Nivelación · Matemáticas para ADE y Economía
Integración elemental · Integrales
Integral definida, áreas y acumulación
La integral como área con signo Regla de Barrow y propiedades Acumulación de una tasa y valor medio Sustitución, funciones a trozos y área entre curvas La función área y el teorema fundamental Resumen
Un almacén recibe cajas a un ritmo que cambia a lo largo del día. Conoces la tasa en cada instante, pero lo que te interesa es el total acumulado: ¿cuántas cajas hay al final de la jornada? La integral definida responde a esa pregunta: suma infinitas contribuciones pequeñas y la convierte en un número que también es un área.
La integral como área con signo
Si $f(x)\geq 0$ en $[a,b]$, la región entre la gráfica y el eje horizontal tiene un área. Esa área se escribe $\int_a^b f(x)\,dx$. Se obtiene dividiendo $[a,b]$ en rectángulos muy estrechos de base $\Delta x$ y altura $f(x_i)$, y sumando sus áreas $\sum f(x_i)\,\Delta x$. Al hacer los rectángulos infinitamente finos, la suma converge a la integral.
Sea $f$ continua en $[a,b]$. La integral definida es el límite de las sumas de Riemann:
$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$$
Mide el área con signo : cuenta positiva lo que queda por encima del eje y negativa lo que queda por debajo.
Gráfica de una función que cruza el eje horizontal: la región por encima cuenta como área positiva y la región por debajo como área negativa.
área +
área −
a
b
$\int_{-1}^{1}x\,dx=0$, pero el área entre la recta y el eje vale $1$. Las dos mitades tienen área $\frac12$, una con signo $+$ y otra con signo $-$, y se compensan en la integral. Para el área geométrica hay que sumar los valores absolutos de cada tramo.
Una función es positiva en la primera mitad de $[a,b]$ y negativa en la segunda, con áreas iguales. ¿Cuánto vale la integral? ¿Y el área geométrica?
Ver respuesta La integral vale $0$, porque las áreas con signo se cancelan. El área geométrica es la suma de las dos áreas, que es positiva.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int_{-1}^1x\,dx$ y el área geométrica entre la recta y el eje horizontal. Explica por qué no coinciden. Calcula $\int_{-1}^1x\,dx$ y el área geométrica entre la recta y el eje horizontal. Explica por qué no coinciden.
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★★☆ Sin empezar
Calcula la integral $\int_0^4(x-2)\,dx$ y el área geométrica entre esa recta y el eje horizontal en $[0,4]$. Explica por qué los resultados son distintos. Las dos… Calcula la integral $\int_0^4(x-2)\,dx$ y el área geométrica entre esa recta y el eje horizontal en $[0,4]$. Explica por qué los resultados son distintos.
Las dos regiones se muestran en la figura.
x
y
0
2
4
2
−2
Resolver
Regla de Barrow y propiedades
Calcular el límite de sumas es inviable a mano. La clave es que la integral definida se obtiene con una primitiva.
Esquema de la regla de Barrow: la integral de f entre a y b es la diferencia entre los valores de la primitiva F en b y en a.
a
b
F(a)
F(b)
F(b) − F(a)
Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $F$ es una primitiva de $f$ (es decir, $F'=f$), entonces
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$
¿Por qué? $F(b)-F(a)$ es lo que cambia $F$ al ir de $a$ a $b$, y $F'=f$ es la tasa de ese cambio: acumular la tasa da el cambio total.
Para $f,g$ continuas y $k$ constante:
$\int_a^a f\,dx=0$ y $\int_b^a f\,dx=-\int_a^b f\,dx$.
$\int_a^b kf\,dx=k\int_a^b f\,dx$ y $\int_a^b (f+g)\,dx=\int_a^b f\,dx+\int_a^b g\,dx$.
Aditividad: $\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$.
Una primitiva de $2x+1$ es $F(x)=x^2+x$.
Se evalúa en los extremos: $F(3)=12$ y $F(1)=2$.
Resta: $\int_1^3(2x+1)\,dx=12-2=10$. Como $2x+1>0$ en $[1,3]$, es el área de un trapecio de bases $3$ y $7$ y altura $2$: $\frac{3+7}{2}\cdot 2=10$.
Siguiente paso (1/3)
Si $\int_1^4 f(x)\,dx=9$, ¿cuánto valen $\int_4^1 f(x)\,dx$ y $\int_1^4 2f(x)\,dx$?
