Sucesiones y matemática financiera elemental · Capitalización
Interés, valor actual y rentas
Te ofrecen $100\ \text{€}$ hoy o $108\ \text{€}$ dentro de un año. ¿Cuál eliges? Para responder no basta con mirar los números: hay que compararlos en el mismo momento del tiempo. Todo este apartado consiste en aprender a mover cantidades de dinero a lo largo del tiempo con un tipo de interés, y a saber cuándo la comparación tiene sentido.
El dinero en el tiempo: capital, interés y tipo
Un euro hoy se puede depositar y ganar intereses; por eso vale más que un euro dentro de un año. Esa diferencia es el precio del tiempo, y el tipo de interés lo mide.
La herramienta básica es la línea temporal: cada capital se coloca en su instante y solo se pueden sumar o comparar capitales situados en el mismo punto.
Regla de oro: para comparar o sumar capitales, primero llévalos todos al mismo instante.
Practica★☆☆Sin empezar
Una cuenta sin intereses recibe $40\ \text{€}$ al final de cada mes durante un año. Calcula el saldo final y explica por qué no hace falta capitalizar aportaciones.
Una cuenta sin intereses recibe $40\ \text{€}$ al final de cada mes durante un año. Calcula el saldo final y explica por qué no hace falta capitalizar aportaciones.
Dos ofertas prometen $100\ \text{€}$ hoy o $108\ \text{€}$ dentro de un año. Compáralas usando un tipo de valoración del $8\%$ efectivo anual, sin comisiones ni…
Dos ofertas prometen $100\ \text{€}$ hoy o $108\ \text{€}$ dentro de un año. Compáralas usando un tipo de valoración del $8\%$ efectivo anual, sin comisiones ni impuestos.
Con interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial: no generan a su vez intereses. Con interés compuesto los intereses de cada periodo se suman al capital y producen nuevos intereses.
Practica★☆☆Sin empezar
Se depositan $1500\ \text{€}$ al $4\%$ efectivo anual durante tres años, sin aportaciones ni retiradas. Calcula el capital final con interés compuesto. Redondea solo el…
Se depositan $1500\ \text{€}$ al $4\%$ efectivo anual durante tres años, sin aportaciones ni retiradas. Calcula el capital final con interés compuesto. Redondea solo el resultado final a céntimos.
Un capital de $2000\ \text{€}$ genera interés simple del $3\%$ anual durante dos años. Calcula el interés y el capital final, y compáralo con capitalización anual…
Un capital de $2000\ \text{€}$ genera interés simple del $3\%$ anual durante dos años. Calcula el interés y el capital final, y compáralo con capitalización anual compuesta al mismo porcentaje.
Actualizar es el camino inverso a capitalizar: ¿cuánto vale hoy un cobro o un pago futuro?
Esto responde al gancho: al $8\,\%$, $108\ \text{€}$ dentro de un año valen hoy $\dfrac{108}{1{,}08} = 100\ \text{€}$. Las dos ofertas son equivalentes; con un tipo de valoración mayor que el $8\,\%$ convendría tomar los $100\ \text{€}$ hoy, y con uno menor, esperar.
Practica★☆☆Sin empezar
Con un tipo efectivo anual del $5\%$, calcula el valor hoy de un único cobro de $2205\ \text{€}$ dentro de dos años. Explica la dirección temporal del descuento.
Con un tipo efectivo anual del $5\%$, calcula el valor hoy de un único cobro de $2205\ \text{€}$ dentro de dos años. Explica la dirección temporal del descuento.
Una deuda ofrece dos pagos: $300\ \text{€}$ dentro de un año y $330\ \text{€}$ dentro de dos. Calcula el pago único equivalente hoy al $10\%$ efectivo anual.
Una deuda ofrece dos pagos: $300\ \text{€}$ dentro de un año y $330\ \text{€}$ dentro de dos. Calcula el pago único equivalente hoy al $10\%$ efectivo anual.
A veces la incógnita no es el capital, sino el tipo o el plazo. Se despeja de $C_n = C_0(1+i)^n$.
Practica★★☆Sin empezar
Un capital se multiplica por $1,21$ en dos años con un tipo efectivo anual constante. Halla ese tipo sin suponer que el aumento total debe dividirse entre dos.
