Nivelación · Matemáticas para ADE y Economía
Funciones y continuidad · Límites y continuidad
Cálculo de límites
Idea de límite y sustitución directa Indeterminaciones 0/0: factorizar y racionalizar Parámetros y límites notables Límites laterales y valor absoluto Límites en el infinito Del límite al cociente incremental Resumen
El coste medio de producir $q$ unidades es $A(q)=\frac{900+15q}{q}$ euros por unidad. Si la empresa produce cada vez más, ¿hacia qué valor se acerca ese coste medio? No hace falta que la función llegue a valer ese número: basta saber hacia dónde se dirige. Eso es un límite, y en este apartado aprenderás a calcularlos con método.
Idea de límite y sustitución directa
Se escribe $\lim_{x\to a}f(x)=L$ cuando los valores $f(x)$ se acercan tanto como queramos a $L$ al tomar $x$ suficientemente cerca de $a$ (con $x\ne a$). Lo que importa es el comportamiento cerca de $a$, no el valor de $f$ en $a$, que puede ni existir.
Gráfica de una curva con un punto hueco en x igual a a: el límite es la altura L hacia la que se acerca la curva, aunque la función no esté definida en ese punto.
L
a
Si $f$ es un polinomio, una raíz, una exponencial o un logaritmo, o se obtiene combinándolas con sumas, productos, cocientes (con denominador no nulo) o composiciones, y $a$ pertenece a su dominio, entonces $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
¿Por qué? Estas funciones son continuas: su gráfica no da saltos, así que el valor al que se acercan es el que toman. Es el método a probar siempre en primer lugar.
Calcula $\lim_{x\to2}(3x^2-x+4)$.
Es un polinomio: sustituimos directamente. $3\cdot 2^2-2+4=12-2+4$.
Termina la cuenta y escribe el valor del límite, justificando por qué la sustitución es válida.
Siguiente paso (1/3)
En $\lim_{x\to0}\frac{2x+5}{x+1}$ sustituyes y obtienes $5$. En $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ obtienes $0/0$. ¿Qué diferencia hay entre ambos casos?
Ver respuesta En el primero el denominador no se anula en $x=0$, así que la función es continua allí y el valor es el límite. En el segundo, $x=3$ no está en el dominio y el resultado $0/0$ no dice nada: es una indeterminación que hay que resolver con álgebra.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to2}(3x^2-x+4)$ y explica por qué es válida la sustitución directa. Calcula $\lim_{x\to2}(3x^2-x+4)$ y explica por qué es válida la sustitución directa.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{2x+5}{x+1}$. Calcula $\lim_{x\to0}\frac{2x+5}{x+1}$.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}$. Calcula $\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}$.
Resolver
Indeterminaciones 0/0: factorizar y racionalizar
Cuando sustituyes y sale $\frac00$, numerador y denominador tienen algo que se anula: normalmente un factor común $(x-a)$. El objetivo es hacerlo aparecer y simplificarlo.
Si $f(x)=g(x)$ para todo $x\ne a$ cerca de $a$, entonces $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)$.
¿Por qué? El límite ignora lo que ocurre exactamente en $a$. Cancelar $(x-a)$ es legítimo porque, al acercarnos, $x\ne a$ y por tanto $x-a\ne0$.
Calcula $\lim_{x\to-2}\frac{x^2+5x+6}{x^2-4}$.
Sustituyendo: $\frac{4-10+6}{4-4}=\frac00$. Indeterminación: factorizamos.
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ y $x^2-4=(x+2)(x-2)$.
Para $x\ne-2$: $\frac{x+3}{x-2}$. Sustituimos: $\frac{1}{-4}=-\frac14$.
Siguiente paso (1/4) Si hay raíces, el truco es multiplicar y dividir por el conjugado , que aprovecha $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ para eliminar la raíz.
Esquema de racionalización: se multiplica numerador y denominador por el conjugado para convertir la diferencia con raíz en una diferencia de cuadrados.
(√A − B) · (√A + B) = A − B²
multiplica arriba y abajo por el conjugado
aparece el factor (x − a) y se cancela
Calcula $\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$.
Sustituir da $\frac00$. Multiplicamos por el conjugado $\sqrt{x+5}+3$: el numerador queda $(x+5)-9=x-4$.
$\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$ para $x\ne4$.
Sustituye $x=4$ en la expresión simplificada y da el límite.
Siguiente paso (1/4)
En $\frac{x^2+x-2}{x+2}$ no se puede "tachar" la $x$ ni el $2$. Solo se cancelan factores de todo el numerador y todo el denominador: primero factoriza, $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, y entonces sí.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ simplificando para $x\ne3$. Calcula $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ simplificando para $x\ne3$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ mediante racionalización. Calcula $\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ mediante racionalización.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{\sqrt{x+3}-2}$ mediante factorización y racionalización, sin derivadas. Calcula $\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{\sqrt{x+3}-2}$ mediante factorización y racionalización, sin derivadas.
