Tasa de variación y derivada
Una plataforma de suscripciones pasa de 180 a 330 ventas acumuladas entre el día 2 y el día 5. Sabes cuánto ha crecido en esos tres días, pero ¿a qué ritmo vende exactamente en el día 2, no en promedio? Para responder hace falta pasar de una tasa media a una tasa instantánea, y eso es la derivada.
Variación y tasa de variación media
Un incremento solo dice cuánto cambia la variable; la tasa media lo reparte por unidad de $x$ y permite comparar intervalos de distinta longitud. Si $f$ es lineal, $f(x)=mx+n$, la TVM vale $m$ en cualquier intervalo: el ritmo es constante.
Una plataforma registra $V(2)=180$ y $V(5)=330$ ventas acumuladas, con $t$ en días. Calcula el incremento total y la tasa de variación media entre ambos días, indicando…
Una plataforma registra $V(2)=180$ y $V(5)=330$ ventas acumuladas, con $t$ en días. Calcula el incremento total y la tasa de variación media entre ambos días, indicando unidades.
El saldo de un depósito cambia de $2500\ \text{€}$ a $2420\ \text{€}$ en cuatro meses. Determina la variación total y la tasa media mensual.
El saldo de un depósito cambia de $2500\ \text{€}$ a $2420\ \text{€}$ en cuatro meses. Determina la variación total y la tasa media mensual.
Una demanda es $D(p)=120-3p$ unidades diarias, con $p$ medido en euros por unidad y $0<p<40$. Calcula la variación exacta al pasar de $p=10$ a $p=12$, la tasa media y…
Una demanda es $D(p)=120-3p$ unidades diarias, con $p$ medido en euros por unidad y $0
De la secante a la tangente
Geométricamente, la TVM en $[a,b]$ es la pendiente de la secante: la recta que une $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$. Si acercas $b$ hacia $a$, la secante gira y se aproxima a una recta que solo "toca" la gráfica en $a$: la tangente. Su pendiente mide el ritmo de cambio en ese punto.
Observa el caso $f(x)=x^2$ en $a=1$:
| $b$ | 2 | 1,5 | 1,1 | 1,01 |
|---|---|---|---|---|
| pendiente de la secante | 3 | 2,5 | 2,1 | 2,01 |
Las pendientes se acercan a $2$. Es la pendiente de la tangente en $x=1$.
Para $f(x)=x^2$, calcula la pendiente de la secante entre $x=1$ y $x=2$ y la pendiente de la tangente en $x=1$. Explica qué cambio mide cada una. La figura sirve de…
Para $f(x)=x^2$, calcula la pendiente de la secante entre $x=1$ y $x=2$ y la pendiente de la tangente en $x=1$. Explica qué cambio mide cada una.
La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada.
Para $f(x)=x^2$, calcula las pendientes de las secantes desde $x=2$ hasta $x=3$ y hasta $x=2,1$. ¿A qué valor parecen aproximarse?
Para $f(x)=x^2$, calcula las pendientes de las secantes desde $x=2$ hasta $x=3$ y hasta $x=2,1$. ¿A qué valor parecen aproximarse?
La derivada como límite del cociente incremental
La definición formaliza la idea de «acercar el segundo punto»: $h$ es el incremento de $x$ y se hace tender a cero. Se obtiene la pendiente de la tangente, cuya ecuación es
$$y-f(a)=f'(a)\,(x-a).$$Calcula por definición la derivada de $f(x)=2x^2-x$ en $x=3$ y escribe la ecuación de la tangente en ese punto.
Calcula por definición la derivada de $f(x)=2x^2-x$ en $x=3$ y escribe la ecuación de la tangente en ese punto.
Sea $f(x)=\sqrt{x}$, con $x>0$. Usa el conjugado en el cociente incremental para hallar $f'(4)$ y la recta tangente en $x=4$.
Sea $f(x)=\sqrt{x}$, con $x>0$. Usa el conjugado en el cociente incremental para hallar $f'(4)$ y la recta tangente en $x=4$.
Calcula por definición $f'(a)$ para $f(x)=1/x$, con $a\neq0$. Usa el resultado para hallar el punto de la rama $x>0$ donde la tangente tiene pendiente $-4$.
Calcula por definición $f'(a)$ para $f(x)=1/x$, con $a\neq0$. Usa el resultado para hallar el punto de la rama $x>0$ donde la tangente tiene pendiente $-4$.
Interpretación: tasa instantánea y variación marginal
La derivada es la tasa de variación instantánea: el ritmo al que cambia $f$ en ese punto, con unidades «unidades de $f$ por unidad de $x$». Difiere de la media porque la media promedia todo el intervalo, mientras que la derivada mira solo el punto.
