Nivelación · Matemáticas para ADE y Economía
Números y álgebra instrumental · Números
Fracciones y operaciones
Qué es una fracción y cómo se compara Suma y resta Producto, cociente y prioridad Fracciones apiladas, error y repartos Fracciones «de lo que queda» y ritmos de trabajo Resumen
Un almacén despacha $\frac{2}{7}$ de sus existencias por la mañana y $\frac{3}{5}$ de lo que queda por la tarde. ¿Qué fracción del stock inicial sigue en las estanterías? No basta con sumar $\frac27+\frac35$: la segunda fracción se refiere a un total distinto. Para contestar con seguridad hay que dominar qué significa una fracción y cómo se opera con ellas. Al final del apartado resolveremos este caso.
Qué es una fracción y cómo se compara
Una fracción $\dfrac{a}{b}$, con $a, b \in \mathbb{Z}$ y $b \neq 0$, representa $a$ partes de un total dividido en $b$ partes iguales; equivale al cociente $a \div b$. Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a\cdot d = b\cdot c$. Una fracción es irreducible si $a$ y $b$ no tienen divisores comunes distintos de $1$.
Multiplicar o dividir numerador y denominador por el mismo número no cambia el valor, porque equivale a multiplicar por $\frac{k}{k}=1$. Así se simplifica: $\dfrac{42}{60}=\dfrac{7}{10}$ (dividiendo entre $\gcd(42,60)=6$).
Dos barras iguales: una dividida en 3 partes con 2 sombreadas y otra dividida en 6 partes con 4 sombreadas, que representan la misma fracción.
2/3
4/6
Con denominadores positivos: $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \iff a\cdot d < b\cdot c$. También puedes pasar a decimal o reducir a común denominador. Los negativos se ordenan al revés que sus valores absolutos: $-\frac45 < -\frac34$ porque $\frac45 > \frac34$.
¿Por qué? Al multiplicar ambos lados por $b\cdot d>0$ la desigualdad se mantiene y desaparecen los denominadores.
Para pasar de decimal a fracción, escribe el decimal sobre una potencia de 10 y simplifica: $0{,}375=\dfrac{375}{1000}=\dfrac{3}{8}$. La inversa de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$ (con $a\neq 0$), pues su producto es $1$.
Pensar que $\frac{1}{8} > \frac{1}{6}$ «porque 8 es mayor» es un error: con el mismo numerador, más partes significa trozos más pequeños . Compara siempre con productos cruzados o con común denominador.
★☆☆ Sin empezar
Ordena $-\frac{4}{5}$, $-0,75$, $\frac{2}{3}$ y $0,7$ de menor a mayor, justificando la comparación. Ordena $-\frac{4}{5}$, $-0,75$, $\frac{2}{3}$ y $0,7$ de menor a mayor, justificando la comparación.
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★☆☆ Sin empezar
Escribe $0,375$ como fracción irreducible y calcula su inversa. Escribe $0,375$ como fracción irreducible y calcula su inversa.
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★☆☆ Sin empezar
¿Qué fracción de hora representan $42$ minutos? Exprésala irreducible. ¿Qué fracción de hora representan $42$ minutos? Exprésala irreducible.
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Suma y resta
Solo se suman partes del mismo tamaño: hay que reducir a común denominador , mejor con el mínimo común múltiplo.
$$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\cdot m/b \pm c\cdot m/d}{m},\qquad m=\operatorname{mcm}(b,d).$$
Después, simplifica.
¿Por qué? Sumar tercios con cuartos es como sumar euros con dólares: primero se expresan en la misma unidad (doceavos).
$\frac{1}{4}+\frac{5}{12}\neq\frac{6}{16}$. Si sumaras $\frac12+\frac12$ así obtendrías $\frac24=\frac12$: dos mitades darían una mitad. Lo correcto: $\frac{3}{12}+\frac{5}{12}=\frac{8}{12}=\frac23$.
Con tres partidas que suman un total, la que falta es el complemento : servicios $=1-\frac14-\frac{5}{12}=\frac{12-3-5}{12}=\frac{1}{3}$.
Barra dividida en doce partes: tres para logística, cinco para materiales y cuatro para servicios.
1/4
5/12
resto = 1/3
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\frac{5}{8}+\frac{7}{12}$ y expresa el resultado como fracción irreducible. Calcula $\frac{5}{8}+\frac{7}{12}$ y expresa el resultado como fracción irreducible.
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★☆☆ Sin empezar
Un envase está lleno hasta $\frac56$ de su capacidad. Se vacía una cantidad igual a $\frac13$ de la capacidad total. ¿Qué fracción queda llena? Un envase está lleno hasta $\frac56$ de su capacidad. Se vacía una cantidad igual a $\frac13$ de la capacidad total. ¿Qué fracción queda llena?
