Números y álgebra instrumental · Álgebra instrumental
Polinomios y factorización
Un modelo de empresa dice que el beneficio por vender $q$ unidades es $-q^2+18q-45$. ¿Para qué cantidades no hay ganancias ni pérdidas? Responder exige escribir esa expresión como producto de factores sencillos. Eso es factorizar, y es la herramienta que usarás en casi todo lo que viene después: ecuaciones, inecuaciones, límites y derivadas.
Operar con polinomios
Sumar y restar es agrupar términos semejantes (misma potencia de $x$). Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva a cada pareja de términos. Al multiplicar, los grados se suman y los coeficientes principales se multiplican; por eso $(2x^2+1)(x^3-4)$ tiene grado $5$ y coeficiente principal $2$.
Un estudiante desarrolla $(x-5)^2$ como $x^2-25$. Corrige la igualdad y explica la diferencia entre cuadrado de una diferencia y diferencia de cuadrados.
Un estudiante desarrolla $(x-5)^2$ como $x^2-25$. Corrige la igualdad y explica la diferencia entre cuadrado de una diferencia y diferencia de cuadrados.
Esto evita dividir cuando solo pide el resto: el de $x^3+2x-5$ entre $x-1$ es $P(1)=1+2-5=-2$.
El esquema de Ruffini organiza la división entre $x-a$: se baja el primer coeficiente, se multiplica por $a$, se suma a la columna siguiente y se repite. El último número es el resto.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula $P(-2)$ para $P(x)=x^3-4x+1$ y decide si $x+2$ es factor.
Calcula $P(-2)$ para $P(x)=x^3-4x+1$ y decide si $x+2$ es factor.
Un polinomio mónico de grado tres tiene raíces $2$ y $-1$, siendo $2$ una raíz doble. Constrúyelo, desarróllalo y explica por qué esos datos lo determinan de forma única.
Un polinomio mónico de grado tres tiene raíces $2$ y $-1$, siendo $2$ una raíz doble. Constrúyelo, desarróllalo y explica por qué esos datos lo determinan de forma única.
Volvamos al gancho. Con $B_1(q)=-q^2+18q-45$ y $B_2(q)=3q-9$, ¿cuándo predicen el mismo beneficio? Igualarlos es resolver $B_1-B_2=0$, y para eso se factoriza.
Vuelve al principio: el beneficio coincide con el del modelo lineal en $q=3$ y $q=12$, y el propio $B_1=-(q-5)(q-9)$ muestra que no hay ganancias ni pérdidas en $q=5$ y $q=9$.
Practica★★☆Sin empezar
Un rectángulo tiene lados $x+4$ y $x+2$, en metros, con $x>0$. Expresa su área como polinomio y calcula cuánto aumenta respecto a un cuadrado de lado $x$. Los datos del…
Un rectángulo tiene lados $x+4$ y $x+2$, en metros, con $x>0$. Expresa su área como polinomio y calcula cuánto aumenta respecto a un cuadrado de lado $x$.
Los datos del enunciado se muestran en el siguiente esquema.
Dos modelos de beneficio son $B_1(q)=-q^2+18q-45$ y $B_2(q)=3q-9$. Factoriza $B_1-B_2$ y determina las cantidades en las que predicen el mismo beneficio.
Dos modelos de beneficio son $B_1(q)=-q^2+18q-45$ y $B_2(q)=3q-9$. Factoriza $B_1-B_2$ y determina las cantidades en las que predicen el mismo beneficio.