Resolver
Parámetros y límites notables
Si $\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{x-a}$ es finito, el numerador debe anularse en $a$: $p(a)=0$. En caso contrario el cociente tiende a $\pm\infty$ (o no existe).
¿Por qué? Si $p(a)\ne0$, dividir un número no nulo entre algo que tiende a $0$ da valores cada vez más grandes en valor absoluto.
Determina $a$ para que $\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax-6}{x-2}$ sea finito y calcula el límite.
Exigimos $p(2)=4+2a-6=0$, de donde $a=1$.
Con $a=1$: $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$. Para $x\ne2$ queda $x+3$.
Calcula el límite y comprueba que coincide con lo que obtendrías sustituyendo.
Siguiente paso (1/4) Hay dos límites básicos que conviene tener a mano y que se usan con un cambio de variable:
$$\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1\qquad \lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1$$
Las gráficas de ln(1+u) y de e elevado a u menos 1 se pegan a la recta y igual a u cerca del origen, por eso sus cocientes con u tienden a 1.
y = u
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{e^{2x}-1}$.
Dividimos y multiplicamos para formar los cocientes notables: $\frac{\ln(1+4x)}{4x}\cdot\frac{2x}{e^{2x}-1}\cdot\frac{4x}{2x}$.
Con $u=4x$ y $u=2x$ tendiendo a $0$, los dos primeros factores tienden a $1$ y el tercero vale $2$. El límite es $2$.
Siguiente paso (1/3)
El límite notable exige que lo de dentro del logaritmo (o del exponente) sea igual al denominador del cociente. $\frac{\ln(1+4x)}{x}$ no tiende a $1$ sino a $4$: hay que ajustar con el factor correspondiente.
En $\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax-6}{x-2}$, ¿habría límite finito con $a=3$?
Ver respuesta No: con $a=3$ el numerador en $x=2$ vale $4+6-6=4\ne0$, y $\frac{4}{x-2}$ tiende a infinito con signos distintos a cada lado. Solo $a=1$ anula el numerador.
★★☆ Sin empezar
Se conocen $\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1$ y $\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}u=1$. Úsalos para calcular $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{e^{2x}-1}$, sin derivadas. Se conocen $\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1$ y $\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}u=1$. Úsalos para calcular $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{e^{2x}-1}$, sin derivadas.
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★★★ Sin empezar
Determina $a$ para que $\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax-6}{x-2}$ sea finito y calcula ese límite. Determina $a$ para que $\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax-6}{x-2}$ sea finito y calcula ese límite.
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Límites laterales y valor absoluto
Gráfica de la función uno partido por x menos dos: a la izquierda de x igual a 2 la curva baja hacia menos infinito y a la derecha sube hacia más infinito.
x = 2
Cuando hay valor absoluto, se separa por casos: $|t|=t$ si $t>0$ y $|t|=-t$ si $t<0$.
Estudia $f(x)=\frac{|x|}{x}$ en $x=0$.
Por la derecha, $x>0$ y $|x|=x$: $f(x)=1$, luego el límite lateral es $1$.
Por la izquierda, $x<0$ y $|x|=-x$: $f(x)=-1$, luego el límite lateral es $-1$.
¿Existe el límite bilateral? Decide y justifica con la condición de la definición.
Siguiente paso (1/4)
En $\frac1{x-2}$ los laterales son $-\infty$ y $+\infty$: distintos, así que no hay límite bilateral. En $\frac1{(x-2)^2}$ ambos son $+\infty$ y el límite sí es $+\infty$. Mira siempre el signo a cada lado.
★☆☆ Sin empezar
Considera la función $f(x)=\frac1{x-2}$. La figura representa los datos del enunciado. Calcula los límites laterales en $x=2$ y decide si existe un límite bilateral,… Considera la función $f(x)=\frac1{x-2}$.
La figura representa los datos del enunciado.
x = 2
x
y
−2
−1
1
3
4
5
6
0
4
3
2
1
−1
−2
−3
−4
(0, −0,5)
(1, −1)
(3, 1)
(4, 0,5)
f(x) = 1/(x−2)
Calcula los límites laterales en $x=2$ y decide si existe un límite bilateral, incluso infinito.
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★★☆ Sin empezar
Para $f(x)=\frac{\lvert x\rvert}{x}$, calcula los dos límites laterales en cero y el límite bilateral si existe. Para $f(x)=\frac{\lvert x\rvert}{x}$, calcula los dos límites laterales en cero y el límite bilateral si existe.
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★★★ Sin empezar
Calcula los límites laterales de $\frac{|x-1|}{x-1}$ en $x=1$ y decide si existe límite bilateral. Calcula los límites laterales de $\frac{|x-1|}{x-1}$ en $x=1$ y decide si existe límite bilateral.
