Matrices, operaciones e interpretación
Una cadena con dos tiendas vende tres productos cada semana. Con una tabla de seis números tienes toda la información, pero ¿cómo calculas los ingresos de cada tienda de una sola vez, sin repetir la misma cuenta fila por fila? Las matrices organizan los datos y convierten esa cuenta en una sola operación. Al final del apartado verás cuál es.
Matrices: dimensión, entradas e interpretación
En economía, cada fila y cada columna tienen un significado. Si $V$ guarda ventas con tiendas por filas y productos por columnas, $v_{ij}$ son las unidades del producto $j$ vendidas en la tienda $i$.
Dos matrices del mismo tipo solo tienen sentido sumadas si cada posición significa lo mismo. Sumar por columnas las ventas de las dos tiendas da el total de cada producto.
La matriz $A=\begin{pmatrix}4&7&2\\6&1&5\end{pmatrix}$ registra ventas: filas tiendas, columnas productos. Indica su dimensión e interpreta $a_{23}$.
La matriz $A=\begin{pmatrix}4&7&2\\6&1&5\end{pmatrix}$ registra ventas: filas tiendas, columnas productos. Indica su dimensión e interpreta $a_{23}$.
Las ventas de dos tiendas de los productos A, B y C son $V=\begin{pmatrix}12&8&5\\7&10&9\end{pmatrix}$. Identifica las dimensiones, interpreta $v_{23}$ y calcula el…
Las ventas de dos tiendas de los productos A, B y C son $V=\begin{pmatrix}12&8&5\\7&10&9\end{pmatrix}$. Identifica las dimensiones, interpreta $v_{23}$ y calcula el total vendido de cada producto.
Suma, resta y producto por un escalar
Las ecuaciones matriciales se despejan como las numéricas. En $2X+A=B$: $X=\tfrac12(B-A)$.
Calcula $A+B$ para $A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}4&2\\5&-1\end{pmatrix}$.
Calcula $A+B$ para $A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}4&2\\5&-1\end{pmatrix}$.
Calcula $2A-B$ para $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&1\\-1&4\end{pmatrix}$.
Calcula $2A-B$ para $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&1\\-1&4\end{pmatrix}$.
Resuelve $2X+A=B$ si $A=\begin{pmatrix}2&0\\-2&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}6&8\\0&2\end{pmatrix}$.
Resuelve $2X+A=B$ si $A=\begin{pmatrix}2&0\\-2&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}6&8\\0&2\end{pmatrix}$.
Traspuesta y simetría
Una matriz de gastos con departamentos en filas y meses en columnas se traspone para tener meses en filas: es la misma información, leída desde otro ángulo. Para que $A=\begin{pmatrix}2&x+1\\5&3\end{pmatrix}$ sea simétrica, la entrada $(1,2)$ debe igualar la $(2,1)$: $x+1=5$.
Escribe la traspuesta de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ e indica sus dimensiones.
Escribe la traspuesta de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ e indica sus dimensiones.
El gasto de dos departamentos en dos meses es $G=\begin{pmatrix}120&150\\80&100\end{pmatrix}$, en euros. Las filas representan departamentos y las columnas, meses.…
El gasto de dos departamentos en dos meses es $G=\begin{pmatrix}120&150\\80&100\end{pmatrix}$, en euros. Las filas representan departamentos y las columnas, meses. Escribe $G^T$ e interpreta sus filas. Construye una multiplicación matricial que sume el gasto de cada departamento.
Determina $x$ para que $A=\begin{pmatrix}2&x+1\\5&3\end{pmatrix}$ sea simétrica y calcula entonces $A+A^{\mathsf T}$.
Determina $x$ para que $A=\begin{pmatrix}2&x+1\\5&3\end{pmatrix}$ sea simétrica y calcula entonces $A+A^{\mathsf T}$.
Producto de matrices
¿Por qué así? Si una fila de $A$ son cantidades vendidas y una columna de $B$ son precios, multiplicar cada cantidad por su precio y sumar da un ingreso. Esa es la operación que se repite en cada entrada.
