Dominio e interpretación
Tu modelo de costes dice que producir $q$ unidades cuesta $C(q)=180+7q$. ¿Tiene sentido evaluarlo en $q=-3$ o en $q=2{,}5$ si las unidades son indivisibles? ¿Y qué pasa con $\frac{1}{x-4}$ en $x=4$? Antes de usar una fórmula hay que saber para qué valores vale. Eso es el dominio, y de ahí sale también qué resultados puede dar: la imagen.
Función, dominio e imagen
Que a cada entrada le corresponda una sola salida es lo único que se exige. Dos entradas distintas sí pueden dar la misma salida: dos personas pueden tener la misma edad y la relación «persona → edad» sigue siendo función. En cambio, un precio que aparece con dos ventas distintas no define una función de ese precio.
Una relación asigna a cada persona su edad en años cumplidos. ¿Es una función aunque varias personas tengan igual edad?
Una relación asigna a cada persona su edad en años cumplidos. ¿Es una función aunque varias personas tengan igual edad?
Una empresa declara los pares (precio, ventas) $(8,120)$, $(10,95)$, $(10,110)$ y $(12,80)$ para una misma campaña. ¿Definen las ventas como función solo del precio?…
Una empresa declara los pares (precio, ventas) $(8,120)$, $(10,95)$, $(10,110)$ y $(12,80)$ para una misma campaña. ¿Definen las ventas como función solo del precio? Justifica y propone una información adicional que permitiría distinguir los registros.
Restricciones algebraicas: fracciones y raíces
Si no se dice otra cosa, el dominio natural es el mayor conjunto de reales donde la fórmula se puede calcular. Dos prohibiciones básicas:
Calcula el dominio de $f(x)=\frac{3x+1}{x-4}$ y explica qué ocurre al intentar evaluar $f(4)$.
Calcula el dominio de $f(x)=\frac{3x+1}{x-4}$ y explica qué ocurre al intentar evaluar $f(4)$.
Determina el dominio de $g(x)=\sqrt{7-2x}$ y calcula $g(3)$.
Determina el dominio de $g(x)=\sqrt{7-2x}$ y calcula $g(3)$.
Halla el dominio de $f(x)=\frac1{\sqrt{x^2-4}}$.
Halla el dominio de $f(x)=\frac1{\sqrt{x^2-4}}$.
Logaritmos y condiciones combinadas
Cuando una fórmula mezcla varias restricciones, primero se escribe cada una por separado y después se intersecan. Si aparece un cociente dentro de una raíz o logaritmo, se usa una tabla de signos.
Halla el dominio de $f(x)=\ln(9-x^2)$. Explica por qué los extremos no se incluyen.
Halla el dominio de $f(x)=\ln(9-x^2)$. Explica por qué los extremos no se incluyen.
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}+\ln(5-x)$. Muestra la tabla de signos necesaria.
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}+\ln(5-x)$. Muestra la tabla de signos necesaria.
Determina el dominio de $f(x)=\frac{\ln(x^2-4)}{\sqrt{7-x}}$. Explica todas las restricciones antes de combinarlas.
Determina el dominio de $f(x)=\frac{\ln(x^2-4)}{\sqrt{7-x}}$. Explica todas las restricciones antes de combinarlas.
Imagen: ¿qué valores toma la función?
La imagen se obtiene razonando con la forma de la fórmula o con la gráfica. Sin derivar, se usan cotas conocidas: $x^2\geq0$, $\sqrt{\cdot}\geq0$, $\frac{1}{\text{algo grande}}$ es pequeño…
Con fracciones, razona qué ocurre al variar el denominador. Para $f(x)=\frac{2}{x^2+1}$: como $x^2+1\geq1$, se tiene $0 Halla dominio e imagen de $f(x)=x^2+4$. Determina dominio e imagen de $f(x)=2+\sqrt{x-1}$. Halla dominio e imagen de $f(x)=\frac{2}{x^2+1}$. Halla dominio e imagen de $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ y justifica ambos extremos sin derivar.Halla dominio e imagen de $f(x)=x^2+4$.
