Rentas vencidas y anticipadas
Ahorras 100 € al final de cada año y quieres saber cuánto tendrás al cabo de cinco años. Otra persona paga un equipo en cuatro cuotas y quiere saber su precio equivalente hoy. Sumar los pagos sin más no sirve, porque cada uno está en una fecha distinta. La pregunta es cómo valorar de golpe una sucesión de pagos iguales, y qué cambia si se pagan al principio o al final de cada periodo.
Qué es una renta y qué significa «vencida» o «anticipada»
Lo único que distingue ambas rentas es la fecha de cada pago: la anticipada es la vencida desplazada un periodo hacia atrás. Dibujarlo evita casi todos los errores.
Una renta paga $200\ \text{€}$ al final de cada uno de los próximos tres años. Con tipo del $0\%$, calcula su valor hoy y al final del tercer año. Redondea los importes…
Una renta paga $200\ \text{€}$ al final de cada uno de los próximos tres años. Con tipo del $0\%$, calcula su valor hoy y al final del tercer año. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Una persona aporta $50\ \text{€}$ al final de cada mes durante cuatro meses. Sin intereses, ¿cuánto acumula justo después del cuarto ingreso? Redondea los importes a…
Una persona aporta $50\ \text{€}$ al final de cada mes durante cuatro meses. Sin intereses, ¿cuánto acumula justo después del cuarto ingreso? Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Valor final de una renta vencida
Con interés cero basta sumar. Con interés, cada pago se capitaliza durante los periodos que le quedan hasta la fecha final: el último no genera intereses, el penúltimo uno, y así hasta el primero, que genera $n-1$.
Se ingresan $100\ \text{€}$ al final de cada uno de los tres próximos años en una cuenta al $5\%$ efectivo anual compuesto. Calcula el saldo justo después del tercer…
Se ingresan $100\ \text{€}$ al final de cada uno de los tres próximos años en una cuenta al $5\%$ efectivo anual compuesto. Calcula el saldo justo después del tercer ingreso. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
El siguiente esquema sitúa los datos y las incógnitas de la operación.
Se realizan tres ingresos de $200\ \text{€}$ en $t=1,2,3$. Al calcular el saldo justo después del tercero, ¿qué exponentes corresponden a los tres ingresos si el tipo…
Se realizan tres ingresos de $200\ \text{€}$ en $t=1,2,3$. Al calcular el saldo justo después del tercero, ¿qué exponentes corresponden a los tres ingresos si el tipo efectivo anual es $i$? Escribe la suma y explica el exponente cero. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Se ahorran $150\ \text{€}$ al final de cada mes durante un año al $0,5\%$ efectivo mensual compuesto. Calcula el saldo justo después del ingreso doce. Redondea los…
Se ahorran $150\ \text{€}$ al final de cada mes durante un año al $0,5\%$ efectivo mensual compuesto. Calcula el saldo justo después del ingreso doce. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Valor actual de una renta vencida
El valor actual es el equivalente en $t=0$. Cada pago se descuenta tantos periodos como indica su instante: el pago de $t=k$ vale hoy $R(1+i)^{-k}$.
Dos cobros de $110\ \text{€}$ se producen al final de los años uno y dos. Calcula su valor actual al $10\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos…
Dos cobros de $110\ \text{€}$ se producen al final de los años uno y dos. Calcula su valor actual al $10\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Un equipo se paga con cuatro cuotas de $500\ \text{€}$ al final de los años uno a cuatro. Calcula el precio equivalente hoy al $6\%$ efectivo anual compuesto. Redondea…
Un equipo se paga con cuatro cuotas de $500\ \text{€}$ al final de los años uno a cuatro. Calcula el precio equivalente hoy al $6\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Rentas anticipadas y diferidas
Una renta anticipada es una vencida adelantada un periodo, así que todo su valor se multiplica por $(1+i)$.