Un capital se multiplica por $1,21$ en dos años con un tipo efectivo anual constante. Halla ese tipo sin suponer que el aumento total debe dividirse entre dos.
Un capital de $1200\ \text{€}$ se capitaliza al $4\%$ efectivo anual. Determina el primer número entero de años al cabo del cual alcanza al menos $1600\ \text{€}$.…
Un capital de $1200\ \text{€}$ se capitaliza al $4\%$ efectivo anual. Determina el primer número entero de años al cabo del cual alcanza al menos $1600\ \text{€}$. Justifica el redondeo del plazo.
Varias aportaciones: rentas sobre la línea temporal
Una renta es una sucesión de capitales en fechas distintas, como las cuotas de un ahorro mensual. La idea es siempre la misma: cada capital se mueve al instante de valoración con su propio factor y después se suman.
Practica★★☆Sin empezar
Se ingresan $100\ \text{€}$ al final del año 1 y $200\ \text{€}$ al final del año 2. Calcula el saldo justo después del segundo ingreso al $5\%$ efectivo anual.
Se ingresan $100\ \text{€}$ al final del año 1 y $200\ \text{€}$ al final del año 2. Calcula el saldo justo después del segundo ingreso al $5\%$ efectivo anual.
Se ingresan $300\ \text{€}$ al final de cada uno de tres años en una cuenta al $5\%$ efectivo anual. Calcula el saldo inmediatamente después del tercer ingreso. Usa la…
Se ingresan $300\ \text{€}$ al final de cada uno de tres años en una cuenta al $5\%$ efectivo anual. Calcula el saldo inmediatamente después del tercer ingreso.
Usa la línea temporal para comprobar en qué momento se realiza cada ingreso.
Se quiere disponer de $3310\ \text{€}$ dentro de tres años al $10\%$ efectivo anual. Se ingresará una cantidad igual al final de cada uno de los tres años. Calcula esa…
Se quiere disponer de $3310\ \text{€}$ dentro de tres años al $10\%$ efectivo anual. Se ingresará una cantidad igual al final de cada uno de los tres años. Calcula esa aportación sumando los capitales finales.
Dos conjuntos de pagos son equivalentes si, llevados a una misma fecha con el mismo tipo, tienen el mismo valor. Esa igualdad es la ecuación que resuelve casi todos los problemas: cuotas de un préstamo, aportaciones necesarias, tipos implícitos o elegir entre ofertas.
Vuelve al principio: la oferta de $100\ \text{€}$ hoy o $108\ \text{€}$ en un año solo se compara bien llevando ambas cantidades al mismo instante. Con un tipo del $8\,\%$ son equivalentes; es el tipo de valoración el que decide.
Practica★★★Sin empezar
Compara el valor actual de pagar hoy $3000\ \text{€}$ con pagar $1600\ \text{€}$ dentro de un año y otros $1600\ \text{€}$ dentro de dos años, usando un tipo de…
Compara el valor actual de pagar hoy $3000\ \text{€}$ con pagar $1600\ \text{€}$ dentro de un año y otros $1600\ \text{€}$ dentro de dos años, usando un tipo de descuento del $5\%$ efectivo anual. Calcula el tipo anual positivo que haría equivalentes las alternativas.
Una compra cuesta $1000\ \text{€}$ al contado o $500\ \text{€}$ hoy y $550\ \text{€}$ al cabo de un año. Calcula el tipo anual implícito sobre la cantidad realmente…
Una compra cuesta $1000\ \text{€}$ al contado o $500\ \text{€}$ hoy y $550\ \text{€}$ al cabo de un año. Calcula el tipo anual implícito sobre la cantidad realmente financiada y compara ambas opciones usando un tipo de valoración del $5\%$.
Un préstamo de $5000\ \text{€}$ se devuelve en dos pagos anuales iguales, al final de cada año, con interés del $8\%$ efectivo anual sobre el saldo pendiente y sin…
Un préstamo de $5000\ \text{€}$ se devuelve en dos pagos anuales iguales, al final de cada año, con interés del $8\%$ efectivo anual sobre el saldo pendiente y sin comisiones. Plantea la equivalencia de valores actuales y calcula la cuota; comprueba la amortización usando la cuota sin redondear.