Ver respuesta Al invertir los límites cambia el signo: $-9$. Al multiplicar por $2$ la integral se multiplica por $2$: $18$.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int_0^3(2x+1)\,dx$ e interpreta el resultado como un área. Calcula $\int_0^3(2x+1)\,dx$ e interpreta el resultado como un área.
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★☆☆ Sin empezar
Sin calcular primitivas, usa $\int_1^4 f(x)\,dx=9$ para hallar $\int_4^1 f(x)\,dx$ y $\int_1^4 2f(x)\,dx$. Sin calcular primitivas, usa $\int_1^4 f(x)\,dx=9$ para hallar $\int_4^1 f(x)\,dx$ y $\int_1^4 2f(x)\,dx$.
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★☆☆ Sin empezar
Si $\int_0^2 f(x)\,dx=3$ y $\int_2^5 f(x)\,dx=-1$, calcula $\int_0^5f(x)\,dx$. Si $\int_0^2 f(x)\,dx=3$ y $\int_2^5 f(x)\,dx=-1$, calcula $\int_0^5f(x)\,dx$.
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Acumulación de una tasa y valor medio
Si $r(t)$ es una tasa (cajas por hora, litros por minuto, euros por mes), la integral $\int_a^b r(t)\,dt$ es el cambio neto de la cantidad entre $a$ y $b$. Las unidades salen solas: tasa por tiempo.
Si $Q'(t)=r(t)$, entonces $Q(b)=Q(a)+\int_a^b r(t)\,dt$.
El valor medio de $f$ en $[a,b]$ es
$$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx,$$
la altura de un rectángulo de base $b-a$ con la misma área que la región bajo la curva.
Tasa decreciente cuya área bajo la curva coincide con la de un rectángulo de altura igual al valor medio.
valor medio
t
Si la tasa cambia de signo, la integral compensa entradas con salidas. Para el volumen total que ha circulado en ambos sentidos hay que integrar $|r(t)|$, partiendo en el punto donde $r$ cambia de signo.
Con $Q'(t)=r(t)$ y $r$ positiva hasta $t=4$ y negativa después, ¿por qué el máximo de $Q$ está en $t=4$?
Ver respuesta Mientras $r>0$, $Q$ crece; cuando $r<0$, $Q$ decrece. El cambio de crecimiento a decrecimiento ocurre en $t=4$.
★☆☆ Sin empezar
La tasa de entrada en un almacén es constante e igual a $15$ cajas por hora durante $4$ horas. Plantea una integral para calcular cuántas cajas entran y evalúala. La tasa de entrada en un almacén es constante e igual a $15$ cajas por hora durante $4$ horas. Plantea una integral para calcular cuántas cajas entran y evalúala.
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★★☆ Sin empezar
La tasa neta de variación de existencias es $r(t)=12-3t$ cajas por hora para $0\leq t\leq6$. Si inicialmente hay $80$ cajas, calcula las existencias al cabo de $6$ horas… La tasa neta de variación de existencias es $r(t)=12-3t$ cajas por hora para $0\leq t\leq6$. Si inicialmente hay $80$ cajas, calcula las existencias al cabo de $6$ horas y determina cuándo son máximas.
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★★☆ Sin empezar
Calcula el valor medio de $f(x)=2x+1$ en $[1,5]$ y encuentra dónde lo alcanza. Calcula el valor medio de $f(x)=2x+1$ en $[1,5]$ y encuentra dónde lo alcanza.
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Sustitución, funciones a trozos y área entre curvas
En una integral definida con sustitución $u=g(x)$ conviene transformar también los límites: así no hace falta deshacer el cambio.
Se toma $u=x^2$, de modo que $du=2x\,dx$.
Límites: si $x=0$, $u=0$; si $x=1$, $u=1$.
La integral queda $\int_0^1 e^{u}\,du=\big[e^u\big]_0^1=e-1$.
Siguiente paso (1/3) Si $f$ está definida a trozos, se aplica la aditividad: se integra cada trozo en su intervalo, sin suponer continuidad.
Si $f(x)\geq g(x)$ en $[a,b]$, el área entre ambas es
$$A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$
Si se cruzan, se hallan los puntos de corte resolviendo $f=g$ y se integra por tramos con la función superior en cada uno.
Animación de la región encerrada entre la parábola y la recta, que se cortan en dos puntos: una franja estrecha recorre la región de izquierda a derecha, su altura es la distancia entre ambas curvas (crece y luego disminuye hasta anularse en el segundo corte) y deja tras de sí el área acumulada, más oscura.
recta
parábola
Fuera de los puntos de corte las curvas cambian de orden y $2x-x^2$ se vuelve negativa. Integrar en $[0,3]$ no da el área encerrada: la parte de $[2,3]$ resta en vez de sumar.