Con esto se responde al gancho: si $V$ son las ventas y $p$ el vector de precios, $Vp$ da el ingreso de cada tienda en una sola operación. Para el margen bruto basta restar costes a precios: $V(p-c)$.
Una matriz $A$ tiene $2$ filas y $3$ columnas y una matriz $B$ tiene $3$ filas y $4$ columnas. Indica cuáles de $AB$, $BA$ y $A+B$ existen y las dimensiones de los…
Una matriz $A$ tiene $2$ filas y $3$ columnas y una matriz $B$ tiene $3$ filas y $4$ columnas. Indica cuáles de $AB$, $BA$ y $A+B$ existen y las dimensiones de los resultados válidos.
Calcula $\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ e interpreta el resultado si el primer vector son cantidades y el segundo precios unitarios en…
Calcula $\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ e interpreta el resultado si el primer vector son cantidades y el segundo precios unitarios en euros.
Las unidades vendidas por dos sucursales son $V=\begin{pmatrix}4&6\\3&8\end{pmatrix}$, con columnas correspondientes a dos productos. Sus precios unitarios en euros son…
Las unidades vendidas por dos sucursales son $V=\begin{pmatrix}4&6\\3&8\end{pmatrix}$, con columnas correspondientes a dos productos. Sus precios unitarios en euros son $p=\begin{pmatrix}12\\5\end{pmatrix}$. Calcula $Vp$ e interpreta cada componente.
Propiedades y diferencias con los números
Un ejemplo: $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ cumple $N^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ aunque $N\neq0$. Las matrices no se comportan como números, donde $x^2=0$ obliga a $x=0$.
Como $AB\neq BA$, los productos notables fallan:
$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2,$$
que solo coincide con $A^2+2AB+B^2$ si $AB=BA$.
Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$. ¿Conmutan?
Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$. ¿Conmutan?
Sea $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Calcula $N^2$ y $(I+N)^2$. Explica por qué $N^2=0$ no obliga a $N=0$.
Sea $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Calcula $N^2$ y $(I+N)^2$. Explica por qué $N^2=0$ no obliga a $N=0$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, calcula $(AB)^{\mathsf T}$ y $B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$. Explica qué orden…
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, calcula $(AB)^{\mathsf T}$ y $B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$. Explica qué orden conserva la igualdad.
Modelos de producción y costes
Las matrices brillan al encadenar tablas: unidades por taller, materiales por unidad y coste por material. Cada producto cuadra las unidades «interiores» y deja las etiquetas de los extremos.
$RQ$ no representa esto porque multiplicaría productos×materiales por talleres×productos: cuadraría las dimensiones $2\times2$, pero emparejaría materiales con talleres, que es una magnitud sin sentido.
Una fábrica usa $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ horas por unidad: las filas representan corte y montaje; las columnas, productos A y B. Calcula las horas…
Una fábrica usa $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ horas por unidad: las filas representan corte y montaje; las columnas, productos A y B. Calcula las horas necesarias para fabricar $\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ unidades e identifica el proceso que requiere más horas.
El esquema muestra las necesidades de cada producto.
Dos talleres fabrican A y B según $Q=\begin{pmatrix}3&5\\4&2\end{pmatrix}$, con talleres por filas. Cada unidad usa materiales según…
Dos talleres fabrican A y B según $Q=\begin{pmatrix}3&5\\4&2\end{pmatrix}$, con talleres por filas. Cada unidad usa materiales según $R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, con productos por filas y materiales X e Y por columnas. Calcula $QR$ y, si los materiales cuestan $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ euros por unidad, el coste material de cada taller. Explica por qué $RQ$ no representa esa misma operación.
Dos tiendas venden tres productos según $V=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}$. Sus costes unitarios son $c=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}$ y precios…
Dos tiendas venden tres productos según $V=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}$. Sus costes unitarios son $c=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}$ y precios $p=\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}$. Calcula el margen bruto por tienda mediante un único producto matricial.