Reglas elementales, exponenciales y logaritmos
Una empresa modela su beneficio con $f(x)=2x+\ln x$ y quiere saber cuánto cambia por cada unidad adicional vendida en $x=1$. Calcular el cociente incremental cada vez sería tedioso. Con unas pocas reglas, derivar funciones como esta se convierte en un cálculo mecánico, y lo importante pasa a ser interpretar el resultado. Al final del apartado resolverás esa pregunta.
Potencias, constantes y sumas
Antes de derivar, reescribe raíces y cocientes como potencias: $\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$.
Deriva $f(x)=5x^4-3x^2+8x-11$ e indica su dominio.
Deriva $f(x)=5x^4-3x^2+8x-11$ e indica su dominio.
Escribe $f(x)=2/x^3$ como potencia y calcula su derivada, indicando el dominio.
Escribe $f(x)=2/x^3$ como potencia y calcula su derivada, indicando el dominio.
Sea $f(x)=6x^{2/3}-x^{1/3}$ para $x>0$. Calcula $f'(x)$ y resuelve $f'(x)=0$.
Sea $f(x)=6x^{2/3}-x^{1/3}$ para $x>0$. Calcula $f'(x)$ y resuelve $f'(x)=0$.
Exponenciales y logaritmos
Calcula la derivada de $f(x)=3e^x+2\ln x$ y su valor en $x=1$. Indica el dominio.
Calcula la derivada de $f(x)=3e^x+2\ln x$ y su valor en $x=1$. Indica el dominio.
Deriva $h(x)=2^x+\log_{10}x$, con $x>0$. Explica por qué aparecen los factores $\ln2$ y $\ln10$.
Deriva $h(x)=2^x+\log_{10}x$, con $x>0$. Explica por qué aparecen los factores $\ln2$ y $\ln10$.
Una analista afirma que la derivada de $\ln x$ es $\ln x/x$ y que la de $5^x$ es $x\cdot5^{x-1}$. Corrige ambas reglas y explica qué confusión comete en cada caso.
Una analista afirma que la derivada de $\ln x$ es $\ln x/x$ y que la de $5^x$ es $x\cdot5^{x-1}$. Corrige ambas reglas y explica qué confusión comete en cada caso.
Dominio y derivabilidad
La derivada solo existe donde la función está definida, y a veces ni siquiera ahí. Al dar $f'$ indica siempre el dominio: $\ln x$ y $\sqrt{x}$ exigen $x>0$ (en el caso de $\sqrt x$, la derivada $\frac{1}{2\sqrt x}$ no existe en $0$), y $1/x^n$ excluye $x=0$.
Calcula la derivada de $f(x)=\sqrt{x}+\ln x$ e indica en qué intervalo existe.
Calcula la derivada de $f(x)=\sqrt{x}+\ln x$ e indica en qué intervalo existe.
Simplifica y deriva $f(x)=(x^3-2x)/x$, definida para $x\neq0$. ¿Se recupera $x=0$ en el dominio original al simplificar?
Simplifica y deriva $f(x)=(x^3-2x)/x$, definida para $x\neq0$. ¿Se recupera $x=0$ en el dominio original al simplificar?
Estudia dónde existe una derivada finita de $f(x)=x^{2/3}$ en $\mathbb{R}$. Usa el cociente incremental en $0$ para justificar la excepción.
Estudia dónde existe una derivada finita de $f(x)=x^{2/3}$ en $\mathbb{R}$. Usa el cociente incremental en $0$ para justificar la excepción.
Tangentes y pendiente
Deriva $f(x)=5e^x-2\ln x$ y calcula $f'(1)$.
Deriva $f(x)=5e^x-2\ln x$ y calcula $f'(1)$.
Para $f(x)=2x+\ln x$, con $x>0$, calcula la pendiente de la tangente en $x=1$ y escribe su ecuación. Explica cómo se relaciona la pendiente con el cambio local de $f$.…
Para $f(x)=2x+\ln x$, con $x>0$, calcula la pendiente de la tangente en $x=1$ y escribe su ecuación. Explica cómo se relaciona la pendiente con el cambio local de $f$.
La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada.
Determina todas las tangentes horizontales de $f(x)=x+4/x$, con $x\neq0$, indicando sus puntos de contacto y ecuaciones.
Determina todas las tangentes horizontales de $f(x)=x+4/x$, con $x\neq0$, indicando sus puntos de contacto y ecuaciones.
Parámetros a partir de condiciones sobre $f'$
A veces se conoce el comportamiento de la derivada y se pide determinar la función. El método: derivar con los parámetros, imponer cada condición y resolver el sistema resultante.
Encuentra $a$ y $b$ si $f(x)=ax^2+bx+7$ cumple $f'(0)=-2$ y $f'(3)=10$.
Encuentra $a$ y $b$ si $f(x)=ax^2+bx+7$ cumple $f'(0)=-2$ y $f'(3)=10$.
Para $f(x)=a\ln x+b/x$, con $x>0$, se sabe que $f'(1)=0$ y $f'(2)=1$. Determina $a,b$ y la recta tangente en $x=2$.
Para $f(x)=a\ln x+b/x$, con $x>0$, se sabe que $f'(1)=0$ y $f'(2)=1$. Determina $a,b$ y la recta tangente en $x=2$.
Para $f(x)=ax^3+bx^2$, determina $a$ y $b$ sabiendo que $f'(1)=0$ y $f'(2)=12$.
Para $f(x)=ax^3+bx^2$, determina $a$ y $b$ sabiendo que $f'(1)=0$ y $f'(2)=12$.