Ecuaciones cuadráticas y racionales
Una tienda sabe que su ingreso es $I(q)=q(20-q)$ y quiere saber con cuántas unidades alcanza justo 96 unidades monetarias. Al plantearlo aparece una ecuación con $q^2$ y, casi siempre, dos soluciones posibles. ¿Cuándo valen las dos? ¿Cuándo hay que descartar una? ¿Y qué pasa si la incógnita aparece también en un denominador? Este apartado te da el método para resolverlo y, sobre todo, para comprobar qué respuestas tienen sentido.
Ecuaciones incompletas y producto nulo
Si falta algún término, no hace falta fórmula. Hay dos casos:
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Sin término en $x$ ($b=0$): se despeja $x^2$ y se toma la raíz, con las dos ramas $\pm$.
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Sin término independiente ($c=0$): se saca factor común $x$.
Resuelve $2x^2-8x=0$ sin perder ninguna raíz.
Resuelve $2x^2-8x=0$ sin perder ninguna raíz.
Un estudiante transforma $x(x-6)=0$ en $x-6=0$ dividiendo entre $x$. Explica qué solución pierde y formula la regla correcta para un producto nulo.
Un estudiante transforma $x(x-6)=0$ en $x-6=0$ dividiendo entre $x$. Explica qué solución pierde y formula la regla correcta para un producto nulo.
Factorización y relación con las raíces
Si buscas dos números que sumados den $-b$ y multiplicados den $c$ (en una mónica), puedes factorizar sin fórmula.
Resuelve $x^2-7x+12=0$ mediante factorización.
Resuelve $x^2-7x+12=0$ mediante factorización.
Escribe una ecuación cuadrática mónica cuyas raíces sean $-3$ y $2$.
Escribe una ecuación cuadrática mónica cuyas raíces sean $-3$ y $2$.
Resuelve $x^2+6x+9=0$ e indica la multiplicidad.
Resuelve $x^2+6x+9=0$ e indica la multiplicidad.
Fórmula general y discriminante
Cuando no ves la factorización, la fórmula siempre funciona. Sale de completar el cuadrado en $ax^2+bx+c=0$.
Mueve $a$ y observa cuántas veces corta la parábola al eje $x$. Con $a=1$ toca el eje en un solo punto: raíz doble.
Calcula el discriminante de $x^2+2x+5=0$ y determina cuántas soluciones reales tiene.
Calcula el discriminante de $x^2+2x+5=0$ y determina cuántas soluciones reales tiene.
Resuelve $3x^2-5x-2=0$ y comprueba ambas raíces.
Resuelve $3x^2-5x-2=0$ y comprueba ambas raíces.
Determina para qué valores reales de $k$ la ecuación $x^2-6x+k=0$ tiene dos raíces reales distintas, una raíz doble o ninguna real.
Determina para qué valores reales de $k$ la ecuación $x^2-6x+k=0$ tiene dos raíces reales distintas, una raíz doble o ninguna real.
Problemas y raíces admisibles
Una ecuación cuadrática modela áreas, ingresos o tiempos. Pero la matemática da dos raíces y el contexto puede aceptar solo una.
Un rectángulo tiene ancho $x>0$, largo $x+3$ y área $54\ \text{m}^2$. Plantea una ecuación y determina sus dimensiones descartando la raíz no admisible. Los datos del…
Un rectángulo tiene ancho $x>0$, largo $x+3$ y área $54\ \text{m}^2$. Plantea una ecuación y determina sus dimensiones descartando la raíz no admisible.
Los datos del enunciado se muestran en el siguiente esquema.
El producto de dos números enteros consecutivos es $56$. Halla todas las parejas, incluidas las negativas.
El producto de dos números enteros consecutivos es $56$. Halla todas las parejas, incluidas las negativas.
Ecuaciones racionales y soluciones extrañas
Si la incógnita aparece en un denominador, primero se fija el dominio (valores que no anulan ningún denominador). Después se multiplica por el denominador común, lo que da una ecuación polinómica, y al final se descartan las soluciones fuera del dominio.
¿Por qué se comprueba? Multiplicar por una expresión que puede valer $0$ puede introducir soluciones que no eran de la ecuación original.
Vuelve al principio: con $I(q)=96$ salen $q=8$ y $q=12$, ambas válidas, y solo el contexto decide si hay que descartar alguna.
Resuelve $\frac{12}{x}=x+1$ indicando primero el dominio.
Resuelve $\frac{12}{x}=x+1$ indicando primero el dominio.
Resuelve $\frac{x+1}{x-2}=3$ y verifica que la solución no anula el denominador.
Resuelve $\frac{x+1}{x-2}=3$ y verifica que la solución no anula el denominador.
Resuelve $\frac{x^2-4}{x-2}=4$ y explica por qué resolver solo la ecuación obtenida al quitar denominadores puede inducir a error.
Resuelve $\frac{x^2-4}{x-2}=4$ y explica por qué resolver solo la ecuación obtenida al quitar denominadores puede inducir a error.