Monotonía, curvatura y estudio de funciones
Un negocio gana dinero al principio con cada unidad que vende, pero llega un punto en que vender más ya no compensa. ¿Cómo localizas ese punto sin dibujar la gráfica a ojo? La derivada te dice hacia dónde va la función y la segunda derivada te dice cómo se curva. Con ambas puedes describir una función entera sin tabular decenas de valores.
Monotonía: el signo de la primera derivada
El método es siempre el mismo: calcula $f'$, halla dónde vale $0$ (o no existe) y estudia el signo en cada intervalo que quedan esos puntos.
Estudia crecimiento y decrecimiento de $f(x)=x^2-6x+4$ e identifica el extremo local mediante el signo de $f'$.
Estudia crecimiento y decrecimiento de $f(x)=x^2-6x+4$ e identifica el extremo local mediante el signo de $f'$.
El beneficio diario es $B(q)=-q^2+20q-60$ euros, con $q$ una cantidad continua entre $0$ y $20$ kg. Determina dónde aumenta y dónde disminuye, y calcula el beneficio en…
El beneficio diario es $B(q)=-q^2+20q-60$ euros, con $q$ una cantidad continua entre $0$ y $20$ kg. Determina dónde aumenta y dónde disminuye, y calcula el beneficio en el punto de cambio.
Estudia el crecimiento y los extremos de $f(x)=(x-3)^2+2$ en la recta real.
Estudia el crecimiento y los extremos de $f(x)=(x-3)^2+2$ en la recta real.
Extremos locales y puntos estacionarios
Una función tiene $f'(x)>0$ si $x<2$ y $f'(x)<0$ si $x>2$, y es derivable en $2$. Clasifica el punto $x=2$ y justifica.
Una función tiene $f'(x)>0$ si $x<2$ y $f'(x)<0$ si $x>2$, y es derivable en $2$. Clasifica el punto $x=2$ y justifica.
Estudia monotonía y extremos relativos de $f(x)=x^3-3x$.
Estudia monotonía y extremos relativos de $f(x)=x^3-3x$.
Una función satisface $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$ en $\mathbb{R}$. Determina los intervalos de monotonía y clasifica sus puntos estacionarios sin conocer $f(x)$.
Una función satisface $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$ en $\mathbb{R}$. Determina los intervalos de monotonía y clasifica sus puntos estacionarios sin conocer $f(x)$.
Curvatura e inflexión: la segunda derivada
Para $f(x)=\ln x$, indica dominio, signo de $f'$ y signo de $f''$. Usa la convención «convexa» si $f''>0$ y «cóncava» si $f''<0$.
Para $f(x)=\ln x$, indica dominio, signo de $f'$ y signo de $f''$. Usa la convención «convexa» si $f''>0$ y «cóncava» si $f''<0$.
Determina los intervalos de curvatura y puntos de inflexión de $f(x)=x^3$. Usa «convexa» para $f''>0$ y «cóncava» para $f''<0$.
Determina los intervalos de curvatura y puntos de inflexión de $f(x)=x^3$. Usa «convexa» para $f''>0$ y «cóncava» para $f''<0$.
Para $f(x)=\ln(1+x^2)$, estudia monotonía y extremos, y halla los intervalos donde $f''$ es positiva o negativa.
Para $f(x)=\ln(1+x^2)$, estudia monotonía y extremos, y halla los intervalos donde $f''$ es positiva o negativa.
Cuando el criterio de la segunda derivada falla
Si $f'(a)=0$ y $f''(a)=0$, el criterio de la segunda derivada no decide. Hay que volver al signo de $f'$ a ambos lados.
Para $f(x)=x^4$, analiza $x=0$ usando los signos de $f'$ y $f''$. ¿Es un punto de inflexión?
Para $f(x)=x^4$, analiza $x=0$ usando los signos de $f'$ y $f''$. ¿Es un punto de inflexión?
Para $f(x)=x^4$, analiza el punto estacionario $x=0$. Explica por qué $f''(0)=0$ no basta para clasificarlo y resuélvelo con el signo de $f'$. La figura sirve de apoyo…
Para $f(x)=x^4$, analiza el punto estacionario $x=0$. Explica por qué $f''(0)=0$ no basta para clasificarlo y resuélvelo con el signo de $f'$.
La figura sirve de apoyo visual; justifica los cálculos a partir de la función dada.