Determina dominio e imagen de $f(x)=2+\sqrt{x-1}$.
Halla dominio e imagen de $f(x)=\frac{2}{x^2+1}$.
Halla dominio e imagen de $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ y justifica ambos extremos sin derivar.
Leer una gráfica y transformar funciones
Desde la gráfica: el dominio es la proyección sobre el eje $x$ y la imagen, la proyección sobre el eje $y$. Una función crece donde al avanzar en $x$ sube, es constante donde es horizontal y decrece donde baja.
Para esta poligonal (puntos $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,3)$, $(4,0)$): dominio $[0,4]$, imagen $[0,3]$, crece en $[0,1]$, es constante en $[1,2]$ y decrece en $[2,4]$.
La gráfica de $f$ es la poligonal que une, en ese orden y con extremos incluidos, $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,3)$ y $(4,0)$. La figura representa los datos del enunciado.…
La gráfica de $f$ es la poligonal que une, en ese orden y con extremos incluidos, $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,3)$ y $(4,0)$.
La figura representa los datos del enunciado.
Determina su dominio, su imagen y los intervalos donde crece, permanece constante y decrece.
Sin derivar, describe las transformaciones de $y=\lvert x\rvert$ que producen $f(x)=3-2\lvert x-4\rvert$. Halla el máximo y los ceros.
Sin derivar, describe las transformaciones de $y=\lvert x\rvert$ que producen $f(x)=3-2\lvert x-4\rvert$. Halla el máximo y los ceros.
Dominio económico e interpretación
En un modelo, además de la fórmula cuenta el contexto: cantidades no negativas, precios no negativos, capacidad máxima, unidades divisibles o indivisibles. El dominio económico puede ser más pequeño que el algebraico.
Una fórmula simplificada puede cambiar el dominio. En $A(q)=\frac{q^2-25}{q-5}$, $q\geq0$, el modelo original excluye $q=5$ (división entre $0$), pero $q+5$ sí está definida allí. Coinciden en $[0,5)\cup(5,\infty)$; la imagen original es $[5,10)\cup(10,\infty)$, y al incluir $q=5$ la sustituta añade el valor $10$: $[5,\infty)$.
Otro caso: el coste medio $A(q)=8+\frac{90}{q}$ en $(0,30]$. Es decreciente, $A(30)=11$ y crece sin límite cuando $q\to0^+$. Imagen: $[11,\infty)$, sin máximo: a pocas unidades, el coste fijo se reparte entre casi nadie.
El coste de producir $q$ unidades es $C(q)=180+7q$, en euros. La capacidad diaria es de $40$ unidades indivisibles. Indica el dominio económico y calcula el coste de…
El coste de producir $q$ unidades es $C(q)=180+7q$, en euros. La capacidad diaria es de $40$ unidades indivisibles. Indica el dominio económico y calcula el coste de producir $12$ unidades. Interpreta $C(0)$.
Un modelo de demanda es $q(p)=240-8p$, donde $p$ es el precio en euros y $q$ una cantidad divisible. Exige precio y demanda no negativos. Determina dominio e imagen…
Un modelo de demanda es $q(p)=240-8p$, donde $p$ es el precio en euros y $q$ una cantidad divisible. Exige precio y demanda no negativos. Determina dominio e imagen económicos e interpreta los extremos.
El ingreso de una actividad es $R(q)=q(60-2q)$, en euros, para cantidad divisible $q\geq0$. Impón además precio no negativo. Halla el dominio económico, la imagen de $R$…
El ingreso de una actividad es $R(q)=q(60-2q)$, en euros, para cantidad divisible $q\geq0$. Impón además precio no negativo. Halla el dominio económico, la imagen de $R$ y todas las cantidades que generan $400\ \text{€}$. Puedes completar cuadrados.