Para hallar el área entre $y=x$ e $y=x^2$ en $[0,1]$, una alumna calcula $\int_0^1(x^2-x)\,dx$ y obtiene $-\frac16$. ¿Qué ha hecho mal?
Ver respuesta Ha restado en el orden equivocado: en $[0,1]$, $x\geq x^2$. Debe calcular $\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac16$. Un área nunca es negativa.
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int_0^2 x(x^2+1)^2\,dx$ utilizando sustitución y transforma también los límites de integración. Calcula $\int_0^2 x(x^2+1)^2\,dx$ utilizando sustitución y transforma también los límites de integración.
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★★☆ Sin empezar
Calcula el área entre $y=x$ e $y=x^2$ en $[0,1]$, indicando cuál está por encima. Calcula el área entre $y=x$ e $y=x^2$ en $[0,1]$, indicando cuál está por encima.
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★★★ Sin empezar
Halla el área encerrada entre $y=2x$ e $y=x^2$; determina primero los puntos de corte y justifica qué función queda arriba. Halla el área encerrada entre $y=2x$ e $y=x^2$; determina primero los puntos de corte y justifica qué función queda arriba.
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La función área y el teorema fundamental
Si fijas el extremo inferior y dejas variable el superior, obtienes una función que acumula el área hasta $x$.
Si $f$ es continua en un intervalo que contiene a $a$, la función $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ es derivable y $A'(x)=f(x)$.
Con límite superior $g(x)$ derivable, por la regla de la cadena:
$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$
¿Por qué? Al aumentar $x$ en $\Delta x$, el área crece aproximadamente $f(x)\,\Delta x$ (un rectángulo estrecho): la tasa de crecimiento del área es la altura $f(x)$.
Área acumulada bajo una curva hasta x, con una franja estrecha de anchura delta x que aporta un área aproximada f de x por delta x.
A(x)
x
franja: f(x)·Δx
Con $g(x)=x^2$ y $g'(x)=2x$: $A'(x)=\ln(x^2)\cdot 2x=4x\ln x$.
Signo de $A'$ para $x>0$: como $4x>0$, depende de $\ln x$. Es negativa en $(0,1)$ y positiva en $(1,+\infty)$.
Por tanto $A$ disminuye en $(0,1)$ y aumenta en $(1,+\infty)$, con mínimo en $x=1$, donde $A(1)=0$.
Siguiente paso (1/3)
Si el límite superior no es $x$ sino $x^2$, derivar sin multiplicar por $g'(x)$ da un resultado incorrecto: falta el factor $2x$.
Ver respuesta $A'(x)=x^2-4$ se anula en $x=2$ y pasa de negativa a positiva: mínimo en $x=2$. Su valor es $A(2)=\frac83-8=-\frac{16}{3}$, menor que $A(0)=0$ y que $A(3)=-3$, así que es mínimo absoluto.
★★★ Sin empezar
Sea $A(x)=\int_1^{x^2}\ln t\,dt$ para $x>0$. Calcula $A\prime(x)$ y los intervalos donde $A$ aumenta o disminuye, sin evaluar primero la integral. Sea $A(x)=\int_1^{x^2}\ln t\,dt$ para $x>0$. Calcula $A\prime(x)$ y los intervalos donde $A$ aumenta o disminuye, sin evaluar primero la integral.
Resolver
★★★ Sin empezar
Para $A(x)=\int_0^x(t^2-4)\,dt$ en $[0,3]$, calcula $A'(x)$ y localiza el mínimo absoluto de $A$. Para $A(x)=\int_0^x(t^2-4)\,dt$ en $[0,3]$, calcula $A'(x)$ y localiza el mínimo absoluto de $A$.
Resolver
Vuelve al principio: el total de cajas que entran al almacén es la integral de la tasa de entrada, y se calcula con una primitiva evaluada en los extremos.
Resumen
$\int_a^b f\,dx$ es el área con signo entre la gráfica y el eje; para el área geométrica se separan los tramos y se usa $|f|$.
Regla de Barrow: $\int_a^b f\,dx=F(b)-F(a)$ con $F'=f$.
Propiedades: invertir límites cambia el signo, aditividad en intervalos y linealidad.
Una tasa integrada da el cambio neto; el valor medio es $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Área entre curvas: $\int_a^b(f-g)\,dx$ con $f\geq g$, partiendo en los puntos de corte.
Teorema fundamental: $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))\,g'(x)$.
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