Una tarifa de aparcamiento cobra 3 € la primera hora y 6 € la segunda. A los 59 minutos pagas 3 €; a los 61, 6 €. ¿Qué ocurre exactamente en el minuto 60? ¿Puede una empresa diseñar una tarifa sin saltos bruscos? La continuidad es el lenguaje matemático para responder a estas preguntas: dice cuándo una función «no da saltos» y qué hacer cuando los da.
Continuidad en un punto
Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz. Para poder trabajar con ella, hay que traducirlo a límites.
¿Por qué estas tres? Porque cada una evita un tipo de ruptura: un agujero sin valor, un salto entre los dos lados, o un valor desplazado respecto a donde «apunta» la gráfica.
Esto permite estudiar muchas funciones sin calcular nada: $f(x)=5x-2$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y $g(x)=\dfrac{1}{x+4}$ lo es salvo en $x=-4$, que ni siquiera pertenece a su dominio.
Practica★☆☆Sin empezar
Determina si $f(x)=x^3-4x+2$ es continua en $x=1$ y compara $f(1)$ con su límite.
Determina si $f(x)=x^3-4x+2$ es continua en $x=1$ y compara $f(1)$ con su límite.
Cuando falla alguna condición, la forma de fallar importa, porque a veces se puede arreglar y a veces no.
La diferencia práctica: una discontinuidad evitable se repara redefiniendo $f(a)=L$; las de salto e infinitas no.
Practica★☆☆Sin empezar
Sea $f(x)=x+2$ si $x<1$, y $f(x)=4$ si $x\geq1$. La figura muestra una parte de la gráfica; los tramos continúan fuera de la ventana representada. Calcula $f(1)$ y los…
Sea $f(x)=x+2$ si $x<1$, y $f(x)=4$ si $x\geq1$.
La figura muestra una parte de la gráfica; los tramos continúan fuera de la ventana representada.
Calcula $f(1)$ y los límites laterales; clasifica la discontinuidad.
La función $f(x)=\frac1{x+2}$ tiene una discontinuidad en $x=-2$. Explica, mediante límites laterales, por qué asignarle un valor finito no la elimina.
La función $f(x)=\frac1{x+2}$ tiene una discontinuidad en $x=-2$. Explica, mediante límites laterales, por qué asignarle un valor finito no la elimina.
Un caso típico: una fracción cuyo numerador y denominador se anulan a la vez. La función no está definida en ese punto, pero su gráfica «apunta» a un valor concreto.
Practica★☆☆Sin empezar
Define $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$ para $x\ne4$ y $f(4)=k$. Halla $k$ para que sea continua.
Define $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$ para $x\ne4$ y $f(4)=k$. Halla $k$ para que sea continua.
Muchas situaciones económicas se describen con fórmulas distintas según el tramo: tarifas de envío, tramos de consumo, impuestos. Son funciones definidas a trozos. Dentro de cada tramo suelen ser continuas (polinomios); el problema está en los empalmes.
¿Por qué? Los límites laterales usan solo la fórmula de su lado; la continuidad pide que ambos lados lleguen a la misma altura que el valor de la función.
Practica★☆☆Sin empezar
Un aparcamiento cobra $3\ \text{€}$ para $0<t\leq1$ horas y $6\ \text{€}$ para $1<t\leq2$. Estudia la continuidad en $t=1$ y explica el salto en el contexto.
El valor absoluto es una función a trozos disfrazada: $|x-5|=\begin{cases}5-x & x<5\\ x-5 & x\ge5\end{cases}$. En $x=5$ ambos tramos valen $0$, así que es continua.
Otra consecuencia de la continuidad es que garantiza que una función no se salta valores.
Idea: para ir de un valor negativo a uno positivo sin levantar el lápiz hay que cruzar el eje $x$ en algún punto. Si la gráfica puede romperse, puede saltarse el eje.
Practica★★☆Sin empezar
Usa el teorema de Bolzano para justificar que $x^3+x-7=0$ tiene una raíz en $(1,2)$. Enumera las hipótesis verificadas.
Usa el teorema de Bolzano para justificar que $x^3+x-7=0$ tiene una raíz en $(1,2)$. Enumera las hipótesis verificadas.
Un proveedor asegura que $f(x)=\frac1{x-2}$ tiene un cero entre $1$ y $3$ porque $f(1)<0<f(3)$. Analiza su argumento, identifica la hipótesis que falta y decide si…
Un proveedor asegura que $f(x)=\frac1{x-2}$ tiene un cero entre $1$ y $3$ porque $f(1)<0
Vuelve al principio: la tarifa del aparcamiento tiene una discontinuidad de salto en el minuto 60, y una empresa puede evitarla ajustando las fórmulas de modo que ambos tramos coincidan en el empalme.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado