Una comunidad de 800 usuarios crece un 5 % cada mes. ¿Cuántos tendrá dentro de un año? ¿Y cuándo llegará al doble? Sumar 40 usuarios cada mes no responde a estas preguntas: el crecimiento es proporcional a lo que ya hay. Aquí aprenderás el modelo que lo describe, la herramienta para despejar el tiempo (el logaritmo) y cómo distinguirlo del crecimiento lineal.
Crecimiento y decrecimiento con factor constante
¿Por qué? Aumentar un $5\%$ es multiplicar por $1{,}05$. Hacerlo $t$ veces seguidas es multiplicar por $1{,}05^t$. Perder un $20\%$ es conservar el $80\%$, es decir, multiplicar por $0{,}8$.
Practica★☆☆Sin empezar
Una población se triplica cada periodo. Si empieza en $40$, calcula el tamaño tras tres periodos.
Una población se triplica cada periodo. Si empieza en $40$, calcula el tamaño tras tres periodos.
Una comunidad comienza con $800$ usuarios y crece un $5\%$ mensual compuesto. La figura representa los datos del enunciado. Escribe $N(t)$ para meses enteros y calcula…
Una comunidad comienza con $800$ usuarios y crece un $5\%$ mensual compuesto.
La figura representa los datos del enunciado.
Escribe $N(t)$ para meses enteros y calcula $N(2)$.
Tiempos de duplicación, vida media y funciones inversas
Para saber cuándo un modelo alcanza un valor, se aísla la exponencial y se aplica $\ln$.
Practica★★☆Sin empezar
Un fondo ficticio evoluciona según $A(t)=4000\cdot1,06^t$, con $t\geq0$ en años. Calcula el tiempo real para duplicarse y el primer aniversario en que ya se ha…
Un fondo ficticio evoluciona según $A(t)=4000\cdot1,06^t$, con $t\geq0$ en años. Calcula el tiempo real para duplicarse y el primer aniversario en que ya se ha duplicado. Redondea el tiempo real a dos decimales.
Una concentración evoluciona según $Q(t)=90\cdot e^{-0,2t}$, con $t$ en horas. Determina el tiempo exacto para quedar reducida a un tercio y aproxímalo a dos decimales.
Una concentración evoluciona según $Q(t)=90\cdot e^{-0,2t}$, con $t$ en horas. Determina el tiempo exacto para quedar reducida a un tercio y aproxímalo a dos decimales.
Una demanda es $q(p)=500\cdot e^{-0,08p}$ para $p\geq0$. Obtén su inversa con el dominio correcto y el aumento de precio necesario para reducir cualquier demanda inicial…
Una demanda es $q(p)=500\cdot e^{-0,08p}$ para $p\geq0$. Obtén su inversa con el dominio correcto y el aumento de precio necesario para reducir cualquier demanda inicial a la mitad.
Lineal frente a exponencial y comparación de modelos
Un modelo lineal suma una cantidad fija por periodo ($A(t)=100+20t$); uno exponencial multiplica por un factor fijo ($B(t)=100\cdot1{,}2^t$). Empiezan igual, pero no se parecen después.
$t$
0
1
2
3
$A(t)$
100
120
140
160
$B(t)$
100
120
144
172,8
Coinciden en $t=0$ y $t=1$ (mismo crecimiento inicial), pero desde $t=2$ la exponencial gana, porque cada aumento se calcula sobre una base mayor.
Practica★★☆Sin empezar
Los modelos $A(t)=100+20t$ y $B(t)=100\cdot1,2^t$ representan usuarios para años enteros $t\geq0$. Compara sus valores en $t=0,1,2,3$ y explica la diferencia entre sus…
Los modelos $A(t)=100+20t$ y $B(t)=100\cdot1,2^t$ representan usuarios para años enteros $t\geq0$. Compara sus valores en $t=0,1,2,3$ y explica la diferencia entre sus reglas de crecimiento.
Dos modelos de población de clientes son $A(t)=1200\cdot1,04^t$ y $B(t)=900\cdot1,08^t$, con $t\geq0$ en años. Obtén cuándo se igualan y el primer año entero en que $B$…
Dos modelos de población de clientes son $A(t)=1200\cdot1,04^t$ y $B(t)=900\cdot1,08^t$, con $t\geq0$ en años. Obtén cuándo se igualan y el primer año entero en que $B$ supera a $A$.
Dos procesos reducen un stock inicial positivo: el primero conserva un $70\%$ cada tres días y el segundo un $88\%$ cada día. Modela ambos para tiempo real no negativo,…
Dos procesos reducen un stock inicial positivo: el primero conserva un $70\%$ cada tres días y el segundo un $88\%$ cada día. Modela ambos para tiempo real no negativo, calcula sus factores diarios y determina cuál reduce más rápido el stock.
Vuelve al principio: los 800 usuarios al $5\%$ mensual son $800\cdot1{,}05^{12}\approx1437$ en un año, y duplicarse lleva $\ln2/\ln1{,}05\approx14{,}2$ meses.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado