Elasticidad
Una plataforma de streaming sube su cuota un 2 %. ¿Perderá tantos suscriptores que la subida le saldrá cara, o apenas se notará y ingresará más? La derivada $q'(p)$ da la pendiente en unidades concretas (suscriptores por euro), pero depende de las unidades y no permite comparar mercados. La elasticidad compara cambios relativos, en porcentaje, y responde a esa pregunta.
Elasticidad precio de la demanda
Si el precio pasa de $p$ a $p+\Delta p$, el cambio relativo del precio es $\Delta p/p$ y el de la cantidad es $\Delta q/q$. El cociente entre ambos es la elasticidad. Al hacer $\Delta p\to 0$ aparece la derivada.
La demanda es $q(p)=200-5p$ unidades semanales para $0<p<40$, con $p$ en euros por unidad. Usa la elasticidad con signo $\varepsilon(p)=p q'(p)/q(p)$: calcúlala en…
La demanda es $q(p)=200-5p$ unidades semanales para $0
Usa la elasticidad precio positiva $E(p)=-p\,q'(p)/q(p)$. Si $p=5$, $q=100$ y $q'=-10$, calcula $E$ y clasifica la demanda.
Usa la elasticidad precio positiva $E(p)=-p\,q'(p)/q(p)$. Si $p=5$, $q=100$ y $q'=-10$, calcula $E$ y clasifica la demanda.
La demanda tiene elasticidad con signo $\varepsilon=-1,5$ en el precio actual. Usa $\Delta q/q\approx\varepsilon\Delta p/p$ para estimar el cambio porcentual de demanda…
La demanda tiene elasticidad con signo $\varepsilon=-1,5$ en el precio actual. Usa $\Delta q/q\approx\varepsilon\Delta p/p$ para estimar el cambio porcentual de demanda si el precio sube un $2\%$.
Cálculo en modelos habituales
Para calcular $\varepsilon$ se deriva, se sustituye y se simplifica. Tres familias aparecen continuamente.
Para $q(p)=600/p$, con $p>0$ en euros por unidad y demanda semanal en unidades, calcula $\varepsilon=pq'/q$. ¿Depende del precio?
Para $q(p)=600/p$, con $p>0$ en euros por unidad y demanda semanal en unidades, calcula $\varepsilon=pq'/q$. ¿Depende del precio?
Para $q(p)=80-4p$, calcula la elasticidad precio positiva en $p=5$.
Para $q(p)=80-4p$, calcula la elasticidad precio positiva en $p=5$.
Sea $q(p)=160-4p$ para $0<p<40$. Con $\varepsilon=pq'/q$, encuentra los tramos de demanda inelástica, unitaria y elástica usando $|\varepsilon|$.
Sea $q(p)=160-4p$ para $0
Estimaciones y variación exacta
Una demanda tiene elasticidad precio positiva $E=1,4$. Estima la variación porcentual de la cantidad ante una subida pequeña del precio del $2\%$.
Una demanda tiene elasticidad precio positiva $E=1,4$. Estima la variación porcentual de la cantidad ante una subida pequeña del precio del $2\%$.
La demanda es $q(p)=300p^{-2}$ unidades semanales para $p>0$, con $p$ en euros por unidad. Calcula $\varepsilon=pq'/q$ y compara la estimación porcentual de demanda para…
La demanda es $q(p)=300p^{-2}$ unidades semanales para $p>0$, con $p$ en euros por unidad. Calcula $\varepsilon=pq'/q$ y compara la estimación porcentual de demanda para una subida del precio del $5\%$ con la variación exacta.
Para $q(p)=100/p^2$, compara la caída porcentual exacta de cantidad cuando el precio sube un $10\%$ con la estimación por elasticidad.
Para $q(p)=100/p^2$, compara la caída porcentual exacta de cantidad cuando el precio sube un $10\%$ con la estimación por elasticidad.
Elasticidad e ingreso
El ingreso es $I(p)=p\,q(p)$. Al subir el precio, cada unidad se vende más cara pero se venden menos: el resultado depende de cuál de los dos efectos pesa más.
Si $E=0,6$, predice el sentido del cambio del ingreso total ante una pequeña subida del precio, explicando el balance porcentual.
Si $E=0,6$, predice el sentido del cambio del ingreso total ante una pequeña subida del precio, explicando el balance porcentual.
Una demanda tiene $E=1,2$ y el precio aumenta un $3\%$. Estima por separado los cambios porcentuales de cantidad e ingreso, despreciando productos de variaciones.
Una demanda tiene $E=1,2$ y el precio aumenta un $3\%$. Estima por separado los cambios porcentuales de cantidad e ingreso, despreciando productos de variaciones.
La demanda es $q(p)=500e^{-0,1p}$ unidades semanales para $p>0$ en euros por unidad. Calcula $\varepsilon=pq'/q$ y determina el precio que maximiza globalmente…
La demanda es $q(p)=500e^{-0,1p}$ unidades semanales para $p>0$ en euros por unidad. Calcula $\varepsilon=pq'/q$ y determina el precio que maximiza globalmente $I(p)=pq(p)$. Comprueba límites y signos.
Demostraciones y casos con condiciones
Los problemas difíciles piden razonar con la fórmula general. Hay dos ideas: comparar pendientes con elasticidades, y usar $I'=q(1-E)$ como ecuación.
Para una demanda positiva $q(p)$ se define $\varepsilon=pq'/q$ e ingreso $I(p)=pq(p)$. Demuestra que $I'(p)=q(p)(1+\varepsilon(p))$ y determina el signo del cambio local…
Para una demanda positiva $q(p)$ se define $\varepsilon=pq'/q$ e ingreso $I(p)=pq(p)$. Demuestra que $I'(p)=q(p)(1+\varepsilon(p))$ y determina el signo del cambio local de ingreso cuando $\varepsilon=-0,6$.
Una demanda diferenciable y positiva cumple $pq'(p)/q(p)=-1$ para todo $p>0$ y $q(5)=80$. Demuestra mediante la derivada del ingreso que $pq(p)$ es constante, deduce…
Una demanda diferenciable y positiva cumple $pq'(p)/q(p)=-1$ para todo $p>0$ y $q(5)=80$. Demuestra mediante la derivada del ingreso que $pq(p)$ es constante, deduce $q(p)$ y calcula el cambio exacto de demanda si el precio aumenta un $10\%$.
Demuestra que, para $R(p)=p\,q(p)$ y $q(p)>0$, se cumple $R'(p)=q(p)[1-E(p)]$, usando $E=-pq'/q$. Interpreta los tres casos respecto a $1$.
Demuestra que, para $R(p)=p\,q(p)$ y $q(p)>0$, se cumple $R'(p)=q(p)[1-E(p)]$, usando $E=-pq'/q$. Interpreta los tres casos respecto a $1$.
Vuelve al principio: con una demanda elástica ($E>1$), subir un 2 % la cuota reduce el ingreso; con una inelástica ($E<1$), lo aumenta. La elasticidad dice en qué caso está tu plataforma.