Una empresa conoce cuánto le cuesta fabricar la unidad número $q$, pero no el coste de producir 500 unidades. Un mercado dice cuánto está dispuesto a pagar cada comprador, pero no cuánto «ahorra» respecto al precio real. En ambos casos conoces una tasa y quieres un total. Este apartado responde a la pregunta: ¿cómo se pasa de lo marginal a lo total, y cómo se mide el beneficio que obtienen compradores y vendedores?
De lo marginal a lo total
Derivar convierte un total en una tasa: $C'(q)$ es el coste de la «siguiente» unidad. Integrar hace el camino inverso. Si sabes cuánto sube el coste en cada unidad, sumando todas esas subidas desde el principio obtienes el coste acumulado.
Practica★☆☆Sin empezar
El coste marginal es $C'(q)=6$ euros por unidad y el coste fijo $C(0)=90\ \text{€}$. Recupera $C(q)$.
El coste marginal es $C'(q)=6$ euros por unidad y el coste fijo $C(0)=90\ \text{€}$. Recupera $C(q)$.
Para una producción continua $q\geq0$, $C\prime(q)=6+0,4q$ euros por unidad y $C(10)=280\ \text{€}$. Determina el coste fijo y el coste medio al producir $20$ unidades.
Para una producción continua $q\geq0$, $C\prime(q)=6+0,4q$ euros por unidad y $C(10)=280\ \text{€}$. Determina el coste fijo y el coste medio al producir $20$ unidades.
A menudo no necesitas el total, sino cuánto cambia al pasar de $a$ a $b$ unidades. Entonces el valor inicial se cancela y no hace falta conocer el coste fijo.
Practica★☆☆Sin empezar
El beneficio marginal es $B\prime(q)=12-q$ euros por unidad. Calcula cuánto cambia el beneficio al pasar de $q=2$ a $q=6$ unidades. ¿Necesitas conocer el coste fijo?
El beneficio marginal es $B\prime(q)=12-q$ euros por unidad. Calcula cuánto cambia el beneficio al pasar de $q=2$ a $q=6$ unidades. ¿Necesitas conocer el coste fijo?
Dos tecnologías tienen costes marginales $C_A\prime(q)=5+q$ y $C_B\prime(q)=9+0,5q$, en euros por unidad. Sus costes fijos son $100\ \text{€}$ y $80\ \text{€}$,…
Dos tecnologías tienen costes marginales $C_A\prime(q)=5+q$ y $C_B\prime(q)=9+0,5q$, en euros por unidad. Sus costes fijos son $100\ \text{€}$ y $80\ \text{€}$, respectivamente. Compara sus costes totales para $q=10$.
Si $B'(q)$ cambia de signo, el beneficio crece mientras es positivo y decrece cuando es negativo: el máximo está donde $B'$ se anula y pasa de positivo a negativo. Con la integral reconstruyes $B$ y evalúas ese máximo.
Cuando el marginal es una fracción o una raíz, usa las primitivas básicas: $\int\dfrac{k}{q+c}dq=k\ln(q+c)$ y $\int\dfrac{k}{\sqrt{q+c}}dq=2k\sqrt{q+c}$.
Practica★★☆Sin empezar
Si $B'(q)=20-2q$ y $B(0)=-60\ \text{€}$, calcula $B(q)$ y el beneficio máximo para $q\geq0$.
Si $B'(q)=20-2q$ y $B(0)=-60\ \text{€}$, calcula $B(q)$ y el beneficio máximo para $q\geq0$.
Un coste marginal es $C\prime(q)=\frac{120}{q+10}+2$ euros por unidad para $q\geq0$, y $C(0)=300\ \text{€}$. Halla el coste total y su incremento entre $10$ y $30$…
Un coste marginal es $C\prime(q)=\frac{120}{q+10}+2$ euros por unidad para $q\geq0$, y $C(0)=300\ \text{€}$. Halla el coste total y su incremento entre $10$ y $30$ unidades. Da el incremento exacto y redondeado a céntimos.
Si el marginal cambia de fórmula, integra por tramos. El coste total sigue siendo continuo: el tramo siguiente empieza donde acaba el anterior.
El coste medio es $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}$. Con dos empresas de igual $C'$ y fijos $F_1
Practica★★★Sin empezar
El coste marginal es $C'(q)=5$ para $0\leq q\leq10$ y $C'(q)=8$ para $q>10$, salvo que en $10$ puede no existir derivada. Si el coste total es continuo y…
El coste marginal es $C'(q)=5$ para $0\leq q\leq10$ y $C'(q)=8$ para $q>10$, salvo que en $10$ puede no existir derivada. Si el coste total es continuo y $C(0)=40\ \text{€}$, halla $C(15)$ y la fórmula de $C$ a ambos lados de $10$.
Dos empresas tienen el mismo coste marginal $C\prime(q)=4+q$ euros por unidad, pero costes fijos de $50\ \text{€}$ y $90\ \text{€}$. Justifica si pueden tener el mismo…
Dos empresas tienen el mismo coste marginal $C\prime(q)=4+q$ euros por unidad, pero costes fijos de $50\ \text{€}$ y $90\ \text{€}$. Justifica si pueden tener el mismo coste total para alguna producción y estudia el límite de la diferencia entre sus costes medios cuando $q\to\infty$.
La curva de demanda inversa $p_D(q)$ dice cuánto pagaría como máximo el comprador de la unidad $q$. Si el precio es $p^*$, cada unidad cuyo $p_D(q)>p^*$ deja un «ahorro». La suma de esos ahorros es el excedente del consumidor. Con la oferta ocurre lo simétrico: $p_S(q)$ es el precio mínimo al que se vende la unidad $q$.
Practica★☆☆Sin empezar
La demanda inversa es $p(q)=20-q$ y se venden $5$ unidades al precio de $15\ \text{€}$. Calcula el excedente del consumidor como $\int_0^5[p(q)-15]dq$.
La demanda inversa es $p(q)=20-q$ y se venden $5$ unidades al precio de $15\ \text{€}$. Calcula el excedente del consumidor como $\int_0^5[p(q)-15]dq$.
Una oferta inversa es $p_S(q)=4+q$ euros por unidad y el precio de mercado es $12\ \text{€}$. Determina la cantidad ofrecida y el excedente del productor, definido como…
Una oferta inversa es $p_S(q)=4+q$ euros por unidad y el precio de mercado es $12\ \text{€}$. Determina la cantidad ofrecida y el excedente del productor, definido como $\int_0^{q_*}[12-p_S(q)]\,dq$.
En un mercado continuo $p_D(q)=50-q$ y $p_S(q)=5+2q$, en euros por unidad. Determina el equilibrio y calcula los excedentes del consumidor y del productor, justificando…
En un mercado continuo $p_D(q)=50-q$ y $p_S(q)=5+2q$, en euros por unidad. Determina el equilibrio y calcula los excedentes del consumidor y del productor, justificando las regiones de integración.