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★★☆ Sin empezar
Una factura se distribuye en tres partidas: $\frac{1}{4}$ en logística, $\frac{5}{12}$ en materiales y el resto en servicios. Explica por qué sumar numeradores y… Una factura se distribuye en tres partidas: $\frac{1}{4}$ en logística, $\frac{5}{12}$ en materiales y el resto en servicios. Explica por qué sumar numeradores y denominadores no sirve para hallar lo gastado en las dos primeras partidas y calcula la fracción de servicios.
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Producto, cociente y prioridad
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\,d}{b\,c}\quad(c\neq0).$$
Se puede simplificar en cruz antes de multiplicar. La prioridad de operaciones es la usual: paréntesis, producto y cociente (de izquierda a derecha), suma y resta.
¿Por qué? «Los $\frac34$ de $\frac23$» es una fracción de una fracción: se multiplica. Y dividir entre $\frac{c}{d}$ pregunta «¿cuántas veces cabe $\frac cd$?», que equivale a multiplicar por su inversa.
Cuadrado unidad dividido en 3 columnas y 4 filas; la región de dos columnas y tres filas representa dos tercios de tres cuartos.
2/3 · 3/4 = 6/12
En $a\div\frac{c}{d}$ se invierte solo el divisor $\frac cd$. Invertir el dividendo o ambos cambia el resultado. Y en $1-\frac23\cdot\frac34$ el producto va antes que la resta: $1-\frac12=\frac12$, no $\frac13\cdot\frac34$.
★☆☆ Sin empezar
Una caja contiene $18$ kg de producto. Se preparan bolsas de $\frac{3}{4}$ kg. ¿Cuántas bolsas completas pueden llenarse? Una caja contiene $18$ kg de producto. Se preparan bolsas de $\frac{3}{4}$ kg. ¿Cuántas bolsas completas pueden llenarse?
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★☆☆ Sin empezar
Calcula $1-\frac23\cdot\frac34$ respetando la prioridad de operaciones. Calcula $1-\frac23\cdot\frac34$ respetando la prioridad de operaciones.
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★★☆ Sin empezar
Calcula $\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{4}\right)\div\frac{7}{10}+\frac{2}{3}$. Calcula $\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{4}\right)\div\frac{7}{10}+\frac{2}{3}$.
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Fracciones apiladas, error y repartos
Una fracción puede tener fracciones en numerador y denominador. La raya principal es la que separa ambos bloques y representa una división.
Si $x$ es el valor exacto y $\tilde x$ una aproximación: $E_a=|x-\tilde x|$ y $E_r=\dfrac{E_a}{|x|}$ (con $x\neq0$). El relativo mide el error en proporción al tamaño del valor.
Para $x=\frac{11}{6}$ y $\tilde x=1{,}8=\frac95$: $E_a=\left|\frac{55}{30}-\frac{54}{30}\right|=\frac1{30}$ y $E_r=\frac{1/30}{11/6}=\frac{1}{55}$.
Repartir $T$ en proporción $p:q$ da $\dfrac{p}{p+q}T$ y $\dfrac{q}{p+q}T$. Si la proporción viene en fracciones, multiplica por el mcm de los denominadores para obtener enteros: $\frac12:\frac13:\frac16 = 3:2:1$.
¿Por qué? El total se divide en $p+q$ partes iguales y cada socio recibe tantas como indica su cifra.
Reparto de $350$ € en $2:5$: son $7$ partes de $50$ €, luego $100$ € y $250$ €.
Barra de 350 euros dividida en siete partes iguales de 50 euros: dos para un socio y cinco para el otro.
2 partes = 100 €
5 partes = 250 €
En la proporción $2:5$ las partes son $\frac27$ y $\frac57$ del total (hay que dividir entre $2+5$), no $\frac25$ y $\frac35$.
★☆☆ Sin empezar
Reparte $350\ \text{€}$ entre dos socios en proporción $2:5$. Reparte $350\ \text{€}$ entre dos socios en proporción $2:5$.
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★★☆ Sin empezar
Calcula $\frac{1-\frac23}{\frac12+\frac16}$ y explica qué operación representa la raya principal. Calcula $\frac{1-\frac23}{\frac12+\frac16}$ y explica qué operación representa la raya principal.
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★★★ Sin empezar
Tres socios aportan cantidades en proporción $\frac12:\frac13:\frac16$. El primero aporta $900\ \text{€}$ más que el tercero. Halla cada aportación. Tres socios aportan cantidades en proporción $\frac12:\frac13:\frac16$. El primero aporta $900\ \text{€}$ más que el tercero. Halla cada aportación.
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Fracciones «de lo que queda» y ritmos de trabajo
La clave de los problemas económicos es a qué total se refiere cada fracción . Una fracción «del resto» se multiplica por lo que quedó, no por el total inicial.
