se muestran en el siguiente… Dos referencias A y B están en $-1$ y $4$ sobre una recta. Calcula su distancia y la distancia de cada una al origen.
Los datos del enunciado se muestran en el siguiente esquema.
−4
−2
0
2
4
6
A
B
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Expresa mediante valor absoluto la distancia entre $x$ y $-5$. Expresa mediante valor absoluto la distancia entre $x$ y $-5$.
Resolver
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Si lees $|x-c|$ como "distancia de $x$ a $c$", resolver se vuelve mirar la recta.
$|x-c|=r \iff x=c-r \ \text{ó}\ x=c+r$.
$|x-c|\le r \iff c-r\le x\le c+r$, es decir, $x\in[c-r,c+r]$.
$|x-c|>r \iff xc+r$, es decir, $x\in(-\infty,c-r)\cup(c+r,+\infty)$.
¿Por qué? Los puntos a distancia $\le r$ de $c$ forman un tramo centrado en $c$; los de distancia $>r$ quedan fuera, a ambos lados. Con $<$ y $>$ los extremos no entran.
Recta con centro en 6 y radio 2: las soluciones de |x-6|=2 son 4 y 8, y el intervalo (4,8) cumple |x-6|<2.
4
6
8
radio 2 a cada lado del centro
|x − 6| = 2 en los extremos
Expresa la respuesta como intervalo.
Se aplica la forma básica: $-6<2x-4<6$.
Se suma $4$ a los tres miembros: $-2<2x<10$.
Divide entre $2$ (positivo, no cambian los sentidos): $-1
Siguiente paso (1/4)
Si en $-2x\le 6$ divides entre $-2$, la desigualdad se invierte: $x\ge-3$. Y no escribas $|x|<-3$ esperando soluciones: un valor absoluto nunca es menor que un número negativo, así que el conjunto es vacío.
Una compañera resuelve $|x-1|>3$ y responde $-2Ver respuesta Ha resuelto $|x-1|<3$. Con "$>$" se quieren los puntos lejanos al $1$: $x<-2$ ó $x>4$, es decir, $(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$. Comprobación: $x=0$ da $|{-1}|=1$, que no es mayor que $3$.
★☆☆ Sin empezar
Escribe el conjunto de reales situados como máximo a $3$ unidades del origen. Escribe el conjunto de reales situados como máximo a $3$ unidades del origen.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Resuelve $|x-6|=2$ e interpreta geométricamente las soluciones. Resuelve $|x-6|=2$ e interpreta geométricamente las soluciones.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Resuelve $|2x-4|<6$ y expresa la respuesta como intervalo. Resuelve $|2x-4|<6$ y expresa la respuesta como intervalo.
Resolver
Tolerancias, errores y condiciones combinadas
Un error absoluto es $|\text{valor aproximado}-\text{valor real}|$, y "tolerancia" o "margen" equivale a una desigualdad $|x-c|\le r$. Cuando hay varias condiciones, se resuelve cada una como intervalo o unión y se combinan con $\cap$ (se cumplen a la vez) o $\cup$ (basta una).
Una estimación $x$ cumple $|x-20|\le3$ y $|x-25|>4$. Halla el conjunto factible.
Segunda: $x<21$ ó $x>29$, es decir, $(-\infty,21)\cup(29,+\infty)$.
Intersecta: de $[17,23]$ quedan los $x<21$ (la parte $>29$ no corta). Resultado: $[17,21)$.
Siguiente paso (1/4) Cuando aparecen dos valores absolutos, la clave es separar por tramos, donde cada expresión interior tiene signo fijo.
Recta dividida en tres tramos por los puntos -2 y 1, donde cambian de signo x+2 y x-1.
-2
1
x < -2
-2 ≤ x < 1
x ≥ 1
puntos de corte: donde se anula cada valor absoluto
Con $|x|\le r$ con $r=0$ solo cabe $x=0$; y $[-k,k]\cap(3,7)=\varnothing$ exige $k\le3$, porque con $k=3$ el $3$ está en $[-k,k]$ pero no en $(3,7)$: el caso límite se incluye. Revisa siempre si el extremo entra o no.
Un aparato redondea a $10$ todos los valores de $[9{,}5;\,10{,}5)$. ¿Cuál es el mayor error absoluto posible?
Ver respuesta El error es $|x-10|$. Vale $0{,}5$ en $x=9{,}5$ (incluido), así que se alcanza: el máximo es $0{,}5$. Por el otro lado, $10{,}5$ está excluido: los errores se acercan a $0{,}5$ pero no llegan. Aquí el valor $0{,}5$ es máximo gracias al extremo izquierdo.
★★☆ Sin empezar
La desviación admisible de una masa respecto a $50$ g es como máximo $0,4$ g. Escribe la condición con valor absoluto y como intervalo. La desviación admisible de una masa respecto a $50$ g es como máximo $0,4$ g. Escribe la condición con valor absoluto y como intervalo.
Resolver
★★★ Sin empezar
Expresa sin valor absoluto $|x+2|-|x-1|$ en cada intervalo donde cambie su fórmula. Expresa sin valor absoluto $|x+2|-|x-1|$ en cada intervalo donde cambie su fórmula.
Resolver
★★★ Sin empezar
Una estimación $x$ cumple $|x-20|\le3$ y $|x-25|>4$. Determina el conjunto factible. Una estimación $x$ cumple $|x-20|\le3$ y $|x-25|>4$. Determina el conjunto factible.
Resolver
Dos valores absolutos: distancias y tramos
Con $|x-a|+|x-b|$ o $|x-a|\le|x-b|$ hay dos métodos: distancias (geometría de la recta) y tramos (casos por signo). El de distancias suele ser más rápido.
Para $a
¿Por qué? Dentro de $[a,b]$, la distancia a $a$ más la distancia a $b$ recorre justo el segmento. Fuera, hay que sumar un trozo de ida y vuelta.
Recta con los puntos 2 y 8 y las soluciones 0 y 10 de |x-2|+|x-8|=10, ambas fuera del segmento entre 2 y 8.
0
2
8
10
dentro: la suma vale 6
fuera: la suma crece; vale 10 en 0 y en 10
Distancia entre $2$ y $8$: $6$. Dentro del tramo $[2,8]$ la suma vale $6\ne10$, no hay solución allí.
Fuera, con $x>8$: $(x-2)+(x-8)=10\Rightarrow 2x=20\Rightarrow x=10$. Con $x<2$: $(2-x)+(8-x)=10\Rightarrow x=0$.
Comprueba: $|0-2|+|0-8|=10$ y $|10-2|+|10-8|=10$. Soluciones: $x=0$ y $x=10$.
Siguiente paso (1/4)
Lee: $x$ está a distancia de $3$ no mayor que a distancia de $-1$. Es decir, $x$ está más cerca de $3$ que de $-1$.
El punto equidistante es el punto medio, $\frac{3+(-1)}{2}=1$. Los más cercanos a $3$ son los $x\ge1$.
Comprueba con cuadrados: $(x-3)^2\le(x+1)^2\Rightarrow -6x+9\le2x+1\Rightarrow x\ge1$. Respuesta: $[1,+\infty)$.
Siguiente paso (1/4)
Elevar al cuadrado ambos lados de una desigualdad entre valores absolutos es válido porque ambos son no negativos. Pero $|x|+|x-4|<6$ no se resuelve "quitando" barras sin separar tramos: la expresión cambia de fórmula en $0$ y en $4$.
★★★ Sin empezar
Determina todos los reales $x$ para los que $|x-2|+|x-8|=10$. Justifica mediante distancias o separación por tramos. Determina todos los reales $x$ para los que $|x-2|+|x-8|=10$. Justifica mediante distancias o separación por tramos.
Resolver
★★★ Sin empezar
Resuelve $|x-3|\le|x+1|$ usando distancias o cuadrados. Resuelve $|x-3|\le|x+1|$ usando distancias o cuadrados.
Resolver
★★★ Sin empezar
Halla el conjunto de $x$ para el que $|x|+|x-4|<6$. Halla el conjunto de $x$ para el que $|x|+|x-4|<6$.
Resolver
Vuelve al principio: la pieza de 50 g con tolerancia de $0{,}4$ g es $|m-50|\le0{,}4$, es decir $m\in[49{,}6;\,50{,}4]$. Un modelo "válido entre 2 y 10 euros" es el intervalo $[2,10]$, o $|p-6|\le4$ si lo ves como "centro 6, radio 4".
Resumen
Un intervalo describe un conjunto de reales; corchete = extremo incluido, paréntesis = excluido, e infinito siempre con paréntesis.
Los intervalos se operan como conjuntos: $\cap$, $\cup$, $\setminus$ y complemento; los extremos cambian de tipo en el complemento.
$|x|$ es la distancia al origen y $|a-b|$ la distancia entre $a$ y $b$; $|a-b|\ne|a|-|b|$, pero $|a-b|\le|a|+|b|$.
$|x-c|\le r$ equivale a $[c-r,c+r]$; $|x-c|>r$ equivale a la unión de dos semirrectas; $|x-c|=r$ da dos puntos.
Con varias condiciones, resuelve cada una e intersecta; con dos valores absolutos, usa distancias o separa por tramos.
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