Producto, cociente y regla de la cadena
Un índice de adopción de una app crece al principio y luego se satura: se parece a $t\,e^{-t/4}$, un producto de una función que sube y otra que baja. ¿Cuándo deja de crecer? Para saberlo hay que derivar, y ni la suma ni las derivadas básicas bastan: aquí aparecen productos, cocientes y funciones metidas dentro de otras. Con tres reglas lo resuelves todo.
Regla del producto
Deriva $f(x)=(x+2)(x^2+1)$ usando producto y comprueba el resultado desarrollando primero.
Deriva $f(x)=(x+2)(x^2+1)$ usando producto y comprueba el resultado desarrollando primero.
Deriva $f(x)=x^2e^x$ indicando la regla aplicada.
Deriva $f(x)=x^2e^x$ indicando la regla aplicada.
Calcula $f'(x)$ para $f(x)=x^2\ln x$, con $x>0$, y evalúa en $x=1$.
Calcula $f'(x)$ para $f(x)=x^2\ln x$, con $x>0$, y evalúa en $x=1$.
Regla del cociente
Deriva $f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}$ e indica los valores excluidos del dominio.
Deriva $f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}$ e indica los valores excluidos del dominio.
Deriva $f(x)=\dfrac{e^x}{x+1}$ y determina en qué puntos del dominio se anula su derivada.
Deriva $f(x)=\dfrac{e^x}{x+1}$ y determina en qué puntos del dominio se anula su derivada.
Deriva $f(x)=e^{2x}/(x+1)$ y determina los puntos de tangente horizontal.
Deriva $f(x)=e^{2x}/(x+1)$ y determina los puntos de tangente horizontal.
Regla de la cadena
Calcula la derivada de $f(x)=(3x-2)^4$ identificando función exterior e interior.
Calcula la derivada de $f(x)=(3x-2)^4$ identificando función exterior e interior.
Calcula la derivada de $f(x)=\ln(3x+2)$ e indica su dominio real.
Calcula la derivada de $f(x)=\ln(3x+2)$ e indica su dominio real.
Calcula $f'(1)$ para $f(x)=\sqrt{x^2+3}$.
Calcula $f'(1)$ para $f(x)=\sqrt{x^2+3}$.
Combinar reglas y cuidar el dominio
Casi todo ejercicio real mezcla las tres reglas. Estrategia: identifica la operación más exterior (suma, producto, cociente, composición) y trabaja hacia dentro. Antes de derivar, comprueba si una propiedad algebraica simplifica la expresión.
Calcula la derivada de $f(x)=\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right)$ para $x>0$ de dos formas: cadena y propiedades del logaritmo.
Calcula la derivada de $f(x)=\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right)$ para $x>0$ de dos formas: cadena y propiedades del logaritmo.
Un índice adimensional de adopción es $A(t)=t e^{-t/4}$, con $t\geq0$ en meses. Halla $A'(t)$ y los meses en que su tasa de cambio es positiva, nula o negativa.
Un índice adimensional de adopción es $A(t)=t e^{-t/4}$, con $t\geq0$ en meses. Halla $A'(t)$ y los meses en que su tasa de cambio es positiva, nula o negativa.
El coste depende de $q$ como $C(q)=100+2q^2$ y la producción del tiempo como $q(t)=3t+1$. Halla $dC/dt$ en $t=2$ e interpreta las unidades si $C$ está en euros y $t$ en…
El coste depende de $q$ como $C(q)=100+2q^2$ y la producción del tiempo como $q(t)=3t+1$. Halla $dC/dt$ en $t=2$ e interpreta las unidades si $C$ está en euros y $t$ en horas.
Derivación logarítmica y funciones logísticas
Deriva $f(x)=x\ln x-x$ y explica la cancelación que aparece, para $x>0$.
Deriva $f(x)=x\ln x-x$ y explica la cancelación que aparece, para $x>0$.
Para $x>0$, deriva $f(x)=x^x$ tomando logaritmos y determina dónde es horizontal su tangente.
Para $x>0$, deriva $f(x)=x^x$ tomando logaritmos y determina dónde es horizontal su tangente.
Un índice de saturación es $S(t)=\dfrac{1}{1+4e^{-t}}$, con $t\geq0$ en años. Calcula $S'(t)$ y verifica algebraicamente que $S'=S(1-S)$.
Un índice de saturación es $S(t)=\dfrac{1}{1+4e^{-t}}$, con $t\geq0$ en años. Calcula $S'(t)$ y verifica algebraicamente que $S'=S(1-S)$.
Vuelve al principio: $A'(t)=e^{-t/4}(1-t/4)$ se anula en $t=4$, así que la adopción deja de crecer al cuarto mes.