Por la mañana sale $\frac27$; queda $1-\frac27=\frac57$.
Por la tarde sale $\frac35$ de lo restante : $\frac35\cdot\frac57=\frac37$ del stock inicial.
Queda $\frac57-\frac37=\frac27$. Es decir, queda $\frac25$ de lo restante: $\frac25\cdot\frac57=\frac27$.
Si quedan $50$ unidades y se hubiera vendido $\frac38+\frac5{16}$ del total, ¿cuál era el stock inicial?
Vendido: $\frac{6}{16}+\frac5{16}=\frac{11}{16}$; quedan $\frac5{16}$. Entonces $\frac5{16}S=50\Rightarrow S=50\cdot\frac{16}{5}=160$.
Siguiente paso (1/5)
Barra del stock dividida en siete partes: dos se despachan por la mañana, tres por la tarde y dos quedan.
mañana 2/7
tarde 3/7
queda 2/7
Si un equipo completa un encargo en $t$ horas, su ritmo es $\frac1t$ del encargo por hora. Los ritmos de equipos que trabajan a la vez se suman . Lo hecho en $h$ horas es ritmo $\cdot\, h$, y el total debe sumar $1$.
¿Por qué? Cada hora cada equipo aporta su fracción; la fracción total hecha es la suma de aportaciones.
Ritmos: $\frac14$ y $\frac16$. En la primera hora hacen $\frac14+\frac16=\frac5{12}$.
Falta $1-\frac5{12}=\frac7{12}$. B, a $\frac16$ por hora, tarda $\frac7{12}\div\frac16=\frac72=3{,}5$ h.
¿Cuánto es el tiempo total? Expresa el resultado en horas y minutos.
Total: $1+3{,}5=4{,}5$ h, es decir, $4$ h $30$ min.
Siguiente paso (1/4)
Si A tarda $4$ h y B $6$ h, juntos no tardan $5$ h (media) ni $10$ h (suma). Se suman los ritmos: $\frac14+\frac16=\frac5{12}$ por hora, luego tardan $\frac{12}5=2{,}4$ h.
Si dos lotes de $48$ y $72$ unidades tienen $\frac18$ y $\frac16$ defectuosas, la fracción global no es $\frac12\left(\frac18+\frac16\right)$: el lote mayor pesa más. Se suman defectuosas ($6+12=18$) y se divide entre el total ($120$): $\frac{18}{120}=\frac{3}{20}$.
Un presupuesto gasta $\frac3{10}$ al inicio y luego $\frac27$ del resto . ¿Qué fracción del presupuesto total es el segundo gasto?
Ver respuesta Resto: $1-\frac3{10}=\frac7{10}$. Segundo gasto: $\frac27\cdot\frac7{10}=\frac15$ del total. Aplicarlo al total ($\frac27$) habría sido un error.
★★☆ Sin empezar
Un almacén despacha $\frac{2}{7}$ de sus existencias por la mañana y $\frac{3}{5}$ de lo restante por la tarde. ¿Qué fracción del stock inicial queda? Un almacén despacha $\frac{2}{7}$ de sus existencias por la mañana y $\frac{3}{5}$ de lo restante por la tarde. ¿Qué fracción del stock inicial queda?
Resolver
★★☆ Sin empezar
En dos jornadas se vende $\frac38$ y $\frac5{16}$ del stock inicial. Si quedan $50$ unidades, halla el stock inicial. En dos jornadas se vende $\frac38$ y $\frac5{16}$ del stock inicial. Si quedan $50$ unidades, halla el stock inicial.
Resolver
★★★ Sin empezar
Un presupuesto destina $\frac{3}{10}$ al inicio de un proyecto y $\frac{2}{7}$ del resto a formación. Después de pagar $360\ \text{€}$ adicionales quedan… Un presupuesto destina $\frac{3}{10}$ al inicio de un proyecto y $\frac{2}{7}$ del resto a formación. Después de pagar $360\ \text{€}$ adicionales quedan $840\ \text{€}$. Halla el presupuesto inicial.
Resolver
Vuelve al principio: tras la mañana y la tarde queda $\frac27$ del stock inicial.
Resumen
Suma y resta exigen común denominador (mcm); producto: numerador por numerador y denominador por denominador; cociente: multiplicar por la inversa del divisor.
Para comparar, usa productos cruzados o decimales; simplifica dividiendo entre el máximo común divisor.
La raya principal de una fracción apilada es una división.
Una fracción «del resto» se multiplica por lo que queda, no por el total inicial; el complemento de una parte $\frac ab$ es $1-\frac ab$.
Los ritmos de trabajo ($\frac1t$) se suman; las fracciones de grupos distintos se combinan sumando cantidades, no promediando fracciones.
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