Primitivas y técnicas básicas
Un modelo te da el ingreso marginal de una empresa, es decir, cuánto crece el ingreso por cada unidad extra vendida. ¿Cómo recuperas el ingreso total a partir de ese dato? Derivar va del total al marginal; integrar hace el camino de vuelta. Pero la vuelta no es única: ¿qué información falta para quedarte con una sola función?
Primitivas: el camino inverso de derivar
¿Cuál de las funciones $F(x)=x^3+x$ y $G(x)=x^3+7$ es primitiva de $3x^2$? Justifica con derivadas.
¿Cuál de las funciones $F(x)=x^3+x$ y $G(x)=x^3+7$ es primitiva de $3x^2$? Justifica con derivadas.
Halla la primitiva de $f(x)=4x$ que pasa por $(0,5)$.
Halla la primitiva de $f(x)=4x$ que pasa por $(0,5)$.
Tabla básica y linealidad
Calcula $\int (6x^2-4x+3)\,dx$ y comprueba el resultado derivando.
Calcula $\int (6x^2-4x+3)\,dx$ y comprueba el resultado derivando.
Halla todas las primitivas de $f(x)=3\sqrt{x}$ en $x>0$.
Halla todas las primitivas de $f(x)=3\sqrt{x}$ en $x>0$.
Calcula $\int(2e^x+3/x)\,dx$ en $x>0$.
Calcula $\int(2e^x+3/x)\,dx$ en $x>0$.
Condiciones iniciales: fijar la constante
Una primitiva sola es una familia; un dato la reduce a una función. Si sabes que $F(x_0)=y_0$, sustituyes y despejas $C$.
Encuentra la primitiva $F$ de $f(x)=4x-3$ que satisface $F(0)=7$. La figura representa la derivada $f$, no la primitiva buscada.
Encuentra la primitiva $F$ de $f(x)=4x-3$ que satisface $F(0)=7$.
La figura representa la derivada $f$, no la primitiva buscada.
Halla una función $F$ con $F'(x)=6x^2-4x$ y $F(2)=10$. Determina también todas las soluciones si no se impone el valor en $2$.
Halla una función $F$ con $F'(x)=6x^2-4x$ y $F(2)=10$. Determina también todas las soluciones si no se impone el valor en $2$.
Sustitución (cambio de variable)
Es la regla de la cadena al revés. Si ves una función compuesta multiplicada por la derivada de su interior, cámbiala por una variable nueva.
Calcula $\int 2x(x^2+3)^4\,dx$ indicando la sustitución utilizada.
Calcula $\int 2x(x^2+3)^4\,dx$ indicando la sustitución utilizada.
Calcula $\int \frac{3}{3x+2}\,dx$ e indica los intervalos donde es válida tu expresión.
Calcula $\int \frac{3}{3x+2}\,dx$ e indica los intervalos donde es válida tu expresión.
Encuentra $F$ sabiendo que $F\prime(x)=\frac{2x}{x^2+4}$ y $F(0)=3$. Justifica que la fórmula sirve para todo número real.
Encuentra $F$ sabiendo que $F\prime(x)=\frac{2x}{x^2+4}$ y $F(0)=3$. Justifica que la fórmula sirve para todo número real.
Integración por partes y cocientes
Cocientes: simplificar o dividir antes
Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, divide. Por ejemplo, $\dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2}$, así que $\int\frac{x}{x+2}dx=x-2\ln|x+2|+C$, en $x>-2$ o en $x<-2$. Y $\dfrac{x^2+2x}{x}=x+2$ en $x>0$: simplificar antes evita un cálculo innecesario.
Si el numerador es múltiplo de la derivada del denominador, sale un logaritmo: $\int\frac{2x}{x^2+4}dx=\ln(x^2+4)+C$, válido en todo $\mathbb{R}$ porque $x^2+4>0$ siempre (no hace falta valor absoluto ni partir el dominio).
Calcula $\int xe^x\,dx$ mediante integración por partes y verifica el resultado.
Calcula $\int xe^x\,dx$ mediante integración por partes y verifica el resultado.
Halla una primitiva de $f(x)=(x^2+2x)/x$ en $x>0$ y explica por qué conviene simplificar primero.
Halla una primitiva de $f(x)=(x^2+2x)/x$ en $x>0$ y explica por qué conviene simplificar primero.
Calcula $\int \ln x\,dx$ para $x>0$ y explica por qué multiplicar $\ln x$ por $x$ no basta para obtener una primitiva.
Calcula $\int \ln x\,dx$ para $x>0$ y explica por qué multiplicar $\ln x$ por $x$ no basta para obtener una primitiva.
Vuelve al principio: del ingreso marginal solo recuperas el total salvo constante; el dato de partida (por ejemplo, ingreso nulo con cero ventas) es lo que la fija.