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Límites en el infinito
En un cociente de polinomios mandan los términos de mayor grado: se divide numerador y denominador entre la mayor potencia de $x$. Además $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{k}{x^n}=0$ para $n>0$.
¿Por qué? Para $x$ enorme, $x^2$ es mucho mayor que $x$, y este mucho mayor que cualquier constante; los términos pequeños se vuelven despreciables frente al principal.
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Calcula $\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+2}{2x-7}$.
Dividimos entre $x$: $\frac{5+2/x}{2-7/x}$.
Como $2/x\to0$ y $7/x\to0$, el límite es $\frac52$. La función se acerca a $2{,}5$ sin tener por qué alcanzarlo.
Siguiente paso (1/3) Con raíces aparece la indeterminación $\infty-\infty$: no se separa en dos límites, se multiplica por el conjugado.
Calcula $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$.
Conjugado: $\frac{(x^2+6x)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}$.
Dividimos entre $x$ (con $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$): $\frac{6}{\sqrt{1+6/x}+1}$.
Haz $x\to+\infty$ en esa expresión y da el límite.
Siguiente paso (1/4)
Se cumple $\sqrt{x^2}=|x|$. Si $x\to-\infty$, $|x|=-x$, no $x$. Por ejemplo, $\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^2+1}}{x}$ vale $-3$, no $3$: al dividir entre $x<0$ hay que escribir $\sqrt{x^2}=-x$.
En $\lim_{x\to+\infty}\frac7x=0$, ¿llega $\frac7x$ a valer $0$ alguna vez?
Ver respuesta No: $\frac7x>0$ para todo $x>0$. El límite describe hacia dónde tiende, no un valor que se alcance.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+2}{2x-7}$ e identifica los términos que dominan. Calcula $\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+2}{2x-7}$ e identifica los términos que dominan.
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★★☆ Sin empezar
El coste medio es $A(q)=\frac{900+15q}{q}$, en euros por unidad, para $q>0$. Calcula su límite al aumentar indefinidamente la producción e interpreta qué componente… El coste medio es $A(q)=\frac{900+15q}{q}$, en euros por unidad, para $q>0$. Calcula su límite al aumentar indefinidamente la producción e interpreta qué componente desaparece en promedio.
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★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x}+2x\right)$. Justifica explícitamente el signo de $\sqrt{x^2}$. Calcula $\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x}+2x\right)$. Justifica explícitamente el signo de $\sqrt{x^2}$.
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Del límite al cociente incremental
Muchos límites en economía son de la forma $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$: el ingreso extra por cada unidad adicional cuando el aumento es minúsculo. Siempre da $\frac00$ al sustituir, y se resuelve desarrollando el numerador para sacar $h$ factor común.
Animación de una curva con una recta secante entre los puntos de abscisas a y a más h: el punto a más h se desliza por la curva hacia el punto a, h se hace cada vez más pequeño y la secante gira ligeramente hasta convertirse en la tangente, que se mantiene un rato; después la secante se desvanece y reaparece al inicio.
a
a + h
Si sustituyes $h=0$ antes de simplificar, obtienes $\frac00$ y crees que el problema no tiene solución. Primero desarrolla, saca $h$ y cancela; después sustituye.
★★★ Sin empezar
Una función de ingresos satisface $R(q)=18q-0,2q^2$, con $R$ en euros y la cantidad continua $q$ en kg. Calcula directamente $\lim_{h\to0}\frac{R(20+h)-R(20)}h$, sin… Una función de ingresos satisface $R(q)=18q-0,2q^2$, con $R$ en euros y la cantidad continua $q$ en kg. Calcula directamente $\lim_{h\to0}\frac{R(20+h)-R(20)}h$, sin reglas de derivación, e interpreta sus unidades.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\frac1{1+x}-1+x}{x^2}$ unificando primero las fracciones del numerador. Explica por qué no basta sustituir directamente. Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\frac1{1+x}-1+x}{x^2}$ unificando primero las fracciones del numerador. Explica por qué no basta sustituir directamente.
Resolver
Vuelve al principio: el coste medio $A(q)=\frac{900}{q}+15$ tiende a $15$ €/unidad al aumentar la producción, porque el coste fijo se diluye.
Resumen
Primero sustituye: si la función es continua en $a$, el límite es $f(a)$.
Si sale $\frac00$, factoriza y cancela, o racionaliza con el conjugado; cancelar es legítimo porque $x\ne a$ en el límite.
Un límite bilateral existe solo si los laterales existen y coinciden; con valor absoluto, separa por casos.
En el infinito domina el término de mayor grado; en $\infty-\infty$ con raíces usa el conjugado y recuerda que $\sqrt{x^2}=|x|$.
El cociente incremental $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ se resuelve sacando $h$ factor común y mide un cambio por unidad.
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