Números y álgebra instrumental · Álgebra instrumental
Fracciones algebraicas
Un coste total $C(q)=q^2+12q+80$ no dice mucho por sí solo; lo que le interesa a una empresa es el coste por unidad, $C(q)/q$, y eso es una fracción con variable en el denominador. Al manipular estas expresiones aparece una trampa clásica: tachar un factor y creer que la expresión resultante es «lo mismo» que la original, incluso en los valores donde la original no existe. En este apartado aprenderás a operar con fracciones algebraicas y a responder siempre a la pregunta: ¿para qué valores tiene sentido lo que he escrito?
Qué es una fracción algebraica y su dominio
Dividir entre cero no tiene sentido: si $a\neq0$, no existe ningún número $c$ tal que $0\cdot c=a$, y $0/0$ queda indeterminado. Por eso cada denominador impone una restricción, y se calcula antes de manipular nada.
Practica★☆☆Sin empezar
Determina los valores de $x$ para los que no está definida $\frac{x+2}{x^2-9}$.
Determina los valores de $x$ para los que no está definida $\frac{x+2}{x^2-9}$.
Igualdad de funciones y descomposición en fracciones simples
Dos expresiones pueden coincidir en casi todos los puntos y aun así ser funciones distintas, porque una función incluye su dominio.
Descomposición en fracciones simples
A veces conviene el camino inverso: separar una fracción en suma de fracciones sencillas, algo que usarás al integrar.
¿Por qué sustituir $x=1$ y $x=-2$? Porque cada uno anula un paréntesis y deja solo una incógnita; la igualdad de numeradores vale para todo $x$ permitido, y los polinomios iguales lo son también en esos valores.
Practica★★★Sin empezar
Compara $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ y $g(x)=x+3$. Decide si son la misma función real con sus dominios naturales; indica dónde coinciden y cómo ampliar $f$ para igualarla a…
Compara $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ y $g(x)=x+3$. Decide si son la misma función real con sus dominios naturales; indica dónde coinciden y cómo ampliar $f$ para igualarla a $g$.
El coste total de $q>0$ unidades es $C(q)=q^2+12q+80$. Expresa el coste medio $C(q)/q$ como suma de términos e interpreta el término que disminuye al aumentar $q$.
El coste total de $q>0$ unidades es $C(q)=q^2+12q+80$. Expresa el coste medio $C(q)/q$ como suma de términos e interpreta el término que disminuye al aumentar $q$.
Una zona rectangular de carga tiene área $x^2+7x+12$ metros cuadrados y anchura $x+3$ metros, con $x>0$. Halla su longitud simplificando una fracción algebraica. Los…
Una zona rectangular de carga tiene área $x^2+7x+12$ metros cuadrados y anchura $x+3$ metros, con $x>0$. Halla su longitud simplificando una fracción algebraica.
Los datos del enunciado se muestran en el siguiente esquema.
Un cálculo cancela $x$ en $\frac{x+6}{x}$ y obtiene $7$. Identifica el error y determina exactamente para qué valores admisibles coincide por casualidad con el valor…
Un cálculo cancela $x$ en $\frac{x+6}{x}$ y obtiene $7$. Identifica el error y determina exactamente para qué valores admisibles coincide por casualidad con el valor verdadero.
Vuelve al principio: el coste medio $C(q)/q$ se obtiene dividiendo término a término, y toda cancelación exige $q\neq0$, que el contexto ($q>0$) ya garantiza.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel difícil en este apartado