Para $V(t)=100+6t-t^2$: la TVM en $[1,3]$ es $\dfrac{109-105}{2}=2$, mientras que $V'(1)=4$ (el ritmo ya va bajando durante el intervalo).
En economía, si $C(q)$ es el coste de producir $q$ unidades, $C'(q)$ es el coste marginal. Como $C(q+1)-C(q)\approx C'(q)\cdot 1$, interpretamos $C'(30)=12$ como «producir la unidad 31 cuesta aproximadamente 12 € más».
El coste total de producir $q$ kg de una mezcla es $C(q)=240+7q$, en euros, para $q\geq0$. Calcula por definición $C'(10)$ e interpreta el resultado.
El coste total de producir $q$ kg de una mezcla es $C(q)=240+7q$, en euros, para $q\geq0$. Calcula por definición $C'(10)$ e interpreta el resultado.
Se sabe que $C'(30)=12$, con $C$ en euros y $q$ en unidades. Explica su significado y estima el coste adicional al pasar de $30$ a $31$ unidades.
Se sabe que $C'(30)=12$, con $C$ en euros y $q$ en unidades. Explica su significado y estima el coste adicional al pasar de $30$ a $31$ unidades.
Para $V(t)=100+6t-t^2$, calcula la tasa media en $[1,3]$ y la instantánea en $t=1$. Explica por qué difieren.
Para $V(t)=100+6t-t^2$, calcula la tasa media en $[1,3]$ y la instantánea en $t=1$. Explica por qué difieren.
Derivadas laterales, continuidad y puntos no derivables
El ejemplo clásico es $f(x)=|x-2|$ en $x=2$: para $h>0$ el cociente es $\frac{h}{h}=1$; para $h<0$ es $\frac{-h}{h}=-1$. Las laterales valen $1$ y $-1$, así que no existe $f'(2)$: la gráfica tiene un pico y no hay tangente única.
Determina, mediante cocientes incrementales laterales, si $f(x)=|x-2|$ es derivable en $x=2$.
Determina, mediante cocientes incrementales laterales, si $f(x)=|x-2|$ es derivable en $x=2$.
Define $f(x)=x^2$ si $x\leq1$ y $f(x)=ax+b$ si $x>1$. Determina $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en $x=1$, justificando continuidad e igualdad de derivadas laterales.
Define $f(x)=x^2$ si $x\leq1$ y $f(x)=ax+b$ si $x>1$. Determina $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en $x=1$, justificando continuidad e igualdad de derivadas laterales.
Una tarifa total para $q$ kg es $C(q)=20+4q$ si $0\leq q\leq10$, y $C(q)=60+3(q-10)$ si $q>10$, en euros. Estudia continuidad y derivabilidad en $q=10$. Calcula el coste…
Una tarifa total para $q$ kg es $C(q)=20+4q$ si $0\leq q\leq10$, y $C(q)=60+3(q-10)$ si $q>10$, en euros. Estudia continuidad y derivabilidad en $q=10$. Calcula el coste exacto adicional de pasar de $10$ a $10,2$ kg y explica por qué no existe allí un único coste marginal bilateral.
Más allá del cálculo directo: usar la definición con información parcial
A veces no se conoce la fórmula completa de $f$, pero sí cómo se comporta $f(a+h)$. Como $f'(a)$ es el coeficiente de $h$ en $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h+\dots$, basta con identificar términos.
Otro resultado útil: si la TVM en $[a,b]$ es $m$, a menudo existe un punto interior donde la pendiente instantánea es exactamente $m$. Para $f(x)=x^2+x$ en $[1,4]$: la TVM es $\frac{20-2}{3}=6$ y $f'(c)=2c+1=6$ da $c=2{,}5$, que está dentro del intervalo.
Vuelve al principio: la tasa media de la plataforma entre los días 2 y 5 es $50$ ventas/día, pero el ritmo en el día 2 es la derivada $V'(2)$, el límite de las tasas medias en intervalos cada vez más cortos que empiezan en $t=2$.
Encuentra el punto interior de $[1,4]$ donde la pendiente instantánea de $f(x)=x^2+x$ coincide con la pendiente media del intervalo.
Encuentra el punto interior de $[1,4]$ donde la pendiente instantánea de $f(x)=x^2+x$ coincide con la pendiente media del intervalo.
Una función satisface $f(2+h)=5+3h+h^2$ para todo $h$ cercano a cero. Sin obtener una fórmula expandida de $f(x)$, calcula $f(2)$ y $f'(2)$ y escribe la tangente.
Una función satisface $f(2+h)=5+3h+h^2$ para todo $h$ cercano a cero. Sin obtener una fórmula expandida de $f(x)$, calcula $f(2)$ y $f'(2)$ y escribe la tangente.