Se ingresan $100\ \text{€}$ al principio de cada uno de dos años, en los instantes $t=0$ y $t=1$. Calcula el saldo en $t=2$ al $10\%$ efectivo anual compuesto. Redondea…
Se ingresan $100\ \text{€}$ al principio de cada uno de dos años, en los instantes $t=0$ y $t=1$. Calcula el saldo en $t=2$ al $10\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Se realizan cuatro ingresos de $300\ \text{€}$ al principio de cada año, en $t=0,1,2,3$. Calcula el saldo en $t=4$ al $3\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los…
Se realizan cuatro ingresos de $300\ \text{€}$ al principio de cada año, en $t=0,1,2,3$. Calcula el saldo en $t=4$ al $3\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Tres pagos de cuantía constante $R$ se efectuarán en $t=3,4,5$. Su valor actual es $3000\ \text{€}$. Calcula $R$ al $5\%$ efectivo anual compuesto, mostrando el…
Tres pagos de cuantía constante $R$ se efectuarán en $t=3,4,5$. Su valor actual es $3000\ \text{€}$. Calcula $R$ al $5\%$ efectivo anual compuesto, mostrando el diferimiento. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Despejar la cuota o el número de pagos
Las fórmulas relacionan cuatro magnitudes: $R$, $i$, $n$ y el valor ($S$ o $A$). Dado el resto, se despeja la que falta. El procedimiento es siempre el mismo: plantea el valor en la fecha que pide el enunciado y despeja.
¿Qué ingreso constante al final de cada año durante cinco años permite reunir $6000\ \text{€}$ justo tras el quinto, al $4\%$ efectivo anual compuesto? Redondea los…
¿Qué ingreso constante al final de cada año durante cinco años permite reunir $6000\ \text{€}$ justo tras el quinto, al $4\%$ efectivo anual compuesto? Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Se desea reunir $10000\ \text{€}$ en $t=5$. Se aportan $2000\ \text{€}$ en $t=0$ y una cantidad constante en $t=1,2,3,4,5$. Calcula esa cantidad al $3\%$ efectivo anual…
Se desea reunir $10000\ \text{€}$ en $t=5$. Se aportan $2000\ \text{€}$ en $t=0$ y una cantidad constante en $t=1,2,3,4,5$. Calcula esa cantidad al $3\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Se aportan $500\ \text{€}$ al final de cada año al $5\%$ efectivo anual compuesto. Encuentra el número mínimo de aportaciones para tener al menos $3000\ \text{€}$ justo…
Se aportan $500\ \text{€}$ al final de cada año al $5\%$ efectivo anual compuesto. Encuentra el número mínimo de aportaciones para tener al menos $3000\ \text{€}$ justo después de la última. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Combinar rentas y cambiar de fecha
Cuando la situación no encaja en una sola fórmula, se descompone: cada tramo se valora como renta en su propia fecha y después se lleva todo a una fecha común con $(1+i)^{k}$. Valora siempre en la fecha que pide el enunciado, aunque no coincida con la de la fórmula.
Se ingresan $500\ \text{€}$ hoy y $200\ \text{€}$ al final de cada uno de los tres próximos años. Calcula el saldo justo tras el tercer ingreso periódico al $4\%$…
Se ingresan $500\ \text{€}$ hoy y $200\ \text{€}$ al final de cada uno de los tres próximos años. Calcula el saldo justo tras el tercer ingreso periódico al $4\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Se quiere disponer de $8000\ \text{€}$ al final de tres años mediante ingresos iguales al principio de cada semestre: en meses $0,6,12,18,24,30$. El tipo es $4\%$…
Se quiere disponer de $8000\ \text{€}$ al final de tres años mediante ingresos iguales al principio de cada semestre: en meses $0,6,12,18,24,30$. El tipo es $4\%$ efectivo anual. Calcula el tipo semestral equivalente y cada ingreso. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Se reciben $1000\ \text{€}$ al final de cada uno de los próximos cuatro años. Calcula el capital equivalente en $t=2$, incluyendo cobros anteriores y posteriores, al…
Se reciben $1000\ \text{€}$ al final de cada uno de los próximos cuatro años. Calcula el capital equivalente en $t=2$, incluyendo cobros anteriores y posteriores, al $5\%$ efectivo anual compuesto. Redondea los importes a céntimos solo al final, si es necesario.
Vuelve al principio: el ahorro anual de 100 € durante cinco años vale $100\cdot\frac{(1+i)^5-1}{i}$ al final, y las cuatro cuotas de un equipo valen hoy $R\cdot\frac{1-(1+i)^{-4}}{i}$.