Un informe concluye: «Si $f'(a)=f''(a)=0$, entonces $a$ es un punto de inflexión». Refútalo con dos polinomios que cumplan ambas igualdades en $a=0$: uno con mínimo y…
Un informe concluye: «Si $f'(a)=f''(a)=0$, entonces $a$ es un punto de inflexión». Refútalo con dos polinomios que cumplan ambas igualdades en $a=0$: uno con mínimo y otro con inflexión. Justifica sus clasificaciones mediante signos.
Estudio completo de una función
Un estudio ordenado evita olvidos:
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Dominio y, si procede, puntos de corte.
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Límites y asíntotas en las fronteras del dominio y en $\pm\infty$.
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Monotonía y extremos: signo de $f'$.
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Curvatura e inflexiones: signo de $f''$.
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Esquema coherente con todo lo anterior.
Estudia dominio, asíntotas, monotonía y extremos de $f(x)=x+1/x$. Dibuja después un esquema coherente con tus resultados.
Estudia dominio, asíntotas, monotonía y extremos de $f(x)=x+1/x$. Dibuja después un esquema coherente con tus resultados.
Estudia crecimiento, extremos y curvatura de $f(x)=xe^{-x}$ para $x\geq0$. Comprueba también el límite cuando $x\to+\infty$.
Estudia crecimiento, extremos y curvatura de $f(x)=xe^{-x}$ para $x\geq0$. Comprueba también el límite cuando $x\to+\infty$.
Realiza el estudio de dominio, asíntotas, monotonía y extremos de $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$. Usa la división de polinomios para obtener la asíntota oblicua.
Realiza el estudio de dominio, asíntotas, monotonía y extremos de $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$. Usa la división de polinomios para obtener la asíntota oblicua.
Extremos absolutos y funciones con parámetro
Estudia monotonía, extremos locales y curvatura de $f(x)=x^3-12x$. Indica las coordenadas de los puntos relevantes y justifica los cambios de signo.
Estudia monotonía, extremos locales y curvatura de $f(x)=x^3-12x$. Indica las coordenadas de los puntos relevantes y justifica los cambios de signo.
Considera $f_a(x)=x^3-3ax$ con parámetro real $a$. Clasifica el número y tipo de puntos estacionarios según $a$, incluyendo el caso $a=0$.
Considera $f_a(x)=x^3-3ax$ con parámetro real $a$. Clasifica el número y tipo de puntos estacionarios según $a$, incluyendo el caso $a=0$.
Estudia los extremos absolutos de $f(x)=x^3-3x$ en $[-2,3]$, incluyendo los extremos del intervalo.
Estudia los extremos absolutos de $f(x)=x^3-3x$ en $[-2,3]$, incluyendo los extremos del intervalo.
Aplicaciones: $\ln x/x$ y $xe^{-x}$
Dos funciones aparecen una y otra vez en economía: la que sube y luego se agota ($xe^{-x}$) y la que mezcla un logaritmo con un denominador ($\ln x/x$).
Decide si $f(x)=\ln x$ es creciente y si es convexa o cóncava en su dominio.
Decide si $f(x)=\ln x$ es creciente y si es convexa o cóncava en su dominio.
Para $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$, determina dominio, límites en sus fronteras, extremos y punto de inflexión. Usa «convexa» para $f''>0$ y «cóncava» para $f''<0$.
Para $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$, determina dominio, límites en sus fronteras, extremos y punto de inflexión. Usa «convexa» para $f''>0$ y «cóncava» para $f''<0$.
Estudia monotonía, extremos y curvatura de $f(x)=xe^{-x}$ para $x\geq0$.
Estudia monotonía, extremos y curvatura de $f(x)=xe^{-x}$ para $x\geq0$.
Vuelve al principio: el punto en que vender más deja de compensar es el máximo de la función beneficio, donde $B'$ cambia de $+$ a $-$.
Para $f(x)=x+1/x$ en $x>0$, determina extremos, curvatura y rango.
Para $f(x)=x+1/x$ en $x>0$, determina extremos, curvatura y rango.
Una función verifica $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$. Clasifica sus puntos estacionarios mediante signos y explica por qué no todos son extremos.
Una función verifica $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$. Clasifica sus puntos estacionarios mediante signos y explica por qué no todos son extremos.
Determina los intervalos de convexidad de $f(x)=x^3$ y su punto de inflexión.
Determina los intervalos de convexidad de $f(x)=x^3$ y su punto de inflexión.